「最小値」について
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私立 千葉工業大学 2014年 第4問$xy$平面上に放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{4}x^2+4$と点$\mathrm{P}(p,\ 0)$がある．ただし，$p \geqq 0$とする．$C$上の点$\displaystyle \left( p,\ \frac{1}{4}p^2+4 \right)$における$C$の接線を$\ell$とし，$\ell$に関して，$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}(X,\ Y)$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$p=0$のとき，$\mathrm{Q}(0,\ [ア])$である．
(2)$\ell$の方程式は$\displaystyle y=\frac{p}{[イ]}x-\frac{[ウ]}{[エ]}p^2+[オ]$である．線分$\mathrm{PQ}$の中点が$\ell$上にあることから
\[ Y=\frac{p}{[カ]}X+[キ] \cdots\cdots (*) \]
が成り立つ．
(3)$p>0$のとき，$\mathrm{Q}$が，$\mathrm{P}$を通り$\ell$と直交する直線上にあることから
\[ Y=\frac{[クケ]}{p}X+[コ] \cdots\cdots (**) \]
が成り立つ．$(*)$と$(**)$から$p$を消去することにより
\[ X^2+Y^2-[サシ]Y+[スセ]=0 \]
が成り立つことがわかる．
(4)$X$の最小値は$[ソタ]$であり，このとき$p=[チ]$である．$p$が$0$から$[チ]$まで変化するとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過する部分の面積は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]} \pi+\frac{[トナ]}{[ニ]}$である．
(1)$p=0$のとき，$\mathrm{Q}(0,\ [ア])$である．
(2)$\ell$の方程式は$\displaystyle y=\frac{p}{[イ]}x-\frac{[ウ]}{[エ]}p^2+[オ]$である．線分$\mathrm{PQ}$の中点が$\ell$上にあることから
\[ Y=\frac{p}{[カ]}X+[キ] \cdots\cdots (*) \]
が成り立つ．
(3)$p>0$のとき，$\mathrm{Q}$が，$\mathrm{P}$を通り$\ell$と直交する直線上にあることから
\[ Y=\frac{[クケ]}{p}X+[コ] \cdots\cdots (**) \]
が成り立つ．$(*)$と$(**)$から$p$を消去することにより
\[ X^2+Y^2-[サシ]Y+[スセ]=0 \]
が成り立つことがわかる．
(4)$X$の最小値は$[ソタ]$であり，このとき$p=[チ]$である．$p$が$0$から$[チ]$まで変化するとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過する部分の面積は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]} \pi+\frac{[トナ]}{[ニ]}$である．
私立 大阪薬科大学 2014年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)底面の半径が$2$で高さが$h$の円錐の体積と，半径$3$の球の体積が等しいとき，$h=[$\mathrm{A]$}$である．
(2)$2$次方程式$x^2+5x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$の値は$[$\mathrm{B]$}$である．
(3)成功する確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$の実験を$5$回繰り返すとき，$5$回目の実験がちょうど$3$度目の成功となる確率は$[$\mathrm{C]$}$である．ただし，どの実験の結果も他の実験の結果に影響を及ぼさないとする．
(4)$1$辺の長さが$6$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:5$に内分する点を$\mathrm{P}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{APD}=[$\mathrm{D]$}$である．
(5)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，関数
\[ f(\theta)=(1+2 \cos \theta)(3-\cos 2\theta) \]
の最大値と最小値を求めなさい．
(1)底面の半径が$2$で高さが$h$の円錐の体積と，半径$3$の球の体積が等しいとき，$h=[$\mathrm{A]$}$である．
(2)$2$次方程式$x^2+5x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$の値は$[$\mathrm{B]$}$である．
(3)成功する確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$の実験を$5$回繰り返すとき，$5$回目の実験がちょうど$3$度目の成功となる確率は$[$\mathrm{C]$}$である．ただし，どの実験の結果も他の実験の結果に影響を及ぼさないとする．
(4)$1$辺の長さが$6$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:5$に内分する点を$\mathrm{P}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{APD}=[$\mathrm{D]$}$である．
(5)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，関数
\[ f(\theta)=(1+2 \cos \theta)(3-\cos 2\theta) \]
の最大値と最小値を求めなさい．
私立 名城大学 2014年 第2問$a,\ b$は定数で$a>0$とする．関数$f(x)=x^2-2ax+a^2+2a+b$について，次の各問に答えよ．
