「最小値」について
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国立 鳥取大学 2013年 第2問方程式$7x+13y=1111$を満たす自然数$x,\ y$に対して，次の問いに答えよ．
(1)この方程式を満たす自然数の組$(x,\ y)$はいくつあるか求めよ．
(2)$s=-x+2y$とするとき，$s$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$t=|2x-5y|$とするとき，$t$の最大値と最小値を求めよ．
(1)この方程式を満たす自然数の組$(x,\ y)$はいくつあるか求めよ．
(2)$s=-x+2y$とするとき，$s$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$t=|2x-5y|$とするとき，$t$の最大値と最小値を求めよ．
国立 鳥取大学 2013年 第2問$0 \leqq x \leqq 2\pi$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{2}+\sin x}$について，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の増減を調べ，最大値，最小値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x) \, dx$を求めよ．
(1)関数$f(x)$の増減を調べ，最大値，最小値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x) \, dx$を求めよ．
国立 鳥取大学 2013年 第1問方程式$7x+13y=1111$を満たす自然数$x,\ y$に対して，次の問いに答えよ．
(1)この方程式を満たす自然数の組$(x,\ y)$はいくつあるか求めよ．
(2)$s=-x+2y$とするとき，$s$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$t=|2x-5y|$とするとき，$t$の最大値と最小値を求めよ．
(1)この方程式を満たす自然数の組$(x,\ y)$はいくつあるか求めよ．
(2)$s=-x+2y$とするとき，$s$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$t=|2x-5y|$とするとき，$t$の最大値と最小値を求めよ．
国立 防衛医科大学校 2013年 第1問以下の問に答えよ．
(1)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AD}=\mathrm{BD}=\mathrm{BC}$となる点$\mathrm{D}$をとることができるとき，$\displaystyle \sin \frac{A}{2}$はいくらか．
(2)実数の組$(x,\ y)$が連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 4 \\
y \geqq \displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{2}}
\end{array} \right.$を満たすとき，$\sqrt{2}x+y$の最大値と最小値を求めよ．
(3)座標空間の$2$点$\mathrm{A}(1,\ -2,\ -1)$，$\mathrm{B}(4,\ 2,\ 4)$を通る直線$\ell_1$上にあり，原点までの距離が$34$の点を$\mathrm{C}$（$\mathrm{C}$の$x$座標は正とする）．点$\mathrm{A}$を通り方向ベクトル$\overrightarrow{h}=(4,\ -3,\ -5)$をもつ直線を$\ell_2$とする．このとき，$\mathrm{C}$と$\ell_2$を含む平面において，$\ell_2$に関して$\mathrm{C}$と対称な点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(1)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AD}=\mathrm{BD}=\mathrm{BC}$となる点$\mathrm{D}$をとることができるとき，$\displaystyle \sin \frac{A}{2}$はいくらか．
(2)実数の組$(x,\ y)$が連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 4 \\
y \geqq \displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{2}}
\end{array} \right.$を満たすとき，$\sqrt{2}x+y$の最大値と最小値を求めよ．
(3)座標空間の$2$点$\mathrm{A}(1,\ -2,\ -1)$，$\mathrm{B}(4,\ 2,\ 4)$を通る直線$\ell_1$上にあり，原点までの距離が$34$の点を$\mathrm{C}$（$\mathrm{C}$の$x$座標は正とする）．点$\mathrm{A}$を通り方向ベクトル$\overrightarrow{h}=(4,\ -3,\ -5)$をもつ直線を$\ell_2$とする．このとき，$\mathrm{C}$と$\ell_2$を含む平面において，$\ell_2$に関して$\mathrm{C}$と対称な点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
国立 島根大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$k,\ l$を自然数で，$k>l$とする．$l$から$k$までの$k-l+1$個の自然数から，同じものを繰り返し使うことを許して$3$個取り出して並べた数列を作る．そのうち，$k$と$l$の両方を含む数列の総数を$k$と$l$を用いて表せ．
(2)さいころを$3$回投げるとき，$3$つ出た目の最大値を$M$，最小値を$m$とし，$R=M-m$とする．$R$の期待値を求めよ．
(1)$k,\ l$を自然数で，$k>l$とする．$l$から$k$までの$k-l+1$個の自然数から，同じものを繰り返し使うことを許して$3$個取り出して並べた数列を作る．そのうち，$k$と$l$の両方を含む数列の総数を$k$と$l$を用いて表せ．
(2)さいころを$3$回投げるとき，$3$つ出た目の最大値を$M$，最小値を$m$とし，$R=M-m$とする．$R$の期待値を求めよ．
国立 大分大学 2013年 第2問連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
y \geqq |2x-3| \\
y \leqq x
\end{array} \right.$の表す領域を$D$とする．
(1)領域$D$を図示しなさい．
(2)$a$を$2$でない正の定数とする．点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値と最小値，およびそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x^2+y^2$の最小値とそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．
y \geqq |2x-3| \\
y \leqq x
\end{array} \right.$の表す領域を$D$とする．
(1)領域$D$を図示しなさい．
(2)$a$を$2$でない正の定数とする．点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値と最小値，およびそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x^2+y^2$の最小値とそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．
