「最小値」について
タグ「最小値」の検索結果
（52ページ目：全1222問中511問～520問を表示）
私立 立教大学 2014年 第2問$k$を実数とし，座標平面上の$2$つの曲線
\[ C_1:y=k \cos x,\quad C_2:y=\sin 2x \]
を考える．このとき，次の問に答えよ．
(1)$C_1,\ C_2$が$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$において共有点をもつとき，$k$の取りうる値の範囲を求めよ．
以下では$k$が$(1)$の条件を満たすものとし，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$における$C_1$，$C_2$の共有点の$x$座標を$a$とおく．このとき，次の問に答えよ．
(2)$\sin a$を$k$を用いて表せ．
(3)座標平面上の$0 \leqq x \leqq a$の部分において，$C_1$，$C_2$および$y$軸によって囲まれる図形の面積を$S_1$とする．$S_1$を$k$を用いて表せ．
(4)座標平面上の$\displaystyle a \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分において，$C_1$，$C_2$によって囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_2$を$k$を用いて表せ．
(5)$k$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$S_1+S_2$の最小値を求めよ．
\[ C_1:y=k \cos x,\quad C_2:y=\sin 2x \]
を考える．このとき，次の問に答えよ．
(1)$C_1,\ C_2$が$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$において共有点をもつとき，$k$の取りうる値の範囲を求めよ．
以下では$k$が$(1)$の条件を満たすものとし，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$における$C_1$，$C_2$の共有点の$x$座標を$a$とおく．このとき，次の問に答えよ．
(2)$\sin a$を$k$を用いて表せ．
(3)座標平面上の$0 \leqq x \leqq a$の部分において，$C_1$，$C_2$および$y$軸によって囲まれる図形の面積を$S_1$とする．$S_1$を$k$を用いて表せ．
(4)座標平面上の$\displaystyle a \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分において，$C_1$，$C_2$によって囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_2$を$k$を用いて表せ．
(5)$k$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$S_1+S_2$の最小値を求めよ．
私立 立教大学 2014年 第1問次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$(\log_3 x)(\log_3 9x)-6 \log_9 x-6=0$を満たす$x$の値をすべて求めると，$[ア]$である．
(2)座標平面上に点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ 7)$，$\mathrm{C}(-1,\ 5)$がある．このとき，点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$と直交する直線の方程式は$y=[イ]$である．
(3)実数$x$が方程式$(1+i)x^2-(5+i)x+6-2i=0$を満たすとき，$x=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\tan \theta=\sqrt{7}$のとき，$\sin \theta=[エ]$である．
(5)$3$つのさいころを同時に投げたとき，出た目の最小値が$5$となる確率は$[オ]$である．
(6)整式$P(x)=x^3+ax^2+bx+c$は$x^2-3x+2$で割ったときの余りが$-2x+7$であり，関数$y=P(x)$は$x=1$で極値をとる．このとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$，$c=[ク]$である．
(7)$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=3$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}$のとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ケ]$である．
(8)直線$y=2x+k$が円$x^2-2x+y^2=0$と共有点をもつとき，$[コ] \leqq k \leqq [サ]$である．
(1)$(\log_3 x)(\log_3 9x)-6 \log_9 x-6=0$を満たす$x$の値をすべて求めると，$[ア]$である．
(2)座標平面上に点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ 7)$，$\mathrm{C}(-1,\ 5)$がある．このとき，点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$と直交する直線の方程式は$y=[イ]$である．
(3)実数$x$が方程式$(1+i)x^2-(5+i)x+6-2i=0$を満たすとき，$x=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\tan \theta=\sqrt{7}$のとき，$\sin \theta=[エ]$である．
(5)$3$つのさいころを同時に投げたとき，出た目の最小値が$5$となる確率は$[オ]$である．
(6)整式$P(x)=x^3+ax^2+bx+c$は$x^2-3x+2$で割ったときの余りが$-2x+7$であり，関数$y=P(x)$は$x=1$で極値をとる．このとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$，$c=[ク]$である．
(7)$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=3$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}$のとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ケ]$である．
