「最小値」について
タグ「最小値」の検索結果
（57ページ目：全1222問中561問～570問を表示）
国立 金沢大学 2013年 第1問座標平面上に2点$\mathrm{P}(\sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{Q}(\cos \theta,\ 1-\sin \theta)$がある．次の問いに答えよ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2$を$\theta$で表せ．
(2)$\displaystyle \frac{7\pi}{12}=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}$を用いて，$\displaystyle \sin \frac{7\pi}{12}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \pi$における$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2$の最大値と最小値を求めよ．また，最大値，最小値を与える$\theta$の値を求めよ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2$を$\theta$で表せ．
(2)$\displaystyle \frac{7\pi}{12}=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}$を用いて，$\displaystyle \sin \frac{7\pi}{12}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \pi$における$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2$の最大値と最小値を求めよ．また，最大値，最小値を与える$\theta$の値を求めよ．
国立 金沢大学 2013年 第3問実数$x$に対して，関数$f(x)$を
\[ f(x)=|x^2-6x+5|-x^2+4x+5 \]
とおく．次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq x \leqq 6$において，$f(x)$は$x=a$で最大値$f(a)$を，$x=b$で最小値$f(b)$をとる．$a,\ b$および$f(a),\ f(b)$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$について，定積分$\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx$を求めよ．
\[ f(x)=|x^2-6x+5|-x^2+4x+5 \]
とおく．次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq x \leqq 6$において，$f(x)$は$x=a$で最大値$f(a)$を，$x=b$で最小値$f(b)$をとる．$a,\ b$および$f(a),\ f(b)$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$について，定積分$\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx$を求めよ．
国立 新潟大学 2013年 第2問一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{P}$は，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を除いた辺$\mathrm{BC}$上を動くとする．点$\mathrm{P}$を通り直線$\mathrm{AP}$と垂直な直線と辺$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{BP}$の長さを$x$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{CPQ}$の面積$S$を，$x$を用いて表せ．
(2)面積$S$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AQ}$の長さ$L$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{CPQ}$の面積$S$を，$x$を用いて表せ．
(2)面積$S$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AQ}$の長さ$L$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．
国立 名古屋大学 2013年 第4問半径1の円盤$C_1$が半径2の円盤$C_2$に貼り付けられており，2つの円盤の中心は一致する．$C_2$の周上にある定点を$\mathrm{A}$とする．図のように，時刻$t=0$において$C_1$は$\mathrm{O}(0,\ 0)$で$x$軸に接し，$\mathrm{A}$は座標$(0,\ -1)$の位置にある．2つの円盤は一体となり，$C_1$は$x$軸上をすべることなく転がっていく．時刻$t$で$C_1$の中心が点$(t,\ 1)$にあるように転がるとき，$0 \leqq t \leqq 2\pi$において$\mathrm{A}$が描く曲線を$C$とする．
(1)時刻$t$における$\mathrm{A}$の座標を$(x(t),\ y(t))$で表す．$(x(t),\ y(t))$を求めよ．
(2)$x(t)$と$y(t)$の$t$に関する増減を調べ，$x(t)$あるいは$y(t)$が最大値または最小値をとるときの$\mathrm{A}$の座標を全て求めよ．
(3)$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)時刻$t$における$\mathrm{A}$の座標を$(x(t),\ y(t))$で表す．$(x(t),\ y(t))$を求めよ．
(2)$x(t)$と$y(t)$の$t$に関する増減を調べ，$x(t)$あるいは$y(t)$が最大値または最小値をとるときの$\mathrm{A}$の座標を全て求めよ．
(3)$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
（図は省略）
国立 新潟大学 2013年 第2問一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{P}$は，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を除いた辺$\mathrm{BC}$上を動くとする．点$\mathrm{P}$を通り直線$\mathrm{AP}$と垂直な直線と辺$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{BP}$の長さを$x$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{CPQ}$の面積$S$を，$x$を用いて表せ．
(2)面積$S$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AQ}$の長さ$L$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{CPQ}$の面積$S$を，$x$を用いて表せ．
(2)面積$S$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AQ}$の長さ$L$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．
