関数$\displaystyle y=-2 \sin \theta \cos \theta+2a(\sin \theta+\cos \theta)-a \left( -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4} \right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)$t=\sin \theta+\cos \theta$とおいて，$y$を$t$の関数で表せ．
(2)$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$y$の最大値$M(a)$を求めよ．
(4)$M(a)$の最小値を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$x$の$2$次方程式$x^2+ax+a+8=0$が異なる$2$つの実数解をもち，共に$1$より大きくなるような$a$の範囲を求めよ．
(2)${0}^{\circ} \leqq \theta \leqq {180}^{\circ}$のとき，関数$y=\sin^4 \theta-2 \sin^2 \theta+\cos^4 \theta$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{2x}{x^2+4}$について，以下の設問に答えよ．

(1)不等式$\displaystyle f(x)>-\frac{1}{2}$を解け．
(2)関数$f(x)$の導関数を求めよ．
(3)関数$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．
(4)$a>0$とする．$x \geqq 0$において，曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．$S(a) \geqq 2$となる$a$の値の範囲を求めよ．

二つの関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める．
\[ \begin{array}{l}
f(x)=4x^2-8s(x+k)+s^4-s^2 \\
g(x)=8sx+s^4-4
\end{array} \]
ここで，$k$と$s$は実数の定数であり，$0<s \leqq 1$とする．また，$y=f(x)$のグラフは点$(0,\ s^4)$を通ることとする．以下の設問に答えよ．$(1)$は解答のみでよく，$(2)$～$(4)$は解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)$k$を$s$で表せ．
(2)$f(x)$の最小値を$m$とする．$m$を$s$を用いて表せ．
(3)$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが少なくとも一つの共有点をもつような$s$の値の範囲を求めよ．
(4)$s$の値が$(3)$で得られた範囲にあるとき，$m$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$s$の値を求めよ．

点$\mathrm{P}$が楕円$x^2+4y^2=4$の上を動くとき，$\mathrm{P}$から定点$\displaystyle \mathrm{A}(a,\ 0) \left( 0<a<\frac{3}{2} \right)$への距離$L(p)$の最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の各問いに答えよ．

\mon[（ア）] $\displaystyle \frac{8}{9}<\frac{q}{p}<\frac{9}{10}$をみたす自然数$p,\ q$における$p$の最小値を記せ．

\mon[（イ）] $\displaystyle \frac{2013}{2014}<\frac{q}{p}<\frac{2014}{2015}$をみたす自然数$p,\ q$における$p$の最小値を記せ．

(2)自然数$a,\ b,\ c,\ d$が$ad-bc=1$をみたすとき，次の各問いに答えよ．

\mon[（ア）] 自然数$p,\ q$が$dq-cp>0$，$ap-bq>0$をみたすとき，$p$の最小値および$p$が最小となるような$q$の値をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
\mon[（イ）] $\displaystyle \frac{c}{d}<\frac{q}{p}<\frac{a}{b}$をみたす自然数$p,\ q$で$p$が最小となるような分数$\displaystyle \frac{q}{p}$を考えることにより，$a+c$，$b+d$が互いに素であることを示せ．
\mon[（ウ）] $A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\ a+d=10$のとき，$(A+A^{-1})^3$の値を求めよ．

以下の問いの空欄$[タ]$～$[ノ]$に適する数値，式を記せ．

(1)$i$を虚数単位として，等式$(2+i)(x-3yi)=1-i$を満たす実数$x$および$y$の値を求めると$x=[タ]$，$y=[チ]$となる．
(2)平面上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ -1)$と直線$x-2y-2=0$がある．この直線上に点$\mathrm{P}$をとるとき，$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$を最小にする点$\mathrm{P}$の座標は$([ツ],\ [テ])$となる．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$の条件で，関数$y=\cos 2\theta-4 \sin \theta$の最大値と最小値を求めると，$\theta=[ト]$のときに最大値$[ナ]$をとり，$\theta=[ニ]$のときに最小値$[ヌ]$をとる．
(4)不等式$9^x \leqq 6+3^x$の解は$[ネ]$である．
(5)$3$つの数$x-3,\ x+1,\ x+6$がこの順で等比数列となるとき，$x$の値を求めると$x=[ノ]$となる．

$2$つの曲線$C_1:f(x)=x^3-x$と$C_2:g(x)=x^3+x^2+ax$について考える．ただし，$a$は定数である．曲線$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(\frac{1}{2},\ -\frac{3}{8})$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{B}(p,\ q)$において曲線$C_1$と直線$\ell$は交わっている．以下の問題に答えよ．

(1)曲線$C_1$を原点に関して対称移動したグラフは$C_1$自身であることを証明せよ．
(2)直線$\ell$の方程式と$p,\ q$の値を求めよ．
(3)関数$f(x)$の$\displaystyle p \leqq x \leqq \frac{1}{2}$における最大値と最小値を求めよ．
(4)関数$g(x)$が極値を持たないための必要十分条件を導関数$g^\prime(x)$を用いて表せ．また，このときの定数$a$の値の範囲を求めよ．
(5)$a=1$のとき，$2$つの曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$0<t<1$とする．$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}$となる点を$\mathrm{C}$とし，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=t \overrightarrow{b}$となる点を$\mathrm{D}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(1-t) \overrightarrow{a}$となる点を$\mathrm{E}$，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{AB}}$となる点を$\mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{G}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$3|\overrightarrow{a}|^2+6|\overrightarrow{b}|^2-9|\overrightarrow{c}|^2=2|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2$となることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$および$t$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{DEF}$の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$t$を用いて多項式で表し，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$2$次方程式$3x^2-5x+3=0$を解け．
(2)$x \leqq 2$のとき，$4 \cdot 2^{2x}-2^{x+2}+2$の最小値とそのときの$x$の値，最大値とそのときの$x$の値を求めよ．