「最小値」について
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私立 早稲田大学 2014年 第2問以下の不等式$(ⅰ)$～$\tokeigo$をすべて満たす点$(x,\ y)$からなる領域を$S$とする．
$(ⅰ)$ $-x+2y \leqq 20$
$(ⅱ)$ $2x+3y \leqq 44$
$(ⅲ)$ $4x-y \leqq 32$
$\tokeishi$ $x \geqq 0$
$\tokeigo$ $y \geqq 0$
次の問いに答えよ．
(1)領域$S$において$x+3y$を最大にする点$\mathrm{A}(x,\ y)$の$x$座標は$[オ]$，$y$座標は$[カ]$である．このとき$x+3y$の最大値$M$は$[キ]$である．
(2)$a$を実数，$b$を正の実数とする．領域$S$において$ax+by$を最大にする点が，$(1)$で求めた点$\mathrm{A}(x,\ y)$のみの場合，$\displaystyle \frac{a}{b}$がとりうる値の範囲は
\[ [ク]<\frac{a}{b}<[ケ] \]
である．
(3)$a$を正の実数，$b$を正の実数とする．領域$S$において$ax+by$を最大にする点が複数あるとき，$\displaystyle \frac{a}{b}$がとりうる値は$[コ]$である．
(4)$c$を実数とし，上記の不等式$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$\tokeishi$，$\tokeigo$と不等式
\[ (ⅲ)^* 4x-y \leqq c \]
をすべて満たす点$(x,\ y)$からなる領域を$S^{*}$とする．領域$S^*$において$x+3y$の最大値が$(1)$で求めた$M$であるとすると，$c$がとりうる最小値は$[サ]$である．
$(ⅰ)$ $-x+2y \leqq 20$
$(ⅱ)$ $2x+3y \leqq 44$
$(ⅲ)$ $4x-y \leqq 32$
$\tokeishi$ $x \geqq 0$
$\tokeigo$ $y \geqq 0$
次の問いに答えよ．
(1)領域$S$において$x+3y$を最大にする点$\mathrm{A}(x,\ y)$の$x$座標は$[オ]$，$y$座標は$[カ]$である．このとき$x+3y$の最大値$M$は$[キ]$である．
(2)$a$を実数，$b$を正の実数とする．領域$S$において$ax+by$を最大にする点が，$(1)$で求めた点$\mathrm{A}(x,\ y)$のみの場合，$\displaystyle \frac{a}{b}$がとりうる値の範囲は
\[ [ク]<\frac{a}{b}<[ケ] \]
である．
(3)$a$を正の実数，$b$を正の実数とする．領域$S$において$ax+by$を最大にする点が複数あるとき，$\displaystyle \frac{a}{b}$がとりうる値は$[コ]$である．
(4)$c$を実数とし，上記の不等式$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$\tokeishi$，$\tokeigo$と不等式
\[ (ⅲ)^* 4x-y \leqq c \]
をすべて満たす点$(x,\ y)$からなる領域を$S^{*}$とする．領域$S^*$において$x+3y$の最大値が$(1)$で求めた$M$であるとすると，$c$がとりうる最小値は$[サ]$である．
私立 京都女子大学 2014年 第3問$f(x)=|x+1|-|x^2+x|$とする．次の問に答えよ．
(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)関数$y=f(x) (-2 \leqq x \leqq 2)$の最大値および最小値を求めよ．
(3)定数$a$を$0 \leqq a \leqq 2$とするとき，方程式$f(x)=a$の解を求めよ．
(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)関数$y=f(x) (-2 \leqq x \leqq 2)$の最大値および最小値を求めよ．
(3)定数$a$を$0 \leqq a \leqq 2$とするとき，方程式$f(x)=a$の解を求めよ．
私立 昭和大学 2014年 第3問$a$を定数とし，$2$次関数$y=2x^2-4(a-2)x+2a^2-7a+9$のグラフを$C$とする．以下の各問いに答えよ．
(1)$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$a<2$とする．$x$の範囲を$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最小値とそのときの$x$の値を，$a$の値の範囲によって場合分けして答えよ．
(4)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，最大値と最小値の差が$6$になるときの$a$の値を求めよ．
(1)$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$a<2$とする．$x$の範囲を$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最小値とそのときの$x$の値を，$a$の値の範囲によって場合分けして答えよ．
(4)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，最大値と最小値の差が$6$になるときの$a$の値を求めよ．
私立 昭和大学 2014年 第3問$a$を定数とし，$2$次関数$y=2x^2-4(a-2)x+2a^2-7a+9$のグラフを$C$とする．以下の各問いに答えよ．
(1)$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$a<2$とする．$x$の範囲を$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最小値とそのときの$x$の値を，$a$の値の範囲によって場合分けして答えよ．
(4)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，最大値と最小値の差が$6$になるときの$a$の値を求めよ．
(1)$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$a<2$とする．$x$の範囲を$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最小値とそのときの$x$の値を，$a$の値の範囲によって場合分けして答えよ．
(4)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，最大値と最小値の差が$6$になるときの$a$の値を求めよ．
私立 昭和大学 2014年 第4問放物線$C:y=x^2$のグラフと直線$\ell:y=-ax$を考える．ただし，$0<a<2$とする．$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$C$と$\ell$と直線$x=-2$のすべてで囲まれた図形の面積を$S_2$とするとき，以下の各問いに答えよ．
