「最小値」について
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私立 成城大学 2014年 第3問$x$の関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}ax^2-a$の$0 \leqq x \leqq 2$における最大値を$g(a)$とおく．ただし，$a$は実数とする．
(1)$g(a)$を求めよ．
(2)$g(a)$の最小値と，その時の$a$を求めよ．
(1)$g(a)$を求めよ．
(2)$g(a)$の最小値と，その時の$a$を求めよ．
私立 星薬科大学 2014年 第6問空間内の$2$点$(-1,\ 3,\ -2)$，$(-3,\ 2,\ -1)$を通る直線$\ell$がある．$x$軸上の点$\mathrm{P}$と$\ell$上の点$\mathrm{Q}$との距離が最小になるときの$\mathrm{P}$の座標は$(-[$55$],\ 0,\ 0)$，$\mathrm{Q}$の座標は$\displaystyle \left(-[$56$],\ \frac{[$57$]}{[$58$]},\ \frac{[$59$]}{[$60$]} \right)$であり，その距離の最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[$61$]}}{[$62$]}$である．
私立 北里大学 2014年 第2問$m$を定数とする．$2$次関数$f(x)=x^2-2mx+m^2-4m$について，以下の問に答えよ．
(1)$m=3$のとき，$f(x)$の最小値を求めよ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$において，$f(x)$の最大値が$2$，最小値が$-4m$となるような$m$の値を求めよ．
(1)$m=3$のとき，$f(x)$の最小値を求めよ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$において，$f(x)$の最大値が$2$，最小値が$-4m$となるような$m$の値を求めよ．
私立 東京薬科大学 2014年 第2問次の問いに答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．
(1)不等式
\[ 1+\frac{1}{\log_2 x}-\frac{3}{\log_3 x}<0 \]
を解くと，
\[ [タ]<x<\frac{[チツ]}{[テ]} \]
である．
(2)関数$f(x)=8^x+8^{-x}-5(4^x+4^{-x})+6(2^x+2^{-x})$がある．ただし，$x$は全ての実数を動く．
(i) $2^x+2^{-x}=t$とおくとき，$t$の取り得る値の範囲は$t \geqq [$*$ ト]$である．
(ii) $4^x+4^{-x}$，$8^x+8^{-x}$を$t$の式で表すと
\[ 4^x+4^{-x}=t^2+[$* ナ$],\quad 8^x+8^{-x}=t^3+[$* ニ$]t \]
である．
(iii) $f(x)$を$t$の式で表すと，$f(x)=t^3+[$*$ ス]t^2+[$*$ ネ]t+[$*$ ノハ]$である．
\mon[$\tokeishi$] $f(x)$の最小値は$[$*$ ヒ]$である．
(1)不等式
\[ 1+\frac{1}{\log_2 x}-\frac{3}{\log_3 x}<0 \]
を解くと，
\[ [タ]<x<\frac{[チツ]}{[テ]} \]
である．
(2)関数$f(x)=8^x+8^{-x}-5(4^x+4^{-x})+6(2^x+2^{-x})$がある．ただし，$x$は全ての実数を動く．
(i) $2^x+2^{-x}=t$とおくとき，$t$の取り得る値の範囲は$t \geqq [$*$ ト]$である．
(ii) $4^x+4^{-x}$，$8^x+8^{-x}$を$t$の式で表すと
\[ 4^x+4^{-x}=t^2+[$* ナ$],\quad 8^x+8^{-x}=t^3+[$* ニ$]t \]
である．
(iii) $f(x)$を$t$の式で表すと，$f(x)=t^3+[$*$ ス]t^2+[$*$ ネ]t+[$*$ ノハ]$である．
\mon[$\tokeishi$] $f(x)$の最小値は$[$*$ ヒ]$である．
私立 東京薬科大学 2014年 第5問$k$を正の定数として，放物線$C:y=x^2$と直線$\ell_n:y=a_nx+ka_n-{a_n}^2$を考える．$C$と$\ell_n$の共有点の個数を$a_{n+1}$として数列$\{a_n\}$を定める．ただし，以下では常に$a_1=0$とする．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．
