「最小値」について
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国立 新潟大学 2014年 第1問$a$を$a \geqq 0$となる実数とし，$\theta$の関数$f(\theta)$を
\[ f(\theta)=2 \sin 2\theta+4a(\cos \theta-\sin \theta)+1 \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$t=\cos \theta-\sin \theta$とおく．このとき，$f(\theta)$を$a,\ t$を用いて表せ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$f(\theta)$の最大値と最小値を$a$を用いて表せ．
\[ f(\theta)=2 \sin 2\theta+4a(\cos \theta-\sin \theta)+1 \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$t=\cos \theta-\sin \theta$とおく．このとき，$f(\theta)$を$a,\ t$を用いて表せ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$f(\theta)$の最大値と最小値を$a$を用いて表せ．
国立 新潟大学 2014年 第1問$a$を$a \geqq 0$となる実数とし，$\theta$の関数$f(\theta)$を
\[ f(\theta)=2 \sin 2\theta+4a(\cos \theta-\sin \theta)+1 \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$t=\cos \theta-\sin \theta$とおく．このとき，$f(\theta)$を$a,\ t$を用いて表せ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$f(\theta)$の最大値と最小値を$a$を用いて表せ．
\[ f(\theta)=2 \sin 2\theta+4a(\cos \theta-\sin \theta)+1 \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$t=\cos \theta-\sin \theta$とおく．このとき，$f(\theta)$を$a,\ t$を用いて表せ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$f(\theta)$の最大値と最小値を$a$を用いて表せ．
国立 金沢大学 2014年 第1問放物線$C:y=x^2+2x$上の$2$点$(a,\ a^2+2a)$，$(b,\ b^2+2b)$における接線をそれぞれ$\ell_a$，$\ell_b$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a<b$とする．
(1)$2$直線$\ell_a,\ \ell_b$の方程式を求めよ．また，$\ell_a$と$\ell_b$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)放物線$C$と$2$直線$\ell_a,\ \ell_b$とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(3)$2$直線$\ell_a,\ \ell_b$が垂直に交わるように$a,\ b$が動くとき，$a,\ b$がみたす関係式を求めよ．また，そのときの面積$S$の最小値とそれを与える$a,\ b$の値を求めよ．
(1)$2$直線$\ell_a,\ \ell_b$の方程式を求めよ．また，$\ell_a$と$\ell_b$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)放物線$C$と$2$直線$\ell_a,\ \ell_b$とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(3)$2$直線$\ell_a,\ \ell_b$が垂直に交わるように$a,\ b$が動くとき，$a,\ b$がみたす関係式を求めよ．また，そのときの面積$S$の最小値とそれを与える$a,\ b$の値を求めよ．
国立 信州大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=2 \cos x-\cos 2x$の$0 \leqq x \leqq \pi$における最大値を求めよ．
(2)関数$\displaystyle y=(\log_{0.5}x)^2-\frac{1}{2}(\log_{0.5}x)+\frac{1}{2}$の$0.5 \leqq x \leqq 2$における最大値と最小値を求めよ．
(1)関数$y=2 \cos x-\cos 2x$の$0 \leqq x \leqq \pi$における最大値を求めよ．
(2)関数$\displaystyle y=(\log_{0.5}x)^2-\frac{1}{2}(\log_{0.5}x)+\frac{1}{2}$の$0.5 \leqq x \leqq 2$における最大値と最小値を求めよ．
国立 岩手大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=-2 \sin 2x+2 \cos 2x+3$の最大値と最小値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{a \sqrt{x+3}-8}{x-1}$が有限な値になるように定数$a$の値を定め，そのときの極限値を求めよ．
(3)直線$y=x$に関する対称移動の$1$次変換を$f$とする．$1$次変換$g$が点$(2,\ 4)$を点$(4,\ 6)$に移し，合成変換$f \circ g$が点$(2,\ 2)$を点$(-12,\ 4)$に移すとき，$g$を表す行列を求めよ．
(4)次の不定積分を求めよ．
\[ \int x \log (x+1) \, dx \]
(1)関数$y=-2 \sin 2x+2 \cos 2x+3$の最大値と最小値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{a \sqrt{x+3}-8}{x-1}$が有限な値になるように定数$a$の値を定め，そのときの極限値を求めよ．
(3)直線$y=x$に関する対称移動の$1$次変換を$f$とする．$1$次変換$g$が点$(2,\ 4)$を点$(4,\ 6)$に移し，合成変換$f \circ g$が点$(2,\ 2)$を点$(-12,\ 4)$に移すとき，$g$を表す行列を求めよ．
(4)次の不定積分を求めよ．
\[ \int x \log (x+1) \, dx \]