(1)$S_1$を$a$の式で表せ．
(2)$S_2$を$a$の式で表せ．
(3)$S=S_1+S_2$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
(1)$S_1$を$a$の式で表せ．
(2)$S_2$を$a$の式で表せ．
(3)$S=S_1+S_2$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
私立 北里大学 2014年 第1問次の$[ ]$にあてはまる答を求めよ．
(1)$0<x<1$とする．$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=6$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア]$，$x^3=[イ]$である．
(2)$a,\ b$は正の定数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2+(a^2-4a)x+a-b=0$が$2$つの数$\alpha+3$，$\beta+3$を解とするとき，$a,\ b$の値は$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \geqq 1$が成り立つ$\theta$の範囲は$[オ]$である．$[オ]$の範囲で$2 \cos 2\theta+3 \sin \theta$は最大値$[カ]$，最小値$[キ]$をとる．
(4)正十六角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_{16}$の$16$個の頂点のうちの$3$個を頂点とする三角形の総数は$[ク]$である．これらの三角形のうち，直角三角形の個数は$[ケ]$個であり，鈍角三角形の個数は$[コ]$個である．
(1)$0<x<1$とする．$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=6$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア]$，$x^3=[イ]$である．
(2)$a,\ b$は正の定数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2+(a^2-4a)x+a-b=0$が$2$つの数$\alpha+3$，$\beta+3$を解とするとき，$a,\ b$の値は$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \geqq 1$が成り立つ$\theta$の範囲は$[オ]$である．$[オ]$の範囲で$2 \cos 2\theta+3 \sin \theta$は最大値$[カ]$，最小値$[キ]$をとる．
(4)正十六角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_{16}$の$16$個の頂点のうちの$3$個を頂点とする三角形の総数は$[ク]$である．これらの三角形のうち，直角三角形の個数は$[ケ]$個であり，鈍角三角形の個数は$[コ]$個である．
私立 安田女子大学 2014年 第2問周囲の長さが$24 \, \mathrm{cm}$の長方形において，次の問いに答えよ．
(1)対角線の長さの最小値を求めよ．
(2)対角線の長さが$9 \, \mathrm{cm}$以上，$11 \, \mathrm{cm}$以下であるとき，長方形の短い方の辺の長さの範囲を求めよ．
(1)対角線の長さの最小値を求めよ．
(2)対角線の長さが$9 \, \mathrm{cm}$以上，$11 \, \mathrm{cm}$以下であるとき，長方形の短い方の辺の長さの範囲を求めよ．
私立 安田女子大学 2014年 第2問周囲の長さが$24 \, \mathrm{cm}$の長方形において，次の問いに答えよ．
(1)対角線の長さの最小値を求めよ．
(2)対角線の長さが$9 \, \mathrm{cm}$以上，$11 \, \mathrm{cm}$以下であるとき，長方形の短い方の辺の長さの範囲を求めよ．
(1)対角線の長さの最小値を求めよ．
(2)対角線の長さが$9 \, \mathrm{cm}$以上，$11 \, \mathrm{cm}$以下であるとき，長方形の短い方の辺の長さの範囲を求めよ．
私立 安田女子大学 2014年 第4問$x,\ y$は正の値をとる変数で，$x+y=a$（$a$は定数）を満たす．$\displaystyle z=\log_2 \frac{1}{x}+\log_\frac{1}{2}y$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$z$を$x$と$y$の積$xy$を用いて表せ．
(2)$z$の最小値を$a$を用いて表せ．
(3)$x+y=a$を満たす全ての正の数$x,\ y$に対して，$z>0$であるとき，$a$のとり得る値の範囲を求めよ．
(1)$z$を$x$と$y$の積$xy$を用いて表せ．
(2)$z$の最小値を$a$を用いて表せ．
(3)$x+y=a$を満たす全ての正の数$x,\ y$に対して，$z>0$であるとき，$a$のとり得る値の範囲を求めよ．
私立 吉備国際大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$(\sqrt{2}-1)^2-(\sqrt{2}-1)(\sqrt{8}+1)$を計算せよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=1$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$のとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(3)連立不等式$2-3x \leqq 5,\ 2(x-1)>3x-5$を解け．
(4)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$のうちから異なる$3$個の数字を並べて$3$桁の整数をつくる．奇数はいくつできるか．
(5)$2$次関数$y=x^2+2ax+4$は$x=1$のとき最小値をとる．その最小値を求めよ．
(1)$(\sqrt{2}-1)^2-(\sqrt{2}-1)(\sqrt{8}+1)$を計算せよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=1$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$のとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(3)連立不等式$2-3x \leqq 5,\ 2(x-1)>3x-5$を解け．
(4)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$のうちから異なる$3$個の数字を並べて$3$桁の整数をつくる．奇数はいくつできるか．
(5)$2$次関数$y=x^2+2ax+4$は$x=1$のとき最小値をとる．その最小値を求めよ．