$f(x)=x^2-4$，$g(x)=x(x^2-1)$とし，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \leqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2 \\
x^2+y^2 \leqq 8 \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
f(x)g(x) \geqq 0 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]

(1)$f(x) \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$g(x) \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(3)$f(x)g(x) \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(4)$xy$平面上に領域$D$を図示せよ．
(5)領域$D$の面積を求めよ．
(6)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$2x+y$の最大値と最小値を求めよ．最大値と最小値をとるときの点$\mathrm{P}$の座標も答えること．

関数$f(x)$を以下のように定める．
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
-3x & (x \leqq 0) \\
x^2+3x & (0<x)
\end{array} \right. \]
このときの定積分$\displaystyle S(t)=\int_{t-1}^t f(x) \, dx$に関して，以下の問に答えよ．

(1)$S(0)$の値を求めよ．
(2)変数$t$が以下の範囲にあるときの$S(t)$を，それぞれ求めよ．
$① t<0$ \qquad $② 0 \leqq t<1$ \qquad $③ 1 \leqq t$
(3)$S(t)$を最小にする$t$の値と，$S(t)$の最小値を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=2x^2+3x+3 \left( -2 \leqq x \leqq \frac{1}{3} \right)$の最大値を$A$，最小値を$B$とするとき，$A$，$B$の値を求め，それらを$A$，$B$の順に記せ．

(2)座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 4)$と直線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x+1$がある．点$\mathrm{P}$が直線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x+1$上を動くとき，長さ$\mathrm{AP}$の最小値を求めよ．
(3)$x$の$2$次方程式$x^2-2kx+2k+3=0$が$-2<x<0$の範囲に異なる$2$つの実数解を持つとき，定数$k$の値の範囲は$A<k<B$となる．$A,\ B$の値を求め，それらを$A,\ B$の順に記せ．

(4)$\displaystyle \frac{\sqrt{23}+\sqrt{7}}{\sqrt{23}-\sqrt{7}}$の小数部分の値を求めよ．

(5)放物線$y=x^2-3x+2$を$x$軸方向に$2$，$y$軸方向に$-1$だけ平行移動した放物線の方程式を$y=f(x)$とおくとき，$\displaystyle f \left( \frac{3}{4} \right)$の値を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)座標平面上の点と方程式に関する以下の問に答えよ．

\mon[$①$] 点$(2,\ 3)$を通る傾き$m$の直線の方程式を求めよ．
\mon[$②$] 点$(2,\ 3)$から円$x^2+y^2=1$に引いた接線の傾きを求めよ．
\mon[$③$] 条件$x^2+y^2=1,\ y-x \geqq -1$を同時に満たす点$(x,\ y)$について$\displaystyle \frac{y-3}{x-2}=k$とおくとき，$k$の最大値を求めよ．

(2)三角関数に関する以下の問に答えよ．ただし$0 \leqq \theta<2\pi$とする．

\mon[$①$] $\sin \theta-\cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
\mon[$②$] $\sin \theta-\cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$の範囲を求めよ．
\mon[$③$] $\sin \theta-\cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$に対する$\displaystyle \frac{\sin \theta-3}{\cos \theta-2}$の最大値と最小値を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=2x^2+3x+3 \left( -2 \leqq x \leqq \frac{1}{3} \right)$の最大値を$A$，最小値を$B$とするとき，$A$，$B$の値を求め，それらを$A$，$B$の順に記せ．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-2kx+2k+3=0$が$-2<x<0$の範囲に異なる$2$つの実数解を持つとき，定数$k$の値の範囲は$A<k<B$となる．$A,\ B$の値を求め，それらを$A,\ B$の順に記せ．

(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{23}+\sqrt{7}}{\sqrt{23}-\sqrt{7}}$の小数部分の値を求めよ．

(4)放物線$y=x^2-3x+2$を$x$軸方向に$2$，$y$軸方向に$-1$だけ平行移動した放物線の方程式を$y=f(x)$とおくとき，$\displaystyle f \left( \frac{3}{4} \right)$の値を求めよ．

数列$\{\beta_n\}$の階差数列が，初項$3$，公差$2$の等差数列であるとし，$\beta_1=1$とする．$2$次方程式
\[ x^2-a_nx+b_n=0 \]
の$2$つの解が$\beta_n,\ \beta_{n+1}$となるとき，次の問に答えよ．

(1)$b_2=[ナニ]$である．
(2)$a_9=[ヌネノ]$である．
(3)$x^2-a_nx+b_n$の最小値を$M_n$とすると，数列$\{M_n\}$の階差数列は，初項$[ハヒ]$，公差$[フヘ]$の等差数列となる．

$a>0$とする．関数$f(x)$と$g(x)$を
\[ f(x)=-x^2,\quad g(x)=x^2-2ax \]
とおく．以下の問に答えよ．

(1)$a=1$のとき，$2$つの放物線$y=f(x)$，$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)関数$F(x)$を
\[ F(x)=\int_0^x \{f(t)-g(t)\} \, dt \]
で定義する．$F(x)$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$の関数$S(a)$を
\[ S(a)=\int_0^1 |f(x)-g(x)| \, dx \]
で定義する．$S(a)$の最小値を求めよ．

$f(x)=ax+b$とする．ただし$a \neq 0$．定積分
\[ I=\int_0^1 [\{f(x)\}^2+2xf(x)] \, dx \]
を考える．以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=1$のとき，$I$を$a$で表せ．
(2)$(1)$の条件のとき，$I$を最小にする$f(x)$と$I$の最小値を求めよ．
(3)$b=0$とするとき，$I$を最小にする$f(x)$と$I$の最小値を求めよ．

放物線$y=x^2-x-2$と直線$y=ax$に囲まれた図形の面積の最小値を求めなさい．

$t$の関数$f(t)$を
\[ f(t)=-\frac{1}{2}(\log_2 t)^3+21(\log_4 t)^2-9 \log_4 t^2+1 \]
とおく．このとき以下の問いに答えなさい．

(1)$x=\log_2 t$とおくとき，
\[ f(t)=-\frac{[ア]}{[イ]}x^3+\frac{[ウエ]}{[オ]}x^2-[カ]x+1 \]
である．
(2)変数$t$が$1 \leqq t \leqq 256$の範囲を動くとき，$f(t)$は$t=[キク]$のとき最大値$[ケコ]$をとり，$t=[サ]$のとき最小値$\displaystyle -\frac{[シス]}{[セ]}$をとる．