次の空所を埋めよ．

(1)$2$次方程式$x^2-x+k=0$が異なる$2$つの正の実数$m$と$m^2$を解にもつとき，実数$m,\ k$の値は，$m=[ア]$，$k=[イ]$である．
(2)$f(x)=2 \sin x \cos x+\sqrt{3} \cos 2x$とする．このとき，$\displaystyle f(x)=2 \sin \left( 2x+[ウ] \right)$である．ただし，$0 \leqq [ウ]<2\pi$とする．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)$の最小値$m$は，$m=[エ]$である．
(3)$3^a=2,\ 8^b=9$のとき，$a=[オ]$であり，積$ab$の値を対数を用いずに表すと，$ab=[カ]$である．
(4)$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$4$枚のカードのうち，$3$枚を並べて$3$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[キ]$個ある．また，$\fbox{$0$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$5$枚のカードのうち，$4$枚を並べて$4$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[ク]$個ある．

$f(x)=x^2-2ax+a+2$について，次の問いに答えなさい．

(1)$y=f(x)$のグラフが点$(1,\ 2)$を通るとき，$a$の値を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2$における$f(x)$の最小値を$m$とするとき，$a$を用いて$m$を表せ．
(3)$0 \leqq x \leqq 2$において，常に$f(x)>0$が成り立つような$a$の値の範囲を求めよ．

$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=\sin 2\theta-\sin \theta-\cos \theta$について，以下の問いに答えよ．

(1)$x=\sin \theta+\cos \theta$とおくとき，$y$を$x$の式で表せ．
(2)$y$の最大値と最小値を求めよ．

$a$を実数とする．関数
\[ f(x)=\cos 2x+4a \sin x-2a \]
の最大値および最小値を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)方程式$27x^3-54x^2-12x+24=0$を解きなさい．
\[ x=\frac{\mkakko{$\mathrm{a}$}}{\mkakko{$\mathrm{b}$}},\ \frac{\mkakko{$\mathrm{c}$}}{\mkakko{$\mathrm{d}$}},\ \mkakko{$\mathrm{e}$} \qquad \text{ただし} \mkakko{$\mathrm{a}$} \text{と} \mkakko{$\mathrm{b}$} \text{と} \mkakko{$\mathrm{d}$} \text{は正の数である．}\]
(2)$x,\ y,\ z$が$\displaystyle x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$をみたすとき，$(x+y)(y+z)(z+x)$の値を求めなさい．
\[ (x+y)(y+z)(z+x)=\mkakko{$\mathrm{f}$} \]
(3)関数$f(x)=|x+1|+|x-1|+|x-2|$の最小値$m$と，最小値をとるときの$x$の値を求めなさい．
\[ x=\mkakko{$\mathrm{g}$} \text{のとき} m=\mkakko{$\mathrm{h}$} \text{である．} \]
(4)$a$を正の定数とする．関数$y=x^2+ax-a^2-3a+1$の$-2a \leqq x \leqq 2a$での最大値$M$を最小にする定数$a$の値と$M$の最小値$m$の値を求めなさい．
\[ a=\frac{\mkakko{$\mathrm{i}$}}{\mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$}} \text{のとき，} m=\frac{\mkakko{$\mathrm{l}$} \mkakko{$\mathrm{m}$}}{\mkakko{$\mathrm{n}$} \mkakko{$\mathrm{o}$}} \text{である．} \]
ただし$\mkakko{$\mathrm{j}$}$と$\mkakko{$\mathrm{n}$}$は正の数である．

関数$f(x)=(x^2+2x)^2+2a(x^2+2x)+b$を考える．ただし$a$と$b$は定数であり，$f(x)$の最小値が$-4$，$f(1)=13$をみたすとする．次の問いに答えなさい．

(1)$X=x^2+2x$とおくと$X \geqq \mkakko{$\mathrm{a}$}$である．
(2)$b=\mkakko{$\mathrm{b}$}a+\mkakko{$\mathrm{c}$}$である．
(3)$\displaystyle f(x)=\left( X+\mkakko{$\mathrm{d}$}a \right)^2+\mkakko{$\mathrm{e}$}a^2+\mkakko{$\mathrm{f}$}a+\mkakko{$\mathrm{g}$}$である．
(4)定数$a$と$b$の値を求めなさい．

$a>\mkakko{$\mathrm{h}$}$のとき，$\displaystyle a=\frac{\mkakko{$\mathrm{i}$}}{\mkakko{$\mathrm{j}$}},\ b=\frac{\mkakko{$\mathrm{k}$} \mkakko{$\mathrm{l}$}}{\mkakko{$\mathrm{m}$}}$である．

$a \leqq \mkakko{$\mathrm{n}$}$のとき，$a=\mkakko{$\mathrm{o}$}-\sqrt{\mkakko{$\mathrm{p}$} \mkakko{$\mathrm{q}$}},\ b=\mkakko{$\mathrm{r}$} \mkakko{$\mathrm{s}$}+\mkakko{$\mathrm{t}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{u}$} \mkakko{$\mathrm{v}$}}$である．

ただし$\mkakko{$\mathrm{j}$}$と$\mkakko{$\mathrm{m}$}$は正の数である．

以下の問いに答えよ．

(1)$x,\ y,\ z$を$0$でない実数とする．$2^x=3^y=6^z$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}$を求めよ．
(2)$y=2^x+3 \cdot 2^{-x}$の最小値を求めよ．

放物線$y=x^2-8x+15$と直線$y=-2x+4$がある．放物線上を動く点を$\mathrm{P}$とし，直線の$x$切片を点$\mathrm{A}$，$y$切片を点$\mathrm{B}$とした場合，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積$S$の最小値を求めよ．

放物線$y=x^2-2ax+b$（$a,\ b$は定数）と直線$y=2x+3$が$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をもち，点$\mathrm{P}$がこの放物線の頂点であるとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$a$で表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$a$で表せ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とする．$b$が最小値をとるときの$\triangle \mathrm{QPO}$の面積を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}<\beta<\pi$とする．$\displaystyle \cos \alpha=\frac{2}{3},\ \sin \beta=\frac{4}{5}$のとき，
\[ \sin (\alpha-\beta)=-\frac{\mkakko{ケ}+\mkakko{コ} \sqrt{\mkakko{サ}}}{15},\quad \cos (\alpha+\beta)=-\frac{\mkakko{シ}+\mkakko{ス} \sqrt{\mkakko{セ}}}{15} \]
である．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とするとき，関数
\[ f(\theta)=\sin \theta+\sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)+\sin \left( \theta+\frac{2}{3}\pi \right) \]
の最大値は$[ソ]$，最小値は$[タ] \sqrt{[チ]}$である．