(1)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$における関数$f(x)$の最小値が$0$であるとき，$a$を用いて$b$を表せ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$における関数$f(x)$の最小値が$0$，最大値が$3$であるとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(1)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$における関数$f(x)$の最小値が$0$であるとき，$a$を用いて$b$を表せ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$における関数$f(x)$の最小値が$0$，最大値が$3$であるとき，$a$と$b$の値を求めよ．
私立 名城大学 2014年 第3問空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(t,\ t,\ t)$が与えられている．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S(t)$とおく．
(1)$S(t)$を求めよ．
(2)$S(t)$の最小値を求めよ．また，そのときの$t$の値と$\angle \mathrm{ACB}$を求めよ．
(1)$S(t)$を求めよ．
(2)$S(t)$の最小値を求めよ．また，そのときの$t$の値と$\angle \mathrm{ACB}$を求めよ．
私立 中京大学 2014年 第1問以下の各問で，$[ ]$にあてはまる数値または記号を求めよ．
(1)放物線$y=ax^2+bx+c (a>0)$が点$(0,\ 9)$を通るとき，
\[ c=[ア] \]
である．さらに，この放物線が点$(3,\ 3)$を通り，放物線の頂点が直線$16x-4y=29$上にあるとき，
\[ (a,\ b)=([イ],\ -[ウ]) \ \text{または} \ \left( \frac{[エ][オ]}{[カ]},\ -\frac{[キ][ク]}{3} \right) \]
である．
(2)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は
\[ [ア]-\sqrt{2} \]
である．また，この内接円に外接し，辺$\mathrm{AB}$，辺$\mathrm{AC}$に接する円の半径は
\[ [イ][ウ]-[エ] \sqrt{2} \]
である．
(3)初項が$a$（$a$は自然数），公差が$4$の等差数列$\{a_n\}$と，$a_n$を$9$で割った余りの数列$\{b_n\}$があり，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n b_k$とする．$a=1$とするとき，$S_n>2014$となる最小の$n$は
\[ [ア][イ][ウ] \]
であり，
\[ S_{[ア][イ][ウ]}=20 [エ][オ] \]
である．また，$S_n$がちょうど$2014$となる$a$の最小値は
\[ [カ] \]
である．
(4)関数$\displaystyle f(\theta)=2(\sin \theta+\cos \theta)^3-9(\sin \theta+\cos \theta) \left( -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4} \right)$は$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$のとき，
\[ f \left( \frac{\pi}{6} \right)=-[ア]-[イ] \sqrt{[ウ]} \]
となる．また，
$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{[エ][オ]}$のとき，最小値$-[カ] \sqrt{[キ]}$
をとり，
$\displaystyle \theta=-\frac{\pi}{[ク]}$のとき，最大値$[ケ]$
をとる．
(1)放物線$y=ax^2+bx+c (a>0)$が点$(0,\ 9)$を通るとき，
\[ c=[ア] \]
である．さらに，この放物線が点$(3,\ 3)$を通り，放物線の頂点が直線$16x-4y=29$上にあるとき，
\[ (a,\ b)=([イ],\ -[ウ]) \ \text{または} \ \left( \frac{[エ][オ]}{[カ]},\ -\frac{[キ][ク]}{3} \right) \]
である．
(2)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は
\[ [ア]-\sqrt{2} \]
である．また，この内接円に外接し，辺$\mathrm{AB}$，辺$\mathrm{AC}$に接する円の半径は
\[ [イ][ウ]-[エ] \sqrt{2} \]
である．
(3)初項が$a$（$a$は自然数），公差が$4$の等差数列$\{a_n\}$と，$a_n$を$9$で割った余りの数列$\{b_n\}$があり，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n b_k$とする．$a=1$とするとき，$S_n>2014$となる最小の$n$は
\[ [ア][イ][ウ] \]
であり，
\[ S_{[ア][イ][ウ]}=20 [エ][オ] \]
である．また，$S_n$がちょうど$2014$となる$a$の最小値は
\[ [カ] \]
である．
(4)関数$\displaystyle f(\theta)=2(\sin \theta+\cos \theta)^3-9(\sin \theta+\cos \theta) \left( -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4} \right)$は$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$のとき，
\[ f \left( \frac{\pi}{6} \right)=-[ア]-[イ] \sqrt{[ウ]} \]
となる．また，
$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{[エ][オ]}$のとき，最小値$-[カ] \sqrt{[キ]}$
をとり，
$\displaystyle \theta=-\frac{\pi}{[ク]}$のとき，最大値$[ケ]$
をとる．
