以下の問に答えよ．

(1)$\sqrt{2},\ \sqrt[3]{3},\ \sqrt[6]{6}$の大小関係について，以下の$1$～$6$の選択肢のうち，$[ツ]$が成立する．

\mon[$1$ \quad] $\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{6}$
\mon[$2$ \quad] $\sqrt{2}<\sqrt[6]{6}<\sqrt[3]{3}$
\mon[$3$ \quad] $\sqrt[3]{3}<\sqrt{2}<\sqrt[6]{6}$
\mon[$4$ \quad] $\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{6}<\sqrt{2}$
\mon[$5$ \quad] $\sqrt[6]{6}<\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}$
\mon[$6$ \quad] $\sqrt[6]{6}<\sqrt[3]{3}<\sqrt{2}$

(2)$a>b>1$のとき，$\displaystyle \log_a b-\log_b a=-\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ならば，$\displaystyle \log_a b+\log_b a=\frac{[テ]}{[ト]}$である．
(3)$\displaystyle y=\log_8 (1+x^2)-\frac{1}{3} \log_2 x$は$x=[ナ]$のとき最小値$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$をとる．

以下の問に答えよ．

(1)$2$次不等式$ax^2+8x+b>0$の解が$-1<x<5$であるとき，$a=[アイ]$，$b=[ウエ]$である．
(2)$y=|x^2+x-2|+x+1$の$-3 \leqq x \leqq 1$における最大値は$[オ]$，最小値は$[カキ]$である．

実数$a$の関数$F(a)$が
\[ F(a)=\int_0^1 |x(x-a)| \, dx \]
で与えられているとき，以下の問に答えよ．

(1)$a>0$のとき，$xy$平面上に$y=|x(x-a)|$のグラフを描け．
(2)$F(a)$を求めよ．
(3)$ab$平面上に$b=F(a)$のグラフを描け．
(4)$F(a)$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．

$a$を$0$以上の実数とし，
\[ S(a)=\int_0^1 |x^2-ax| \, dx \]
とする．

(1)$S(2)=[ア]$である．

(2)$\displaystyle S \left( \frac{1}{2} \right)=[イ]$である．

(3)$a>1$のとき，$S(a)=[ウ]$である．
$0 \leqq a \leqq 1$のとき，$S(a)=[エ]$である．
(4)$S(a)$は$a=[オ]$のとき最小値$[カ]$をとる．

次の問いに答えよ．

(1)計算せよ．
\[ \sum_{k=1}^{10} (2k-1)^2=\kakkofour{$101$}{$102$}{$103$}{$104$} \]
(2)計算せよ．
\[ \sum_{k=1}^{20} (-1)^{k-1}k^2=\kakkofour{$105$}{$106$}{$107$}{$108$} \]
(3)$1$から$20$までの数を$2$つの数列$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{10}$と$b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_{10}$に分ける．
\[ S=\sum_{k=1}^{10} a_kb_k \]
と定義し，分け方を種々考え，$S$の最小値と最大値を求めると，それぞれ
\[ [$109$][$110$][$111$],\quad \kakkofour{$112$}{$113$}{$114$}{$115$} \]
となる．（ヒント：増加数列や減少数列を考える．）

次の空所を埋めよ．

(1)$2$次方程式$x^2-x+k=0$が異なる$2$つの正の実数$m$と$m^2$を解にもつとき，実数$m,\ k$の値は，$m=[ア]$，$k=[イ]$である．
(2)$f(x)=2 \sin x \cos x+\sqrt{3} \cos 2x$とする．このとき，$\displaystyle f(x)=2 \sin \left( 2x+[ウ] \right)$である．ただし，$0 \leqq [ウ]<2\pi$とする．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)$の最小値$m$は，$m=[エ]$である．
(3)$3^a=2,\ 8^b=9$のとき，$a=[オ]$であり，積$ab$の値を対数を用いずに表すと，$ab=[カ]$である．
(4)$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$4$枚のカードのうち，$3$枚を並べて$3$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[キ]$個ある．また，$\fbox{$0$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$5$枚のカードのうち，$4$枚を並べて$4$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[ク]$個ある．

次の$[ア]$から$[ス]$にあてはまる数字または符号を入れよ．

(1)$2$次関数$y=x^2-4x+3$のグラフは，$y=x^2+2x+5$のグラフを$x$軸方向に$[ア]$，$y$軸方向に$[イ][ウ]$平行移動したものである．
(2)$1$から$8$までの自然数の中から異なる$4$個の数を選ぶとき，最大数が$7$以下となるような選び方は$[エ][オ]$通りあり，最大数が$7$となるような選び方は$[カ][キ]$通りある．
(3)方程式$(\log_3 2)(\log_4 \sqrt{x})=\log_x 3$の解は，$\displaystyle x=\frac{[ク]}{[ケ]},\ [コ]$である．
(4)実数$x,\ y$が$3x^2+2y^2=6x$を満たすとき，$x^2+2y^2$の最大値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり，最小値は$[ス]$である．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を記入せよ．

(1)$8x^3-27y^3$を因数分解すると$[ア]$である．
(2)関数$f(x)=x^2-4x+5 (-1 \leqq x \leqq 3)$の最大値は$[イ]$，最小値は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle \frac{3+i}{1-2i}$を$a+bi$の形にすると，$a=[エ]$，$b=[オ]$である．ただし，$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(4)不等式$\log_3 (1-x) \leqq \log_{\frac{1}{3}} (2x+1)$を満たす$x$の値の範囲は$[カ]$である．
(5)日曜日から土曜日までのうち$3$つの曜日を選び，毎週それらの曜日に出勤することとする．出勤する曜日の選び方は全部で$[キ]$通りある．また，$2$日は連続して出勤するが，$3$日は連続して出勤しないような曜日の選び方は$[ク]$通りある．

次の各問に答えよ．

(1)$2$次方程式$(a-1)x^2+2(a+1)x+a+2=0$が重解をもつとき，定数$a$の値とその重解を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$で，$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=-\frac{1}{4}$となる$\theta$の値をすべて求めよ．
(3)$x,\ y$が$x^2+y^2=4$を満たすとき，$2x+y^2$の最大値と最小値，およびそのときの$x,\ y$の値を求めよ．

$a$と$b$を定数とし，$2$次関数$y=-x^2+ax+a+b$のグラフを$F$とする．次の問いに答えよ．

(1)グラフ$F$の軸を求めよ．
(2)グラフ$F$と$x$軸が異なる$2$点を共有するとき，$a$と$b$の関係を求めよ．
(3)グラフ$F$と$x$軸が異なる$2$点を共有し，そのうち$1$つの$x$座標が$3$であるとする．このとき，$b$を$a$で表すと$b=[　]$である．また，もう$1$つの共有点の$x$座標は$[　]$である．
(4)$(3)$で求めた$x$座標が，区間$-3 \leqq x \leqq 0$に含まれるとき，$a$の範囲は$[　]$である．また，このとき，グラフ$F$の頂点の$y$座標の最大値は$[　]$，最小値は$[　]$である．