(1)$k=1$のとき，$a_2=[と]$，$a_3=[な]$である．
(2)$k=1$のとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^{100} a_n=[にぬ]$である．また，$C$と$\ell_n$の共有点の個数が$2$であるとき，両者で囲まれる部分の面積は$\displaystyle \frac{[ね]}{[の]}$である．
(3)数列$\{a_n\}$のとる値に$2$が一度も現れないとき，$\displaystyle k \leqq \frac{[は]}{[ひ]}$である．
(4)数列$\{a_n\}$のある番号$N$から先の項（$N$も含める）がすべて$2$になるとき，そのようなことが可能になる$N$の最小値は$[ふ]$であり，そのとき$\displaystyle k>\frac{[へ]}{[ほ]}$である．
(1)$k=1$のとき，$a_2=[と]$，$a_3=[な]$である．
(2)$k=1$のとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^{100} a_n=[にぬ]$である．また，$C$と$\ell_n$の共有点の個数が$2$であるとき，両者で囲まれる部分の面積は$\displaystyle \frac{[ね]}{[の]}$である．
(3)数列$\{a_n\}$のとる値に$2$が一度も現れないとき，$\displaystyle k \leqq \frac{[は]}{[ひ]}$である．
(4)数列$\{a_n\}$のある番号$N$から先の項（$N$も含める）がすべて$2$になるとき，そのようなことが可能になる$N$の最小値は$[ふ]$であり，そのとき$\displaystyle k>\frac{[へ]}{[ほ]}$である．
私立 昭和薬科大学 2014年 第2問関数$f(x)$は$x>0$において$f(x)>0$であり，$x$軸，$y$軸，$y=f(x)$，および$x=a (a>0)$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とすると，$\displaystyle S(a)=\frac{1}{4}a^2+a$である．また，関数$g(x)$は$x>0$において$g(x)<0$であり，$x$軸，$y$軸，$y=g(x)$，および$x=a (a>0)$で囲まれた部分の面積を$T(a)$とすると，$\displaystyle T(a)=\frac{1}{3}a^3-a^2+2a$である．
(1)$y=f(x)$，$y=g(x)$，$x=1$，$x=2$で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[ノ][ハ]}{[ヒ][フ]}$である．
(2)$f(1)-g(1)$の値は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ]}$である．
(3)$x>0$において，$f(x)-g(x)$の最小値は$\displaystyle \frac{[マ][ミ]}{[ム][メ]}$である．
(1)$y=f(x)$，$y=g(x)$，$x=1$，$x=2$で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[ノ][ハ]}{[ヒ][フ]}$である．
(2)$f(1)-g(1)$の値は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ]}$である．
(3)$x>0$において，$f(x)-g(x)$の最小値は$\displaystyle \frac{[マ][ミ]}{[ム][メ]}$である．
私立 名城大学 2014年 第1問次の問について，答えを$[ ]$に記入せよ．
(1)$x=3+\sqrt{5}$，$y=3-\sqrt{5}$のとき，$4x^2+3xy+4y^2=[ア]$，$\displaystyle \frac{y}{x}+\frac{x}{y}=[イ]$である．
(2)関数$f(x)=-x^2+8x+c (2 \leqq x \leqq 5)$の最小値が$1$のとき，$c=[ウ]$である．また，そのときの$f(x)$の最大値は$[エ]$である．
(3)放物線$C_1:y=(x-p)^2+q$が放物線$C_2:y=-x^2$に接するとき，$p,\ q$の満たす条件は$[オ]$である．これより，$p$がすべての実数値をとって変わるとき，$C_1$の頂点が描く軌跡は放物線であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C:y=x^2+x$と直線$\ell_1:y=-x$との$2$つの交点のうち，原点ではない交点の$x$座標を$x_0$とすると，$x_0=[キ]$である．$C$と$\ell_1$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C$，$\ell_1$および直線$\ell_2:x=-4$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1+S_2=[ク]$である．
