$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
\[ y=\{2 \cos 2x-(3+3 \sqrt{3})\cos x+3 \sqrt{3}+2\}\cos x \]
の最大値・最小値と，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)区間$-1<x<1$における
\[ f(x)=\log ((1-x)^{1-x}(1+x)^{1+x}) \]
の最小値を求めよ．ただし，対数は自然対数である．
(2)区間$0 \leqq x \leqq 2\pi$における
\[ g(x)=\cos x+\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{3}\cos 3x \]
の最大値，最小値を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して$D(A)=ad-bc$，$T(A)=a+d$と定める．実数$x,\ y$に対して行列$X$を$X=\left( \begin{array}{cc}
x & 1 \\
1 & y
\end{array} \right)$とおき，行列$E$を$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とし，行列$O$を$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して等式$A^2-T(A)A+D(A)E=O$が成り立つことを証明せよ．
(2)$D(X)<0$かつ$T(X)>0$となる$(x,\ y)$の領域を図示せよ．
(3)$X$が逆行列をもたないとき，$T(X^{2n})$の最小値を$n$を用いて表せ．ただし，$n$は正の整数である．

関数$f(x)=x^3-3ax$について次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数である．

(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)定数$k$が$0<k \leqq \sqrt{a}$の範囲にあるとき，$-k \leqq x \leqq 2k$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$a>0$のとき，
\[ S(a)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin 2x-a \cos x| \, dx \]
とする．$S(a)$の最小値を求めよ．
(2)$a>2$のとき，$2$曲線$\displaystyle y=\sin 2x,\ y=a \cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$y$軸で囲まれる図形を考える．この図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$a$を用いて表せ．

関数$\displaystyle f(x)=\sin x+\frac{1}{2}\sin 2x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減を調べ，最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

円$x^2+y^2+4x+2 \sqrt{2}y+3=0$について，次の問いに答えよ．

(1)この円の中心と半径をそれぞれ求めよ．
(2)この円上の点$(x,\ y)$において，$x+y$のとる値の最大値と最小値を求めよ．
(3)この円上の点で座標がともに有理数となる点をすべて求めよ．

関数$f(x)=x^4+x^3$について，次の問に答えよ．

(1)この関数のグラフの概形をかけ．
(2)この関数のグラフ上の$3$点$\mathrm{P}(t-1,\ f(t-1))$，$\mathrm{Q}(t,\ f(t))$，$\mathrm{R}(t+1,\ f(t+1))$を頂点とする三角形の面積$S(t)$を$t$の式で表せ．
(3)$S(t)$の最小値を求めよ．

次の$[　]$の中を適当に補いなさい．

(1)実数$x,\ y$が$2x+y=\sqrt{2013}$を満たすとき，$xy$の最大値を求めると$[　]$．

(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=[　]$．

(3)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，関数$y=\sin^3 x+\cos^3 x$の最大値$M$と最小値$m$を$t=\sin x+\cos x$とおいて求めると$(M,\ m)=[　]$．

次の各問に答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．$-1 \leqq \tan x \leqq \sqrt{3}$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$x$が(1)で求めた範囲を動くとき，$f(x)=\sin x+2 \cos x$の最大値と最小値を求めよ．