関数$\displaystyle f(a)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin x-ax)^2 \, dx$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．

$a$を実数とする．関数$f(x)=x^3-ax$を考える．次の設問に答えよ．

(1)$f(x)$が区間$-1<x<1$において極値をとるような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$の区間$-1 \leqq x \leqq 1$における最小値が$\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2}$となる$a$の値をすべて求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=\sqrt{3} \cos^2 \theta+(1-\sqrt{3}) \cos \theta \sin \theta-\sin^2 \theta$の最大値，最小値を求めよ．ただし，最大値，最小値をとる$\theta$の値は求めなくてよい．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n^2-4}$の和を求めよ．

平面上の$2$点$\mathrm{P}(1,\ 2)$，$\mathrm{Q}(3,\ 2)$と直線$L:y=ax+1$に対して，$\mathrm{P}$と$L$の距離を$p$とし，$\mathrm{Q}$と$L$の距離を$q$とする．$a$が実数全体を動くとき，$p^2+q^2$の最小値と，最小値を与える$a$を求めよ．

条件${0}^{\circ} \leqq a \leqq {180}^{\circ}$を満たす$a$に対して，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\sin (x+a)-\sqrt{3} \cos (x+a) \]
と定める．$x$が$0^\circ \leqq x \leqq {90}^\circ$の範囲を動くとき，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

$a$を正の実数とし，$2$つの放物線
\[ C_1:y={\left( 2x+\frac{1}{a} \right)}^2,\quad C_2:y={(x-a)}^2 \]
を考える．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．
(3)$a$が正の実数全体を動くとき，$S$の最小値を求めよ．

$0<a<2$とする．いま
\[ I=\int_a^{a+2} \left( |x^2-4|+\frac{1}{6} \right) \, dx \]
とおくとき
\[ I=\frac{[サ]a^3+[シ]a^2+[ス]a+[セ]}{[ソ]} \]
である．さらに$I$は$a=[タ]+\sqrt{[チ]}$のとき，最小値$[ツ] \sqrt{[テ]}+[ト]$をとる．

$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$x$についての多項式$P(x)$を$x^2+x+1$で割った余りが$x+1$，$x^2-x+1$で割った余りが$x-1$のとき，$P(x)$を$(x^2+x+1)(x^2-x+1)$で割った余りは$[ア]$である．
(2)関数$f(x)$が次の条件を満たすとき，$f(x)=[イ]$である．
任意の実数$x$に対して，$\displaystyle \int_0^x f(t) \, dt-3 \int_{-x}^0 f(t) \, dt=x^3$
(3)次の等式を満たす最大の整数$a$は$a=[ウ]$である．
\[ \left[ \frac{a}{2} \right]+\left[ \frac{2a}{3} \right]=a \]
ただし，実数$x$に対して，$[x]$は$x$以下の最大の整数を表す．
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AC}=\mathrm{BD}=7$，$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=6$，$\mathrm{BC}=\mathrm{DA}=5$である．$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$を，それぞれ辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$上の点とするとき，$\mathrm{PQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{RS}+\mathrm{SP}$の最小値は$[エ]$である．

次の空欄$(\mathrm{a})$～$(\mathrm{g})$を適当に補え．

(1)$2$次方程式$x^2-2x+2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}$の値は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でない$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は，なす角が${60}^\circ$で，$|\overrightarrow{a}|=2 |\overrightarrow{b}|$である．$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$2 \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$が垂直であるとき，$t$の値は$[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$a^x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \frac{a^{3x}-a^{-3x}}{a^x-a^{-x}}$の値は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)円$x^2+y^2-2x-4y-4=0$上の点$\mathrm{A}$と，円$x^2+y^2-12x-14y+81=0$上の点$\mathrm{B}$について，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の距離の最小値は$[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)$6$枚のコインを同時に投げるとき，ちょうど$3$枚のコインが表になる確率は$[$(\mathrm{e])$}$である．
(6)定数$a,\ b$に対して，$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{x^2-b}{x-a}=6$が成り立つとする．このとき，$a=[($\mathrm{f])$}$，$b=[$(\mathrm{g])$}$である．

$x$の$2$次方程式$x^2+ax+b=0$について，以下の問いに答えよ．

(1)この方程式が異なる$2$つの実数解をもたない条件を$a,\ b$の不等式で表せ．
(2)$(1)$の不等式を満たす点$(a,\ b)$の領域を図示せよ．
(3)$a,\ b$が$(1)$の不等式を満たすとき，$a+b$の最小値と，その最小値を与える$a,\ b$の値を求めよ．