$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{CM}$上に，$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=y \overrightarrow{\mathrm{CM}}$となる点$\mathrm{Q}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$が垂直であるとき，$y$を$x$を用いて表せ．
(3)$x$が$0<x<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{CMP}$の面積の最小値を求めよ．

$t$は実数で$0<t<2$とする．図のように，$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}$があり，辺$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{CP}=\mathrm{AQ}=t$のとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）

(1)線分$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QB}$の長さを，それぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角形$\mathrm{BPQ}$の$3$辺の長さの和の最小値を求めよ．
(3)三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積を$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積の最大値を求めよ．

$6$枚のカードに，$1$から$6$までの番号がつけられている．どのカードも一方の面が白色，もう一方の面が赤色である．はじめに，すべてのカードの白色の面を上にして番号順に並べる．次の操作をくり返し行う．

$1$個のさいころを投げる．出た目の数が$x$であるとき，
$x$の約数である番号のカードをすべて裏返す．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$1$回目の操作の後で，番号$2$のカードの赤色の面が上になっている確率を求めよ．
(2)$3$回目の操作の後で，赤色の面が上になっているカードが$2$枚である確率を求めよ．
(3)$n$回目の操作の後で，すべてのカードの赤色の面が上になっているとする．このような$n$の最小値を求めよ．

座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 0)$を考える．$x$軸上に点$\mathrm{P}$をとり，線分$\mathrm{AP}$の垂直二等分線を$\ell$とする．点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に垂直な直線と$\ell$との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)$\mathrm{AQ}=\mathrm{QP}$であることを証明せよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$x$軸上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡はどのような曲線を描くか図示せよ．
(3)点$\mathrm{P}$は$x$軸の閉区間$[0,\ 1]$にあるとする．このとき，直線$\ell$が正方形$\mathrm{ABCO}$を二つの部分に切る．そのうちの点$\mathrm{C}$を含む部分の面積を$S$とする．$S$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

$t$は実数で$0<t<2$とする．図のように，$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}$があり，辺$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{CP}=\mathrm{AQ}=t$のとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）

(1)線分$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QB}$の長さを，それぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角形$\mathrm{BPQ}$の$3$辺の長さの和の最小値を求めよ．
(3)三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積を$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積の最大値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int t \sin t \, dt$を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\displaystyle\frac{2|{3}\pi-2t} \sin t \, dt$を求めよ．
(3)関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} |x-2t| \sin t \, dt$で定める（$0 \leqq x \leqq \pi$）．$f(x)$の最大値，最小値を求め，それらを与える$x$の値をそれぞれ求めよ．

一辺の長さが$x$の正三角形$\mathrm{ABC}$を底面，点$\mathrm{O}$を頂点とし，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$である三角錐$\mathrm{OABC}$に半径$1$の球が内接しているとする．ただし，球が三角錐に内接するとは，球が三角錐のすべての面に接することである．このとき，次の問に答えよ．

(1)三角錐$\mathrm{OABC}$の体積を$x$を用いて表せ．
(2)この体積の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．関数$f(x)=(x-\cos \theta+\sin \theta)^2+2 \sin^2 \theta-1$について，次の問いに答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$が実数解を持つような$\theta$の範囲を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が実数解を持つとき，その二つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\alpha+\beta$の最大値および最小値を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる部分の面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}$となるときの$\theta$の値を求めよ．

次の$[　]$の中を適当に補いなさい．

(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とするとき，$\sin^2 \theta+2 \sin \theta \cos \theta+3 \cos^2 \theta$の最大値$M$，最小値$m$を求めると$(M,\ m)=[　]$．
(2)$\displaystyle 2014+\frac{2}{4}+\frac{3}{4^2}+\frac{4}{4^3}+\cdots +\frac{n}{4^{n-1}} (n \geqq 2)$の値を求めると$[　]$．
(3)$0 \leqq a \leqq 3$とするとき，$\displaystyle \int_{-3}^3 |x(x-a)| \, dx$の最大値$M$と，それを与える$a$の値を求めると$(M,\ a)=[　]$．

座標平面において，動点$\mathrm{P}(x,\ y)$は単位円$C$上の点$\mathrm{Q}(1,\ 0)$を出発し，$C$上を反時計回りに$1$周する．弧$\mathrm{PQ}$の長さは，出発してからの時間に比例する．$\mathrm{P}$が$1$周するのに$T$秒かかる．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)出発してから$t$秒後（$0 \leqq t \leqq T$）の点$\mathrm{P}(x,\ y)$について$x,\ y$を$t$と$T$を用いて表せ．
(2)出発してから$t$秒後（$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{T}{4}$）の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して$z=2x^2+xy+y^2$を考える．$z$の最大値と最小値を求めよ．また最大値，最小値をとるのは出発してから何秒後か$T$を用いて表せ．