「最小値」について
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私立 埼玉工業大学 2014年 第4問次の問いに答えよ．
(1)整式$P(x)=x^3-7x^2+14x-8$は$x-4$で割り切れる．$P(x)=x^3-7x^2+14x-8=0$の解は小さい順に$[メ]$，$[モ]$，$[ヤ]$である．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，$y=-8 \sin x \cos 2x-12 \sin^2 x+8 \sin x$は，$\displaystyle x=\frac{\pi}{[ユ]}$のとき，最大値$y=[ヨ]$をとり，$\displaystyle x=\frac{\pi}{[ラ]}$のとき，最小値$y=[リル]$をとる．
(3)$1$枚の硬貨を$5$回投げたとき，表が$1$回だけ出る確率は$\displaystyle \frac{[レ]}{[ロワ]}$である．
(1)整式$P(x)=x^3-7x^2+14x-8$は$x-4$で割り切れる．$P(x)=x^3-7x^2+14x-8=0$の解は小さい順に$[メ]$，$[モ]$，$[ヤ]$である．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，$y=-8 \sin x \cos 2x-12 \sin^2 x+8 \sin x$は，$\displaystyle x=\frac{\pi}{[ユ]}$のとき，最大値$y=[ヨ]$をとり，$\displaystyle x=\frac{\pi}{[ラ]}$のとき，最小値$y=[リル]$をとる．
(3)$1$枚の硬貨を$5$回投げたとき，表が$1$回だけ出る確率は$\displaystyle \frac{[レ]}{[ロワ]}$である．
私立 甲南大学 2014年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ x,\ y$は$0$でない実数，$i$は虚数単位とする．
\[ \left( x+\frac{1}{yi} \right) \cdot \frac{1}{\displaystyle\frac{1}{a}+bi}=-\frac{d}{c}i \]
の関係があるとき，$x,\ y$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
(2)$t$は$t>-1$を満たす定数とする．$-1 \leqq x \leqq t$における関数$f(x)=2x^2-4x+1$の最大値と最小値の差が$8$であるような$t$の値の範囲を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ x,\ y$は$0$でない実数，$i$は虚数単位とする．
\[ \left( x+\frac{1}{yi} \right) \cdot \frac{1}{\displaystyle\frac{1}{a}+bi}=-\frac{d}{c}i \]
の関係があるとき，$x,\ y$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
(2)$t$は$t>-1$を満たす定数とする．$-1 \leqq x \leqq t$における関数$f(x)=2x^2-4x+1$の最大値と最小値の差が$8$であるような$t$の値の範囲を求めよ．
私立 獨協大学 2014年 第2問$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$y=\cos 2\theta-8 \cos \theta+12$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
私立 獨協大学 2014年 第1問次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．
(1)$2$次関数$y=x^2-6x+7$のグラフは$y=x^2+2x+2$のグラフを，$x$軸方向に$[$1$]$，$y$軸方向に$[$2$]$だけ平行移動したものである．
(2)次の式の分母を有理化せよ．
\[ (ⅰ) \frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=[$3$] \qquad (ⅱ) \frac{5 \sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=[$4$] \]
(3)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(5,\ 2)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{C}([$5$],\ [$6$])$を通り，線分$\mathrm{AB}$に垂直な直線の方程式は$[$7$]$と表される．
(4)数列$\{a_n\}$が$2,\ 3,\ 7,\ 14,\ 24,\ \cdots$のように与えられている．その階差数列を$\{b_n\}$とする．このとき，$b_1=[$8$]$，$b_2=[$9$]$であり，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=[$10$]$と表される．よって，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$11$]$となる．
(5)$x+y=20$，$x>0$，$y>0$であるとき，$\log_{\frac{1}{10}}x+\log_{\frac{1}{10}}y$の最小値は$[$12$]$である．
(6)各辺の長さが$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=k$である$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は，$k=[$13$]$のとき最大値$[$14$]$をとる．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{x}=(a,\ b)$，$\overrightarrow{y}=(1,\ c)$について，$\overrightarrow{x} \perp \overrightarrow{y}$，$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|=2$，$abc=-1$を満たす実数$a,\ b,\ c$の組合せは$[$15$]$通り存在する．また，このうち$a+b+c$の最小値は$[$16$]$となる．
