平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$が$|\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}|=2$，$|2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=2$を満たすように動く．ベクトル$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$，$2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$を，それぞれ$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$とし，$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{y}$がなす角を$\theta$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$を用いて表し，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2$を$\theta$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$を，それぞれ求めよ．

実数全体で定義された関数$f(x)$，$g(x)$を次のように定める．
\[ f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{4}} (\tan t-x)^2 \, dt,\quad g(x)=\int_0^{\frac{\pi}{4}} |\tan t-x| \, dt \]

(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan t \, dt$，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 t \, dt$を求めよ．
(2)$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$g(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の数字が$1$つずつ記入された$5$枚のカードがある．この$5$枚のカードの中から$1$枚引き，数字を記録して戻すという作業を$3$回繰り返す．ただし，$3$回ともどのカードを引く確率も等しいとする．記録した$3$つの数字の最小値を$X$とするとき，次の各問いに答えよ．

(1)$k=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$に対して確率$P(X \geqq k)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率分布を表で表せ．
(3)確率変数$X$の平均（期待値）$E(X)$を求めよ．
(4)確率変数$X$の分散$V(X)$を求めよ．

$\overrightarrow{a}=(1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(-1,\ 3)$とし$\overrightarrow{p}=(1-2t)\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$とする．$t$は$-1 \leqq t \leqq 1$を動くとする．

(1)$|\overrightarrow{p}|$の最大値を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{p}|$の最小値を求めよ．
(3)$|\overrightarrow{p}|$が最小となるときの$\overrightarrow{p}$を位置ベクトルとする点を$\mathrm{M}$とする．$\overrightarrow{a}$を位置ベクトルとする点を$\mathrm{A}$とするとき，$\triangle \mathrm{OAM}$の面積を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．

座標平面上に原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(2 \sqrt{2},\ 0)$がある．$0<t<1$のとき，線分$\mathrm{AO}$，$\mathrm{OB}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{PQ}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また，$t=0$，$t=1$のとき，$\mathrm{R}$はそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$に一致するものとし，$t$を$0 \leqq t \leqq 1$の範囲で動かしたときの$\mathrm{R}$の軌跡を$C$とする．

(1)$C$を媒介変数$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{R}$と原点$\mathrm{O}$の距離の最小値を求めよ．
(3)$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$x>0$の範囲で関数$f(x)$を，$\displaystyle f(x)=\int_0^2 (|t^2-2xt|+xt) \, dt$により定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$0<x \leqq 1$のとき，$f(x)$を求めよ．
(2)$x$が$x>0$の範囲を動くとき，$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=4x+k$が異なる$2$点で交わるように，定数$k$の値の範囲を定めよ．

次の問いに答えよ．

(1)異なる$2$点$(-3,\ -3)$，$(a,\ b)$を通る直線の方程式を求めよ．ただし，$a,\ b$は実数とする．
(2)媒介変数表示$\left\{ \begin{array}{l}
x=2 \cos t \\
y=-\sin^2 t
\end{array} \right.$で表される曲線の概形をかけ．
(3)関数$\displaystyle f(t)=\frac{-\sin^2 t+3}{2\cos t+3}$の最大値および最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$k,\ l$を自然数で，$k>l$とする．$l$から$k$までの$k-l+1$個の自然数から，同じものを繰り返し使うことを許して$3$個取り出して並べた数列を作る．そのうち，$k$と$l$の両方を含む数列の総数を$k$と$l$を用いて表せ．
(2)さいころを$3$回投げるとき，$3$つ出た目の最大値を$M$，最小値を$m$とし，$R=M-m$とする．$R$の期待値を求めよ．

関数$f(x)=\log (x^2-x+2) \ (0 \leqq x \leqq 1)$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数を表している．

(1)$y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq 1)$の極値を求めよ．
(2)$x$についての方程式$\log (x^2-x+2)=x$は$\displaystyle \frac{1}{2}<x<1$の範囲に実数解をただ$1$つもつことを示せ．必要であれば，$\log 2<0.7$，$\log 7>1.9$であることを用いてよい．
(3)$y=f^\prime(x) \ (0 \leqq x \leqq 1)$の最大値と最小値を求めよ．
(4)平均値の定理を用いることで，$0 \leqq a<b \leqq 1$となる実数$a,\ b$に対して，$\displaystyle |f(b)-f(a)|<\frac{1}{2}|b-a|$となることを示せ．

$n$を$2$以上の整数とする．$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$が与えられたとき，
\[ P_n=(a_1+a_2+\cdots +a_n)^2,\quad Q_n={a_1}^2+{a_2}^2+\cdots +{a_n}^2 \]
とおく．次に，$1 \leqq i<j \leqq n$を満たすすべての番号$i,\ j$に対する$a_ia_j$の和を$R_n$とする．たとえば，$R_2=a_1a_2$，$R_3=a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3$である．同様に，$1 \leqq i<j \leqq n$を満たすすべての番号$i,\ j$に対する$(a_i-a_j)^2$の和を$S_n$とする．たとえば，$S_2=(a_1-a_2)^2$，$S_3=(a_1-a_2)^2+(a_1-a_3)^2+(a_2-a_3)^2$である．次の問いに答えよ．

(1)$P_4$を$Q_4$と$R_4$を使って表せ．
(2)すべての$n \geqq 2$に対して$S_n=(n-1)Q_n-2R_n$と表されることを，数学的帰納法で証明せよ．
(3)$Q_4$を$P_4$と$S_4$を使って表せ．
(4)$a_1+a_2+a_3+a_4=1$のとき，$Q_4$の最小値と，そのときの$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$の値をそれぞれ求めよ．