以下の問いの空欄$[サ]$～$[ヌ]$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)整式$P(x)$を$x^2-1$で割ると$1$余り，$x^2+4x+4$で割ると$x+6$余る．$P(x)$を$x^2+x-2$で割ったときの余りを$ax+b$とする．このとき，定数$a,\ b$の値は$a=[サ]$，$b=[シ]$となる．
(2)点$(1,\ 2)$に関して，円$x^2+y^2-8x+10y+k=0$と対称な円が原点を通るように定数$k$を定めると，$k=[ス]$となり，対称な円の中心は$([セ],\ [ソ])$となる．
(3)$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin 2\theta$の値は$[タ]$となり，$\cos^3 \theta-\sin^3 \theta$の値は$[チ]$となる．
(4)$3 \leqq x \leqq 81$のとき，関数$y=(\log_3 x)^2-\log_3 x^4+5$の最大値と最小値を求めると，$x=[ツ]$のときに最大値$[テ]$をとり，$x=[ト]$のときに最小値$[ナ]$をとる．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n^2+8n$で表されるとき，初項$a_1$は$[ニ]$であり，一般項$a_n$は$[ヌ]$である．

次の各問に答えよ．

(1)$3$点$(-2,\ -11)$，$(2,\ -7)$，$(4,\ -23)$を通る放物線$A$をグラフとする$2$次関数を求めよ．さらに，放物線$A$を図示せよ．
(2)$(1)$で示した放物線$A$を，次の座標軸または点に関して，それぞれ対称移動して得られる放物線をグラフとする$2$次関数を求めよ．

$①$ $x$軸 \qquad $②$ $y$軸 \qquad $③$ 原点

(3)$(2)$の$①,\ ②,\ ③$で求めた$3$つの$2$次関数の定義域を$0 \leqq x \leqq 2$とする．このとき，それぞれの関数の最大値と最小値を求めよ．

連立不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 100,\quad y \geqq -\sqrt{3}x+10 \sqrt{3} \]
の表す領域を$D$とする．次の各問に答えよ．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)領域$D$の面積を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$t$を実数の定数とする．実数全体を定義域とする関数$f(x)$を
\[ f(x)=-2x^2+8tx-12x+t^3-17t^2+39t-18 \]
と定める．このとき，関数$f(x)$の最大値を$t$を用いて表せ．
(2)$(1)$の「関数$f(x)$の最大値」を$g(t)$とする．$t$が$\displaystyle t \geqq -\frac{1}{\sqrt{2}}$の範囲を動くとき，$g(t)$の最小値を求めよ．

座標平面上の楕円
\[ \frac{(x+2)^2}{16}+\frac{(y-1)^2}{4}=1 \quad \cdots\cdots① \]
を考える．以下の問いに答えよ．

(1)楕円$①$と直線$y=x+a$が交点をもつときの$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$|x|+|y|=1$を満たす点$(x,\ y)$全体がなす図形の概形をかけ．
(3)点$(x,\ y)$が楕円$①$上を動くとき，$|x|+|y|$の最大値，最小値とそれを与える$(x,\ y)$をそれぞれ求めよ．

$0<t<1$とし，放物線$C:y=x^2$上の点$(t,\ t^2)$における接線を$\ell$とする．$C$と$\ell$と$x$軸で囲まれる部分の面積を$S_1$とし，$C$と$\ell$と直線$x=1$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1+S_2$の最小値を求めよ．

半径$1$の球が直円錐に内接している．この直円錐の底面の半径を$r$とし，表面積を$S$とする．

(1)$S$を$r$を用いて表せ．
(2)$S$の最小値を求めよ．

$a,\ b$を正の実数とし，$xy$平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ 0)$，$\mathrm{B}(a,\ b)$をとる．三角形$\mathrm{OAB}$を，原点$\mathrm{O}$を中心に$90^\circ$回転するとき，三角形$\mathrm{OAB}$が通過してできる図形を$D$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$D$を$xy$平面上に図示せよ．
(2)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(3)$a+b=1$のとき，$(2)$で求めた$V$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$は，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$，$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=90^\circ$をみたす．辺$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}$と辺$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{OP}=p$，$\mathrm{OQ}=q$，$\displaystyle pq=\frac{1}{2}$となるようにとる．$p+q=t$とし，$\triangle \mathrm{CPQ}$の面積を$S$とする．

(1)$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$S$を$t$で表せ．
(3)$S$の最小値，およびそのときの$p,\ q$を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{3}} |\sin \theta| \, d\theta$とおく．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における$f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$を求めよ．