国立 岩手大学 2014年 第3問座標平面上に$2$つの曲線$C_1:y=-x^2+12$，$C_2:y=x^2-10x+29$がある．曲線$C_1$上を動く点$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とし，曲線$C_1$の点$\mathrm{P}$における接線を$\ell$とする．ただし，$a>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$x$軸，$y$軸で囲まれた三角形の面積を$S$とする．$S$を$a$を用いて表せ．また，$S$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C_2$が$2$個の共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(4)接線$\ell$と曲線$C_2$が$2$個の共有点をもつとき，それらの中点の軌跡を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$x$軸，$y$軸で囲まれた三角形の面積を$S$とする．$S$を$a$を用いて表せ．また，$S$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C_2$が$2$個の共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(4)接線$\ell$と曲線$C_2$が$2$個の共有点をもつとき，それらの中点の軌跡を求めよ．
国立 岩手大学 2014年 第3問座標平面上に点$\mathrm{A}(\pi,\ 1)$がある．また，関数$y=\cos x$のグラフ上に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{A}$と$\mathrm{P}$との中点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}$の座標を$(t,\ \cos t)$とするとき，$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{Q}$の座標を$(x,\ y)$とするとき，$y$を$x$の関数として表せ．また，$y$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた関数を$f(x)$とする．$2$つの関数$y=\cos x$と$y=f(x)$のグラフを同一の座標平面上に描け．ただし，どちらも$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲で描け．
(4)$(2)$で求めた関数を$f(x)$とする．$2$つの関数$y=\cos x$と$y=f(x)$のグラフの交点について，その$y$座標の取り得る値をすべて求めよ．ただし，$x$の範囲はすべての実数とする．
(1)$\mathrm{P}$の座標を$(t,\ \cos t)$とするとき，$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{Q}$の座標を$(x,\ y)$とするとき，$y$を$x$の関数として表せ．また，$y$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた関数を$f(x)$とする．$2$つの関数$y=\cos x$と$y=f(x)$のグラフを同一の座標平面上に描け．ただし，どちらも$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲で描け．
(4)$(2)$で求めた関数を$f(x)$とする．$2$つの関数$y=\cos x$と$y=f(x)$のグラフの交点について，その$y$座標の取り得る値をすべて求めよ．ただし，$x$の範囲はすべての実数とする．
国立 福岡教育大学 2014年 第4問$a$を正の定数とする．関数$f(x)$は
\[ f(x)=2 \cos x-a \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \sin x \, dt \]
を満たしているとする．次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \int_0^{\pi} f(x) \sin x \, dx=-\frac{\pi}{2}$を満たす定数$a$の値を求めよ．
(3)$a$が$(2)$で求めた値のとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．
(i) $0 \leqq x \leqq \pi$における関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \int_0^{\pi} |f(x)| \, dx$の値を求めよ．
\[ f(x)=2 \cos x-a \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \sin x \, dt \]
を満たしているとする．次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \int_0^{\pi} f(x) \sin x \, dx=-\frac{\pi}{2}$を満たす定数$a$の値を求めよ．
(3)$a$が$(2)$で求めた値のとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．
(i) $0 \leqq x \leqq \pi$における関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \int_0^{\pi} |f(x)| \, dx$の値を求めよ．
国立 弘前大学 2014年 第3問$a>0$，$b>1$とする．関数$f_1(x)=-2x^2-x+3$と$f_2(x)=ax^2-a(b+1)x+ab$に対し，関数$f(x)$を$x \leqq 1$のとき$f(x)=f_1(x)$，$x>1$のとき$f(x)=f_2(x)$と定める．また関数$g(x)$を$\displaystyle g(x)=\int_{-\frac{3}{2}}^x f(t) \, dt$と定める．次の問いに答えよ．
(1)微分係数${f_1}^\prime(1)$と${f_2}^\prime(1)$が等しくなるための$a,\ b$の関係式を求めよ．
(2)$a,\ b$が$(1)$で求めた関係式を満たすとする．$g(x)$の最小値を$b$の値によって場合分けをして求めよ．
(1)微分係数${f_1}^\prime(1)$と${f_2}^\prime(1)$が等しくなるための$a,\ b$の関係式を求めよ．
(2)$a,\ b$が$(1)$で求めた関係式を満たすとする．$g(x)$の最小値を$b$の値によって場合分けをして求めよ．
国立 滋賀大学 2014年 第1問$m$を正の定数とし，放物線$C:y=x^2$上に点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$をとる．ただし，$\displaystyle \frac{m}{2}<a<m$とする．$\mathrm{P}$を通り傾きが$m$の直線を$\ell_1$，$\mathrm{P}$を通り傾きが$2m$の直線を$\ell_2$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$C$と$\ell_1$で囲まれた図形の面積を$S_1$，$C$と$\ell_2$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$を$a$と$m$を用いて表せ．
(2)$S_1$が$S_2$の$8$倍となるとき，$a$を$m$を用いて表せ．
(3)$a$を変化させたとき，$S_1+S_2$の最小値とそのときの$a$の値を$m$を用いて表せ．
(1)$C$と$\ell_1$で囲まれた図形の面積を$S_1$，$C$と$\ell_2$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$を$a$と$m$を用いて表せ．
(2)$S_1$が$S_2$の$8$倍となるとき，$a$を$m$を用いて表せ．
(3)$a$を変化させたとき，$S_1+S_2$の最小値とそのときの$a$の値を$m$を用いて表せ．