(8)$2$人の男性$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と$2$人の女性$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$がいる．この$4$人は無作為に異性を$1$人ずつ選ぶ．このとき，男性が選んだ女性がその男性を選べば，その男女をペアとする．たとえば，男性$\mathrm{A}$が女性$\mathrm{a}$を選び，女性$\mathrm{a}$も男性$\mathrm{A}$を選べば，その男女はペアとなる．このとき，ペアが全くできない確率は$[$17$]$，ペアがちょうど$1$組だけできる確率は$[$18$]$，ペアが$2$組できる確率は$[$19$]$である．
(1)$2$次関数$y=x^2-6x+7$のグラフは$y=x^2+2x+2$のグラフを，$x$軸方向に$[$1$]$，$y$軸方向に$[$2$]$だけ平行移動したものである．
(2)次の式の分母を有理化せよ．
\[ (ⅰ) \frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=[$3$] \qquad (ⅱ) \frac{5 \sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=[$4$] \]
(3)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(5,\ 2)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{C}([$5$],\ [$6$])$を通り，線分$\mathrm{AB}$に垂直な直線の方程式は$[$7$]$と表される．
(4)数列$\{a_n\}$が$2,\ 3,\ 7,\ 14,\ 24,\ \cdots$のように与えられている．その階差数列を$\{b_n\}$とする．このとき，$b_1=[$8$]$，$b_2=[$9$]$であり，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=[$10$]$と表される．よって，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$11$]$となる．
(5)$x+y=20$，$x>0$，$y>0$であるとき，$\log_{\frac{1}{10}}x+\log_{\frac{1}{10}}y$の最小値は$[$12$]$である．
(6)各辺の長さが$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=k$である$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は，$k=[$13$]$のとき最大値$[$14$]$をとる．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{x}=(a,\ b)$，$\overrightarrow{y}=(1,\ c)$について，$\overrightarrow{x} \perp \overrightarrow{y}$，$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|=2$，$abc=-1$を満たす実数$a,\ b,\ c$の組合せは$[$15$]$通り存在する．また，このうち$a+b+c$の最小値は$[$16$]$となる．
(8)$2$人の男性$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と$2$人の女性$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$がいる．この$4$人は無作為に異性を$1$人ずつ選ぶ．このとき，男性が選んだ女性がその男性を選べば，その男女をペアとする．たとえば，男性$\mathrm{A}$が女性$\mathrm{a}$を選び，女性$\mathrm{a}$も男性$\mathrm{A}$を選べば，その男女はペアとなる．このとき，ペアが全くできない確率は$[$17$]$，ペアがちょうど$1$組だけできる確率は$[$18$]$，ペアが$2$組できる確率は$[$19$]$である．
私立 愛知学院大学 2014年 第3問$\displaystyle f(x)=\sqrt{3} \cos \left( 2x-\frac{1}{2} \pi \right)$，$\displaystyle g(x)=\sin \left( 2x-\frac{1}{2} \pi \right)$とする．
(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)+g(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めなさい．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)g(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めなさい．
(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)+g(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めなさい．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)g(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めなさい．
私立 甲南大学 2014年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ x,\ y$は$0$でない実数，$i$は虚数単位とする．
\[ \left( x+\frac{1}{yi} \right) \cdot \frac{1}{\displaystyle\frac{1}{a}+bi}=-\frac{d}{c}i \]
の関係があるとき，$x,\ y$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
(2)$t$は$t>-1$を満たす定数とする．$-1 \leqq x \leqq t$における関数$f(x)=2x^2-4x+1$の最大値と最小値の差が$8$であるような$t$の値の範囲を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ x,\ y$は$0$でない実数，$i$は虚数単位とする．