(1)$x=3+\sqrt{5}$，$y=3-\sqrt{5}$のとき，$4x^2+3xy+4y^2=[ア]$，$\displaystyle \frac{y}{x}+\frac{x}{y}=[イ]$である．
(2)関数$f(x)=-x^2+8x+c (2 \leqq x \leqq 5)$の最小値が$1$のとき，$c=[ウ]$である．また，そのときの$f(x)$の最大値は$[エ]$である．
(3)放物線$C_1:y=(x-p)^2+q$が放物線$C_2:y=-x^2$に接するとき，$p,\ q$の満たす条件は$[オ]$である．これより，$p$がすべての実数値をとって変わるとき，$C_1$の頂点が描く軌跡は放物線であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C:y=x^2+x$と直線$\ell_1:y=-x$との$2$つの交点のうち，原点ではない交点の$x$座標を$x_0$とすると，$x_0=[キ]$である．$C$と$\ell_1$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C$，$\ell_1$および直線$\ell_2:x=-4$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1+S_2=[ク]$である．
私立 上智大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^1 |(x-1)(x-t)| \, dt \]
とする．
$x \leqq [ア]$，$x \geqq [イ]$のとき，
\[ f(x)=[ウ]x^2+\frac{[エ]}{[オ]}x+\frac{[カ]}{[キ]} \]
$[ア]<x<[イ]$のとき，
\[ f(x)=[ク]x^3+[ケ]x^2+\frac{[コ]}{[サ]}x+\frac{[シ]}{[ス]} \]
である．また，関数$f(x)$は$x=[セ]$のとき，最小値$[ソ]$をとる．
(2)自然数$m,\ n$が
\[ \frac{1}{m}+\frac{1}{n}<\frac{1}{3} \]
を満たすとき，$\displaystyle \frac{1}{m}+\frac{1}{n}$の最大値は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チ]}$である．
(1)関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^1 |(x-1)(x-t)| \, dt \]
とする．
$x \leqq [ア]$，$x \geqq [イ]$のとき，
\[ f(x)=[ウ]x^2+\frac{[エ]}{[オ]}x+\frac{[カ]}{[キ]} \]
$[ア]<x<[イ]$のとき，
\[ f(x)=[ク]x^3+[ケ]x^2+\frac{[コ]}{[サ]}x+\frac{[シ]}{[ス]} \]
である．また，関数$f(x)$は$x=[セ]$のとき，最小値$[ソ]$をとる．
(2)自然数$m,\ n$が
\[ \frac{1}{m}+\frac{1}{n}<\frac{1}{3} \]
を満たすとき，$\displaystyle \frac{1}{m}+\frac{1}{n}$の最大値は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チ]}$である．
私立 上智大学 2014年 第3問$a \geqq 0$とし
\[ S(a)=\int_0^1 |x^2+2ax+a^2-1| \, dx \]
とおく．
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2}$のとき$\displaystyle S(a)=\frac{[ホ]}{[マ]}$である．
(2)等式
\[ S(a)=\int_0^1 (x^2+2ax+a^2-1) \, dx \]
が成り立つ$a$の範囲は$a \geqq [ミ]$である．
(3)$a \geqq [ミ]$のとき
\[ S(a)=[ム]a^2+[メ]a+\frac{[モ]}{[ヤ]} \]
であり，$0 \leqq a<[ミ]$のとき
\[ S(a)=\frac{[ユ]}{[ヨ]}a^3+[ラ]a^2+[リ]a+\frac{[ル]}{[レ]} \]
である．
