「最小値」について
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国立 神戸大学 2013年 第2問$a,\ b,\ c$は実数とし，$a<b$とする．平面上の相異なる$3$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$，$\mathrm{C}(c,\ c^2)$が，辺$\mathrm{AB}$を斜辺とする直角三角形を作っているとする．次の問いに答えよ．
(1)$a$を$b,\ c$を用いて表せ．
(2)$b-a \geqq 2$が成り立つことを示せ．
(3)斜辺$\mathrm{AB}$の長さの最小値と，そのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．
(1)$a$を$b,\ c$を用いて表せ．
(2)$b-a \geqq 2$が成り立つことを示せ．
(3)斜辺$\mathrm{AB}$の長さの最小値と，そのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．
国立 九州大学 2013年 第2問座標平面上で，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．
\[ x+2y \leqq 5,\quad 3x+y \leqq 8,\quad -2x-y \leqq 4,\quad -x-4y \leqq 7 \]
点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x+y$の値が最大となる点を$\mathrm{Q}$とし，最小となる点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$および点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$a>0$かつ$b>0$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+by$が点$\mathrm{Q}$でのみ最大値をとり，点$\mathrm{R}$でのみ最小値をとるとする．このとき，$\displaystyle \frac{a}{b}$の値の範囲を求めよ．
\[ x+2y \leqq 5,\quad 3x+y \leqq 8,\quad -2x-y \leqq 4,\quad -x-4y \leqq 7 \]
点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x+y$の値が最大となる点を$\mathrm{Q}$とし，最小となる点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$および点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$a>0$かつ$b>0$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+by$が点$\mathrm{Q}$でのみ最大値をとり，点$\mathrm{R}$でのみ最小値をとるとする．このとき，$\displaystyle \frac{a}{b}$の値の範囲を求めよ．
国立 熊本大学 2013年 第3問直方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OD}=1$，$\mathrm{OC}=2$とし，辺$\mathrm{EF}$の中点を$\mathrm{M}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \overrightarrow{\mathrm{OD}} \ (0 \leqq t \leqq 1)$とし，点$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{CM}$におろした垂線と線分$\mathrm{CM}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とおくとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PC}},\ \overrightarrow{\mathrm{CM}},\ \overrightarrow{\mathrm{PM}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d},\ t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d},\ t$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{PH}}|^2$の最小値を求めよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PC}},\ \overrightarrow{\mathrm{CM}},\ \overrightarrow{\mathrm{PM}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d},\ t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d},\ t$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{PH}}|^2$の最小値を求めよ．
国立 東京大学 2013年 第3問$a,\ b$を実数の定数とする．実数$x,\ y$が
\[ x^2+y^2 \leqq 25,\quad 2x+y \leqq 5 \]
をともに満たすとき，$z=x^2+y^2-2ax-2by$の最小値を求めよ．
\[ x^2+y^2 \leqq 25,\quad 2x+y \leqq 5 \]
をともに満たすとき，$z=x^2+y^2-2ax-2by$の最小値を求めよ．
国立 福岡教育大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)実数$x,\ y$が$(x-2)^2+y^2 \leqq 3$を満たすとき，$\displaystyle \frac{y-7}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)自然数$n$について$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=\sin^2 \theta-\sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)実数$x,\ y$が$(x-2)^2+y^2 \leqq 3$を満たすとき，$\displaystyle \frac{y-7}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)自然数$n$について$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=\sin^2 \theta-\sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 福岡教育大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)実数$x,\ y$が$(x-2)^2+y^2 \leqq 3$を満たすとき，$\displaystyle \frac{y-7}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$4$次方程式$x^4+ax^3+14x^2+16x+b=0$が$x=-2$を$2$重解としてもつとき，定数$a,\ b$の値と他の解を求めよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=\sin^2 \theta-\sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)実数$x,\ y$が$(x-2)^2+y^2 \leqq 3$を満たすとき，$\displaystyle \frac{y-7}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$4$次方程式$x^4+ax^3+14x^2+16x+b=0$が$x=-2$を$2$重解としてもつとき，定数$a,\ b$の値と他の解を求めよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=\sin^2 \theta-\sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 福岡教育大学 2013年 第3問点$\mathrm{A}(a,\ 0)$と楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{3}+y^2=1$を考える．点$\mathrm{A}$と楕円$C$上の点$\mathrm{P}(u,\ v)$との距離を$d$とする．ただし，$a$は正の定数とする．次の問いに答えよ．
(1)$d$を$u$の式で表せ．
(2)$d$の最小値を求めよ．また，そのときの$u$の値を求めよ．
(1)$d$を$u$の式で表せ．
(2)$d$の最小値を求めよ．また，そのときの$u$の値を求めよ．
国立 長岡技術科学大学 2013年 第2問$c$を正の定数とする．平面上の原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$および$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ -1)$，$\mathrm{C}(c,\ 0)$について下の問いに答えなさい．
(1)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{OC}$上を動くとき，$3$点からの距離の$2$乗の和$\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2+\mathrm{CP}^2$の最小値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{OC}$上を動くとき，$3$点からの距離の和$\mathrm{AQ}+\mathrm{BQ}+\mathrm{CQ}$の最小値とそのときの$\mathrm{Q}$の座標を求めなさい．
(1)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{OC}$上を動くとき，$3$点からの距離の$2$乗の和$\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2+\mathrm{CP}^2$の最小値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{OC}$上を動くとき，$3$点からの距離の和$\mathrm{AQ}+\mathrm{BQ}+\mathrm{CQ}$の最小値とそのときの$\mathrm{Q}$の座標を求めなさい．
国立 静岡大学 2013年 第1問不等式$(x+y)(x-y+4) \geqq 0$の表す領域を$A$とし，不等式$y \geqq x^2+4x$の表す領域を$B$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)領域$A$を図示せよ．
(2)領域$A \cap B$の面積を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$A \cap B$を動くとき，$4x-y$の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの$x$と$y$の値もそれぞれ求めよ．
(1)領域$A$を図示せよ．
(2)領域$A \cap B$の面積を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$A \cap B$を動くとき，$4x-y$の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの$x$と$y$の値もそれぞれ求めよ．
国立 静岡大学 2013年 第1問不等式$(x+y)(x-y+4) \geqq 0$の表す領域を$A$とし，不等式$y \geqq x^2+4x$の表す領域を$B$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)領域$A$を図示せよ．
(2)領域$A \cap B$の面積を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$A \cap B$を動くとき，$4x-y$の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの$x$と$y$の値もそれぞれ求めよ．
(1)領域$A$を図示せよ．
(2)領域$A \cap B$の面積を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$A \cap B$を動くとき，$4x-y$の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの$x$と$y$の値もそれぞれ求めよ．