\[ \left( x+\frac{1}{yi} \right) \cdot \frac{1}{\displaystyle\frac{1}{a}+bi}=-\frac{d}{c}i \]
の関係があるとき，$x,\ y$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
(2)$t$は$t>-1$を満たす定数とする．$-1 \leqq x \leqq t$における関数$f(x)=2x^2-4x+1$の最大値と最小値の差が$8$であるような$t$の値の範囲を求めよ．
私立 神戸薬科大学 2014年 第7問関数$f(x)=-2 \sin^2 x+\cos^2 x-6a \cos x$において，定数$a$が$0<a<1$を満たすとき，$f(x)$の最小値は$[ト]$となる．$\displaystyle a=\frac{1}{3}$のとき，$f(x)$の最小値は$[ナ]$であり，最大値は$[ニ]$である．
私立 近畿大学 2014年 第2問条件$(x-2)^2+(y-2)^2=4$を満たす実数$x,\ y$を考える．$t=x+y$とおく．
(1)$t$のとりうる値の範囲は
\[ [ア]-[イ] \sqrt{[ウ]} \leqq t \leqq [エ]+[オ] \sqrt{[カ]} \]
である．
(2)$z=x^3+y^3-6xy$を$t$で表すと
\[ z=-\frac{[キ]}{[ク]} t^3+[ケ]t^2+[コ]t-[サシ] \]
となり，$z$の最大値は$[ス]+[セソ] \sqrt{[タ]}$であり，$z$の最小値は$[チ]-[ツ] \sqrt{[テ]}$である．
(1)$t$のとりうる値の範囲は
\[ [ア]-[イ] \sqrt{[ウ]} \leqq t \leqq [エ]+[オ] \sqrt{[カ]} \]
である．
(2)$z=x^3+y^3-6xy$を$t$で表すと
\[ z=-\frac{[キ]}{[ク]} t^3+[ケ]t^2+[コ]t-[サシ] \]
となり，$z$の最大値は$[ス]+[セソ] \sqrt{[タ]}$であり，$z$の最小値は$[チ]-[ツ] \sqrt{[テ]}$である．
私立 近畿大学 2014年 第2問条件$(x-2)^2+(y-2)^2=4$を満たす実数$x,\ y$を考える．$t=x+y$とおく．
(1)$t$のとりうる値の範囲は
\[ [ア]-[イ] \sqrt{[ウ]} \leqq t \leqq [エ]+[オ] \sqrt{[カ]} \]
である．
(2)$z=x^3+y^3-6xy$を$t$で表すと
\[ z=-\frac{[キ]}{[ク]} t^3+[ケ]t^2+[コ]t-[サシ] \]
となり，$z$の最大値は$[ス]+[セソ] \sqrt{[タ]}$であり，$z$の最小値は$[チ]-[ツ] \sqrt{[テ]}$である．
(1)$t$のとりうる値の範囲は
\[ [ア]-[イ] \sqrt{[ウ]} \leqq t \leqq [エ]+[オ] \sqrt{[カ]} \]
である．
(2)$z=x^3+y^3-6xy$を$t$で表すと
\[ z=-\frac{[キ]}{[ク]} t^3+[ケ]t^2+[コ]t-[サシ] \]
となり，$z$の最大値は$[ス]+[セソ] \sqrt{[タ]}$であり，$z$の最小値は$[チ]-[ツ] \sqrt{[テ]}$である．
私立 愛知工業大学 2014年 第1問次の$[ ]$を適当に補え．
(1)$ab(a+b)-2bc(b-c)+ca(2c-a)-3abc$を因数分解すると$[ア]$となる．
(2)自然数$n$をいくつかの$1$と$2$の和で表すときの表し方の総数を$a(n)$とする．ただし，和の順序を変えた表し方は同じ表し方とする．例えば，$4=2+2$，$4=2+1+1$，$4=1+1+1+1$であるから，$a(4)=3$である．このとき，$a(9)=[イ]$，$a(2014)=[ウ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{n}{n+1}$であるとき，$a_n=[エ]$，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}=[オ]$である．
(4)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$\sin \theta+\cos \theta=t$とすると，$t$のとりうる値の範囲は$[カ] \leqq t \leqq [キ]$であり，$\sin \theta+\cos \theta+2 \sin 2\theta$の最大値は$[ク]$，最小値は$[ケ]$である．
(5)$\log_2 64=[コ]$である．また，$x$を$1$でない正の数とするとき，$\log_4 x^2-\log_x 64 \leqq 1$をみたす$x$の範囲は$[サ]$である．
(6)$f(x)=\sin 2x$とするとき，$f^\prime(x)=[シ]$である．また，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin^2 2x \cos 2x \, dx=[ス]$である．
(1)$ab(a+b)-2bc(b-c)+ca(2c-a)-3abc$を因数分解すると$[ア]$となる．
(2)自然数$n$をいくつかの$1$と$2$の和で表すときの表し方の総数を$a(n)$とする．ただし，和の順序を変えた表し方は同じ表し方とする．例えば，$4=2+2$，$4=2+1+1$，$4=1+1+1+1$であるから，$a(4)=3$である．このとき，$a(9)=[イ]$，$a(2014)=[ウ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{n}{n+1}$であるとき，$a_n=[エ]$，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}=[オ]$である．
(4)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$\sin \theta+\cos \theta=t$とすると，$t$のとりうる値の範囲は$[カ] \leqq t \leqq [キ]$であり，$\sin \theta+\cos \theta+2 \sin 2\theta$の最大値は$[ク]$，最小値は$[ケ]$である．
(5)$\log_2 64=[コ]$である．また，$x$を$1$でない正の数とするとき，$\log_4 x^2-\log_x 64 \leqq 1$をみたす$x$の範囲は$[サ]$である．
(6)$f(x)=\sin 2x$とするとき，$f^\prime(x)=[シ]$である．また，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin^2 2x \cos 2x \, dx=[ス]$である．