(4)$S(a)$は$\displaystyle a=\frac{[ロ]+\sqrt{[ワ]}}{[ヲ]}$のとき最小値をとる．
\[ S(a)=\int_0^1 |x^2+2ax+a^2-1| \, dx \]
とおく．
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2}$のとき$\displaystyle S(a)=\frac{[ホ]}{[マ]}$である．
(2)等式
\[ S(a)=\int_0^1 (x^2+2ax+a^2-1) \, dx \]
が成り立つ$a$の範囲は$a \geqq [ミ]$である．
(3)$a \geqq [ミ]$のとき
\[ S(a)=[ム]a^2+[メ]a+\frac{[モ]}{[ヤ]} \]
であり，$0 \leqq a<[ミ]$のとき
\[ S(a)=\frac{[ユ]}{[ヨ]}a^3+[ラ]a^2+[リ]a+\frac{[ル]}{[レ]} \]
である．
(4)$S(a)$は$\displaystyle a=\frac{[ロ]+\sqrt{[ワ]}}{[ヲ]}$のとき最小値をとる．
私立 武庫川女子大学 2014年 第3問次の空欄$[$39$]$～$[$60$]$にあてはまる数字を入れよ．ただし，空欄$[$41$]$，$[$44$]$，$[$47$]$，$[$51$]$には$+$または$-$の記号が入る．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{5x^2+5x-30}{x-2}=[$39$][$40$]$である．
(2)$2$次関数$y=f(x)$のグラフは原点と点$\displaystyle \left( 1,\ \frac{17}{4} \right)$を通る．また，$x=2$において傾き$8$の接線をもつ．このとき，$f(x)$の最小値は$\displaystyle [$41$] \frac{[$42$]}{[$43$]}$である．
(3)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$（ただし，$a,\ b,\ c$は定数）がある．すべての実数$x$について$3f(x)+4f^\prime(x)=-2x^2+5x+7$が常に成立するとき，
\[ a=[$44$] \frac{[$45$]}{[$46$]},\quad b=[$47$] \frac{[$48$][$49$]}{[$50$]},\quad c=[$51$] \frac{[$52$][$53$]}{[$54$][$55$]} \]
である．
(4)$2$つの関数$\displaystyle f(x)=x-\frac{3}{a}$および$\displaystyle g(x)=ax^2+7x+\frac{6}{a}$がある（ただし，$a$は正の定数）．$xy$平面上の$4$つのグラフ$y=f(x)$，$y=g(x)$，$x=0$および$x=1$で囲まれる図形の面積は$a=[$56$] \sqrt{[$57$]}$のとき最小値$[$58$]+[$59$] \sqrt{[$60$]}$をとる．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{5x^2+5x-30}{x-2}=[$39$][$40$]$である．
(2)$2$次関数$y=f(x)$のグラフは原点と点$\displaystyle \left( 1,\ \frac{17}{4} \right)$を通る．また，$x=2$において傾き$8$の接線をもつ．このとき，$f(x)$の最小値は$\displaystyle [$41$] \frac{[$42$]}{[$43$]}$である．
(3)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$（ただし，$a,\ b,\ c$は定数）がある．すべての実数$x$について$3f(x)+4f^\prime(x)=-2x^2+5x+7$が常に成立するとき，
\[ a=[$44$] \frac{[$45$]}{[$46$]},\quad b=[$47$] \frac{[$48$][$49$]}{[$50$]},\quad c=[$51$] \frac{[$52$][$53$]}{[$54$][$55$]} \]
である．
(4)$2$つの関数$\displaystyle f(x)=x-\frac{3}{a}$および$\displaystyle g(x)=ax^2+7x+\frac{6}{a}$がある（ただし，$a$は正の定数）．$xy$平面上の$4$つのグラフ$y=f(x)$，$y=g(x)$，$x=0$および$x=1$で囲まれる図形の面積は$a=[$56$] \sqrt{[$57$]}$のとき最小値$[$58$]+[$59$] \sqrt{[$60$]}$をとる．