(8)直線$y=2x+k$が円$x^2-2x+y^2=0$と共有点をもつとき，$[コ] \leqq k \leqq [サ]$である．
私立 立教大学 2014年 第1問次の空欄$[ア]$，$[イ]$に「真」または「偽」のいずれかを記入せよ．また空欄$[ウ]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)実数$a,\ b$について，命題「$ab=0$ならば$b=0$である」の逆は$[ア]$であり，裏は$[イ]$である．
(2)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}$のとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ]$，$\displaystyle x^4+\frac{1}{x^4}=[エ]$と，いずれも整数で表せる．
(3)すべての実数$x$について$2$次不等式$x^2-2(k+1)x+2k^2>0$が成立するような実数$k$の範囲は$[オ]$である．
(4)$1$から$4$までの数字が$1$つずつ書かれたカードをそれぞれ$2$枚用意する．この$8$枚のカードから$6$枚を同時に引き，その中で最大の数を$X$とするとき，$X$の期待値は$[カ]$である．
(5)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\sqrt{3} \cos \theta+\sin \theta$の最大値は$[キ]$であり，最小値は$[ク]$である．
(6)方程式$\log_{\frac{1}{2}}x^2+\log_2 x^{\frac{9}{2}}+\log_4 x^{-1}=4$を満たす$x$の値は$[ケ]$である．
(7)等差数列をなす$3$つの数がある．これらの和が$1$で，平方の和が$\displaystyle \frac{11}{24}$であるとき，$3$つの数は$[コ]$である．
(8)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ x)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ -1)$について，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$が垂直であるときの$x$の値をすべて求めると，$[サ]$である．
(1)実数$a,\ b$について，命題「$ab=0$ならば$b=0$である」の逆は$[ア]$であり，裏は$[イ]$である．
(2)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}$のとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ]$，$\displaystyle x^4+\frac{1}{x^4}=[エ]$と，いずれも整数で表せる．
(3)すべての実数$x$について$2$次不等式$x^2-2(k+1)x+2k^2>0$が成立するような実数$k$の範囲は$[オ]$である．
(4)$1$から$4$までの数字が$1$つずつ書かれたカードをそれぞれ$2$枚用意する．この$8$枚のカードから$6$枚を同時に引き，その中で最大の数を$X$とするとき，$X$の期待値は$[カ]$である．
(5)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\sqrt{3} \cos \theta+\sin \theta$の最大値は$[キ]$であり，最小値は$[ク]$である．
(6)方程式$\log_{\frac{1}{2}}x^2+\log_2 x^{\frac{9}{2}}+\log_4 x^{-1}=4$を満たす$x$の値は$[ケ]$である．
(7)等差数列をなす$3$つの数がある．これらの和が$1$で，平方の和が$\displaystyle \frac{11}{24}$であるとき，$3$つの数は$[コ]$である．
(8)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ x)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ -1)$について，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$が垂直であるときの$x$の値をすべて求めると，$[サ]$である．
私立 南山大学 2014年 第2問$a>0$とし，関数$f(x)=x^3-3ax^2+2a^3+2a+1$を考える．
(1)方程式$f^\prime(x)=0$の解を求めよ．
(2)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)$x \geqq -1$における$f(x)$の最小値$m$を求めよ．
(4)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$(3)$の$m$の最大値を求めよ．
(1)方程式$f^\prime(x)=0$の解を求めよ．
(2)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)$x \geqq -1$における$f(x)$の最小値$m$を求めよ．
(4)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$(3)$の$m$の最大値を求めよ．
私立 東京医科大学 2014年 第2問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{p}=(3 \cos t,\ 2 \sin t)$，$\displaystyle \overrightarrow{q}=\left( 3 \cos \left( t+\frac{\pi}{3} \right),\ 2 \sin \left( t+\frac{\pi}{3} \right) \right)$を考える．$t$が$0 \leqq t \leqq \pi$の範囲を動くとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$の最大値を$M$，最小値を$m$とすれば
\[ M=\frac{[アイ]}{[ウ]},\quad m=\frac{[エ]}{[オ]} \]
である．
(2)数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\frac{1}{n^5} \sum_{k=1}^n k^4 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定める．このとき$\{a_n\}$は収束し，$\displaystyle \alpha=\lim_{n \to \infty}a_n$とすれば