国立 山形大学 2013年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$は，$\angle \mathrm{AOB}=90^\circ$，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$を満たす．$3$辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BO}$を$t:(1-t) \ (0<t<1)$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OD}}|^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{CE}}|^2$を$t$の式で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OD}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を示せ．
(4)$\triangle \mathrm{CDE}$の面積を$S(t)$とする．
(i) $\displaystyle S(t)=\frac{3t^2-3t+1}{2}$を示せ．
(ii) $t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OD}}|^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{CE}}|^2$を$t$の式で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OD}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を示せ．
(4)$\triangle \mathrm{CDE}$の面積を$S(t)$とする．
(i) $\displaystyle S(t)=\frac{3t^2-3t+1}{2}$を示せ．
(ii) $t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2013年 第1問$\tan \alpha=2$，$\tan \beta=5$，$\displaystyle 0<\alpha,\ \beta<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$上で関数
\[ f(x)=\sin (\alpha+\beta+x)+\cos (\alpha+\beta+x) \]
を考える．
(1)$\sin (\alpha+\beta),\ \cos (\alpha+\beta)$を求めよ．
(2)$\tan (\alpha+\beta+x)$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．
(4)$f(x)$が最小となるときの$x$を$\gamma$とする．$\alpha+\beta+\gamma,\ \tan \gamma$を求め，$\beta-\alpha>\gamma-\beta$となることを示せ．
(5)$\displaystyle \beta>\frac{5\pi}{12}$となることを示せ．
\[ f(x)=\sin (\alpha+\beta+x)+\cos (\alpha+\beta+x) \]
を考える．
(1)$\sin (\alpha+\beta),\ \cos (\alpha+\beta)$を求めよ．
(2)$\tan (\alpha+\beta+x)$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．
(4)$f(x)$が最小となるときの$x$を$\gamma$とする．$\alpha+\beta+\gamma,\ \tan \gamma$を求め，$\beta-\alpha>\gamma-\beta$となることを示せ．
(5)$\displaystyle \beta>\frac{5\pi}{12}$となることを示せ．
国立 三重大学 2013年 第3問平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$が$|\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}|=2$，$|2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=2$を満たすように動く．ベクトル$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$，$2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$を，それぞれ$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$とし，$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{y}$がなす角を$\theta$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$を用いて表し，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2$を$\theta$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$を，それぞれ求めよ．
(1)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$を用いて表し，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2$を$\theta$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$を，それぞれ求めよ．
国立 三重大学 2013年 第1問平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$が$|\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}|=2$，$|2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=2$を満たすように動く．ベクトル$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$，$2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$を，それぞれ$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$とし，$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{y}$がなす角を$\theta$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$を用いて表し，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2$を$\theta$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$を，それぞれ求めよ．
(1)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$を用いて表し，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2$を$\theta$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$を，それぞれ求めよ．