私立 金沢工業大学 2014年 第5問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，次の極方程式で表される$2$つの曲線を考える．
\[ r=f(\theta)=3 \cos \theta,\quad r=g(\theta)=1+\cos \theta \]
ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．また，極座標が$(f(\theta),\ \theta)$，$(g(\theta),\ \theta)$である点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(1)点$\mathrm{P}$は，中心が直交座標で$\displaystyle \left( \frac{[ア]}{[イ]},\ [ウ] \right)$であり，半径が$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である円の周上を動く．
(2)点$\mathrm{P}(f(\theta),\ \theta)$と点$\mathrm{Q}(g(\theta),\ \theta)$の間の距離は$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{[カ]}$および$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}\pi$のとき最小値$[ケ]$をとり，$\theta=[コ]$のとき最大値$[サ]$をとる．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の中点が原点$\mathrm{O}$となるとき，点$\mathrm{P}$の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{[シ]}{[スセ]},\ \pm \frac{[ソ] \sqrt{[タチ]}}{[ツテ]} \right)$である．
\[ r=f(\theta)=3 \cos \theta,\quad r=g(\theta)=1+\cos \theta \]
ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．また，極座標が$(f(\theta),\ \theta)$，$(g(\theta),\ \theta)$である点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(1)点$\mathrm{P}$は，中心が直交座標で$\displaystyle \left( \frac{[ア]}{[イ]},\ [ウ] \right)$であり，半径が$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である円の周上を動く．
(2)点$\mathrm{P}(f(\theta),\ \theta)$と点$\mathrm{Q}(g(\theta),\ \theta)$の間の距離は$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{[カ]}$および$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}\pi$のとき最小値$[ケ]$をとり，$\theta=[コ]$のとき最大値$[サ]$をとる．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の中点が原点$\mathrm{O}$となるとき，点$\mathrm{P}$の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{[シ]}{[スセ]},\ \pm \frac{[ソ] \sqrt{[タチ]}}{[ツテ]} \right)$である．
私立 学習院大学 2014年 第3問平面上に$3$点$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(-t,\ t^2-a)$，$\mathrm{C}(t,\ t^2-a)$があり，条件
\[ a>0,\quad 0<t \leqq \sqrt{a},\quad \triangle \mathrm{ABC} \text{は正三角形} \]
が成り立っているとする．
(1)$a$を$t$で表せ．
(2)$0<t \leqq \sqrt{3}$であることを示せ．
(3)$2$つの放物線$y=x^2-a$，$y=-x^2+a$で囲まれた部分の面積を$S$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$T$とする．$t$が$(2)$の範囲を動くとき，$\displaystyle \frac{S}{T}$の最小値を求めよ．
\[ a>0,\quad 0<t \leqq \sqrt{a},\quad \triangle \mathrm{ABC} \text{は正三角形} \]
が成り立っているとする．
(1)$a$を$t$で表せ．
(2)$0<t \leqq \sqrt{3}$であることを示せ．
(3)$2$つの放物線$y=x^2-a$，$y=-x^2+a$で囲まれた部分の面積を$S$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$T$とする．$t$が$(2)$の範囲を動くとき，$\displaystyle \frac{S}{T}$の最小値を求めよ．
私立 広島修道大学 2014年 第3問$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$y=\sin^3 \theta+\cos^3 \theta$について，次の問に答えよ．
(1)$\sin \theta+\cos \theta=t$とおくとき，$\displaystyle y=-\frac{1}{2}t^3+\frac{3}{2}t$であることを示せ．
(2)$y$の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)$\sin \theta+\cos \theta=t$とおくとき，$\displaystyle y=-\frac{1}{2}t^3+\frac{3}{2}t$であることを示せ．
(2)$y$の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
私立 広島修道大学 2014年 第1問空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．
(1)$(3x+2)(2x^2-5x+3)$を展開すると，$[$1$]$となる．