\[ \alpha=\frac{[カ]}{[キ]} \]
である．さらにこれらの$a_n,\ \alpha$を用いて，数列$\{b_n\}$を$b_n=(\alpha-a_n)n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定めれば$\{b_n\}$も収束し，$\displaystyle \beta=\lim_{n \to \infty}b_n$とすれば
\[ \beta=\frac{[クケ]}{[コ]} \]
である．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{p}=(3 \cos t,\ 2 \sin t)$，$\displaystyle \overrightarrow{q}=\left( 3 \cos \left( t+\frac{\pi}{3} \right),\ 2 \sin \left( t+\frac{\pi}{3} \right) \right)$を考える．$t$が$0 \leqq t \leqq \pi$の範囲を動くとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$の最大値を$M$，最小値を$m$とすれば
\[ M=\frac{[アイ]}{[ウ]},\quad m=\frac{[エ]}{[オ]} \]
である．
(2)数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\frac{1}{n^5} \sum_{k=1}^n k^4 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定める．このとき$\{a_n\}$は収束し，$\displaystyle \alpha=\lim_{n \to \infty}a_n$とすれば
\[ \alpha=\frac{[カ]}{[キ]} \]
である．さらにこれらの$a_n,\ \alpha$を用いて，数列$\{b_n\}$を$b_n=(\alpha-a_n)n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定めれば$\{b_n\}$も収束し，$\displaystyle \beta=\lim_{n \to \infty}b_n$とすれば
\[ \beta=\frac{[クケ]}{[コ]} \]
である．
私立 日本獣医生命科学大学 2014年 第4問$0 \leqq x<2 \pi$のとき$f(x)=\cos^2 x+\sin x-1$の最大値とそのときの$x$の値，最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
私立 東京都市大学 2014年 第3問$0 \leqq x \leqq 2\pi$を定義域とする関数$f(x)=e^{ax} \sin x$が$\displaystyle x=\frac{5\pi}{3}$で極値をとるとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．
私立 千歳科学技術大学 2014年 第3問関数$y=4 \sin^4 x+\sin^2 2x+4 \sin x-3 (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，以下の問いに答えなさい．
(1)$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$のとき，$y$の値を求めなさい．
(2)$\sin x=t$のとき，$y$を$t$で表しなさい．
(3)$y$の最大値と最小値を求めなさい．また，そのときの$x$の値も求めなさい．
(1)$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$のとき，$y$の値を求めなさい．
(2)$\sin x=t$のとき，$y$を$t$で表しなさい．
(3)$y$の最大値と最小値を求めなさい．また，そのときの$x$の値も求めなさい．
私立 千歳科学技術大学 2014年 第3問関数$y=4 \sin^4 x+\sin^2 2x+4 \sin x-3 (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，以下の問いに答えなさい．
(1)$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$のとき，$y$の値を求めなさい．
(2)$\sin x=t$のとき，$y$を$t$で表しなさい．
(3)$y$の最大値と最小値を求めなさい．また，そのときの$x$の値も求めなさい．
(1)$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$のとき，$y$の値を求めなさい．
(2)$\sin x=t$のとき，$y$を$t$で表しなさい．
(3)$y$の最大値と最小値を求めなさい．また，そのときの$x$の値も求めなさい．
私立 千歳科学技術大学 2014年 第1問以下の各問いに答えなさい．
(1)次の$[ ]$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$[ア]$といい，表すことができない数を$[イ]$という．
(2)$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)$x+y=1$のとき$x^2+y^2$の最小値を求めなさい．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(5)円$x^2+y^2=2$と直線$y=x-1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さを求めなさい．
(6)$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．
(1)次の$[ ]$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$[ア]$といい，表すことができない数を$[イ]$という．
(2)$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)$x+y=1$のとき$x^2+y^2$の最小値を求めなさい．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(5)円$x^2+y^2=2$と直線$y=x-1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さを求めなさい．
(6)$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．