国立 信州大学 2013年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$x$が$\displaystyle -\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{3\pi}{4}$をみたしながら変わるとき，$\sin x+\cos x$の値の範囲を求めよ．
(2)$x$が$\displaystyle -\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{3\pi}{4}$をみたしながら変わるとき，$\sin 2x-\sin x-\cos x$の最大値と最小値を求めよ．
(1)$x$が$\displaystyle -\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{3\pi}{4}$をみたしながら変わるとき，$\sin x+\cos x$の値の範囲を求めよ．
(2)$x$が$\displaystyle -\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{3\pi}{4}$をみたしながら変わるとき，$\sin 2x-\sin x-\cos x$の最大値と最小値を求めよ．
国立 東京医科歯科大学 2013年 第3問$m,\ n$を自然数として，関数$f(x)=x^m(1-x)^n$を考える．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$m,\ n$を用いて表せ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を$m,\ n$を用いて表せ．
(3)$a,\ b,\ c$を実数として，関数$g(x)=ax^2+bx+c$の$0 \leqq x \leqq 1$における最大値を$M(a,\ b,\ c)$とする．次の2条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$が成立するとき，$M(a,\ b,\ c)$の最小値を$m,\ n$を用いて表せ．
(i) $g(0)=g(1)=0$
(ii) $0<x<1$のとき$f(x) \leqq g(x)$
(4)$m,\ n$が2以上の自然数で$m>n$であるとき
\[ \frac{(m+n+1)!}{m!n!}>\frac{(m+n)^{m+n}}{m^mn^n}>2^{2n-1} \]
が成立することを示せ．
(1)$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$m,\ n$を用いて表せ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を$m,\ n$を用いて表せ．
(3)$a,\ b,\ c$を実数として，関数$g(x)=ax^2+bx+c$の$0 \leqq x \leqq 1$における最大値を$M(a,\ b,\ c)$とする．次の2条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$が成立するとき，$M(a,\ b,\ c)$の最小値を$m,\ n$を用いて表せ．
(i) $g(0)=g(1)=0$
(ii) $0<x<1$のとき$f(x) \leqq g(x)$
(4)$m,\ n$が2以上の自然数で$m>n$であるとき
\[ \frac{(m+n+1)!}{m!n!}>\frac{(m+n)^{m+n}}{m^mn^n}>2^{2n-1} \]
が成立することを示せ．
国立 信州大学 2013年 第2問$0 \leqq t \leqq 1$とする．関数$\displaystyle f(t)=\int_0^1 |\sqrt{x|-t} \, dx+t^2$について，次の問いに答えよ．
(1)$f(t)$を$t$の多項式で表せ．
(2)$f(t)$の最小値を求めよ．
(1)$f(t)$を$t$の多項式で表せ．
(2)$f(t)$の最小値を求めよ．
国立 金沢大学 2013年 第2問$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$に対して，関数$f(\theta)$を
\[ f(\theta)=\frac{2}{3}\sin 3\theta-\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \]
とおく．$t=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\sin 3\theta=3 \sin \theta-4 \sin^3 \theta$を示せ．また，$\displaystyle \frac{t^3-3t}{2}=\sin 3\theta$が成り立つことを示せ．
(3)$f(\theta)$を$t$の式で表せ．また，それを利用して$f(\theta)$の最大値と最小値，および最大値，最小値を与える$\theta$の値を求めよ．
\[ f(\theta)=\frac{2}{3}\sin 3\theta-\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \]
とおく．$t=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\sin 3\theta=3 \sin \theta-4 \sin^3 \theta$を示せ．また，$\displaystyle \frac{t^3-3t}{2}=\sin 3\theta$が成り立つことを示せ．
(3)$f(\theta)$を$t$の式で表せ．また，それを利用して$f(\theta)$の最大値と最小値，および最大値，最小値を与える$\theta$の値を求めよ．
国立 金沢大学 2013年 第3問$a>0$とする．$x \geqq 0$における関数$f(x)=e^{\sqrt{ax}}$と曲線$C:y=f(x)$について，次の問いに答えよ．
(1)$C$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{1}{a},\ f \left( \frac{1}{a} \right) \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．また，$\mathrm{P}$を通り$\ell$に直交する直線$m$の方程式を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{a}}f(x) \, dx$を$t=\sqrt{ax}$とおくことにより求めよ．
(3)曲線$C$，直線$y=1$および直線$m$で囲まれた図形の面積$S(a)$を求めよ．また，$a>0$における$S(a)$の最小値とそれを与える$a$の値を求めよ．
(1)$C$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{1}{a},\ f \left( \frac{1}{a} \right) \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．また，$\mathrm{P}$を通り$\ell$に直交する直線$m$の方程式を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{a}}f(x) \, dx$を$t=\sqrt{ax}$とおくことにより求めよ．
(3)曲線$C$，直線$y=1$および直線$m$で囲まれた図形の面積$S(a)$を求めよ．また，$a>0$における$S(a)$の最小値とそれを与える$a$の値を求めよ．