(2)男子$5$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，女子$3$人が続いて並ぶ方法は$[$2$]$通り，一端に男子，もう一端に女子が並ぶ方法は$[$3$]$通りある．
(3)$\displaystyle \frac{1+2i}{1-3i}+\frac{1-4i}{1+3i}=a+bi$（$a,\ b$は実数）と表すとき，$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．
(4)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$5$個の数字を用いて$3$桁の整数をつくるとき，奇数は全部で$[$6$]$個できる．ただし，同じ数字を繰り返し用いてもよい．
(5)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=-2 \sin^2 \theta+8 \cos \theta+3$は，$\theta=[$7$]$のとき，最小値$[$8$]$をとる．
(6)不等式$\displaystyle \frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81 \leqq 0$の解は$[$9$]$である．また，$-2 \leqq x \leqq 0$において関数$\displaystyle y=\frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81$は，$x=[$10$]$のとき，最小値$[$11$]$をとる．
(1)$(3x+2)(2x^2-5x+3)$を展開すると，$[$1$]$となる．
(2)男子$5$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，女子$3$人が続いて並ぶ方法は$[$2$]$通り，一端に男子，もう一端に女子が並ぶ方法は$[$3$]$通りある．
(3)$\displaystyle \frac{1+2i}{1-3i}+\frac{1-4i}{1+3i}=a+bi$（$a,\ b$は実数）と表すとき，$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．
(4)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$5$個の数字を用いて$3$桁の整数をつくるとき，奇数は全部で$[$6$]$個できる．ただし，同じ数字を繰り返し用いてもよい．
(5)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=-2 \sin^2 \theta+8 \cos \theta+3$は，$\theta=[$7$]$のとき，最小値$[$8$]$をとる．
(6)不等式$\displaystyle \frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81 \leqq 0$の解は$[$9$]$である．また，$-2 \leqq x \leqq 0$において関数$\displaystyle y=\frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81$は，$x=[$10$]$のとき，最小値$[$11$]$をとる．
私立 広島修道大学 2014年 第1問空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．
(1)方程式$x^2+4x-5=0$の解は$[$1$]$である．また，不等式$x^2+4x-5>0$の解は$[$2$]$である．
(2)整式$f(x)$を$(x-3)(x+2)$で割った余りは$4x-3$である．このとき，$f(x)$を$x+2$で割った余りは$[$3$]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=2 \cos^2 \theta+2 \sqrt{2} \sin \theta$の最大値は$[$4$]$，最小値は$[$5$]$である．
(4)$3$点$\mathrm{A}(5,\ -1)$，$\mathrm{B}(2,\ 2)$，$\mathrm{C}$を頂点とする三角形の重心の座標が$\displaystyle \left( \frac{7}{3},\ -\frac{5}{3} \right)$であるとき，点$\mathrm{C}$の座標は$[$6$]$である．このとき，点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に平行な直線の方程式は$[$7$]$であり，$\cos B$の値は$[$8$]$である．
(5)白の碁石が$5$個，黒の碁石が$5$個，合わせて$10$個の碁石から$8$個の碁石を選んで一列に並べるとき，並べ方は$[$9$]$通りある．このうち，同じ色の碁石が連続して$5$個並ぶ並べ方は$[$10$]$通りあり，また白の碁石が連続して$4$個以上並ぶ並べ方は$[$11$]$通りある．
(1)方程式$x^2+4x-5=0$の解は$[$1$]$である．また，不等式$x^2+4x-5>0$の解は$[$2$]$である．
(2)整式$f(x)$を$(x-3)(x+2)$で割った余りは$4x-3$である．このとき，$f(x)$を$x+2$で割った余りは$[$3$]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=2 \cos^2 \theta+2 \sqrt{2} \sin \theta$の最大値は$[$4$]$，最小値は$[$5$]$である．
(4)$3$点$\mathrm{A}(5,\ -1)$，$\mathrm{B}(2,\ 2)$，$\mathrm{C}$を頂点とする三角形の重心の座標が$\displaystyle \left( \frac{7}{3},\ -\frac{5}{3} \right)$であるとき，点$\mathrm{C}$の座標は$[$6$]$である．このとき，点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に平行な直線の方程式は$[$7$]$であり，$\cos B$の値は$[$8$]$である．
(5)白の碁石が$5$個，黒の碁石が$5$個，合わせて$10$個の碁石から$8$個の碁石を選んで一列に並べるとき，並べ方は$[$9$]$通りある．このうち，同じ色の碁石が連続して$5$個並ぶ並べ方は$[$10$]$通りあり，また白の碁石が連続して$4$個以上並ぶ並べ方は$[$11$]$通りある．