次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)整式$P(x)$は$(x-2)(x+3)$で割ると余りは$5x-2$であり，$(x-2)(x-3)$で割ると余りは$-x+10$である．このとき，$P(x)$を$(x+3)(x-3)$で割ると余りは$([ア])x+([イ])$である．
(2)初項が$a_1=-24$で公差が$12$の等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=[ウ]$である．また，数列$\{b_n\}$の初項$b_1$から第$n$項までの和$T_n$が$T_n=5^n-1$のとき，一般項は$b_n=[エ]$である．このとき，初項が$c_1=-1$で漸化式
\[ c_{n+1}=c_n+S_n-b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定まる数列$\{c_n\}$の一般項は$c_n=[オ]$である．
(3)曲線$C:y=|x^2-4x-5|$と直線$\ell:y=k$の共有点の個数は$3$個である．このとき，実数$k$の値は$k=[カ]$であり，直線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形の面積は$[キ]$である．
(4)$1$個のサイコロを$3$回投げる．出た目の最大値が$5$となる確率は$[ク]$である．出た目の最大値が$5$，かつ最小値が$1$となる確率は$[ケ]$である．$3$つの出た目の積が$2$の倍数であり，かつ$3$の倍数でない確率は$[コ]$である．

連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 2 \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
x-y \leqq \sqrt{2} \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
(1-\sqrt{2})(x+1) \leqq y+1 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$k=x+\sqrt{3}y$がとる値の最大値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．また，$k$の最小値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$m=x^2+y^2+\sqrt{2}x-\sqrt{6}y$がとる値の最大値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．また，$m$の最小値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)定数$a$を正の実数とする．関数
\[ f(\theta)=4 \sin 2\theta+6 \cos^2 \theta+4a(\sin \theta+2 \cos \theta)+a^2+1 \]
の$0 \leqq \theta \leqq \pi$における最大値を$M$，最小値を$m$とする．
$t=\sin \theta+2 \cos \theta$とおく．$f(\theta)$を$t$を用いて表すと
\[ f(\theta)=[ア]t^2+4at+a^2-[イ] \]
である．
$M=a^2+[ウ] \sqrt{[エ]}a+[オ]$であり，これを与える$\theta$の値を$\theta_0$とすると，$\displaystyle \tan \theta_0=\frac{[カ]}{[キ]}$である．
また，$M-m=14$となる$a$の値は，$a=\sqrt{[ク]}-\sqrt{[ケ]}$である．
(2)定数$m$を正の整数とする．
$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(21,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ m)$がある．点$(1,\ 0)$と直線$\mathrm{AB}$との距離を$d$とすると
\[ d=\frac{[コサ]m}{\sqrt{m^2+[シスセ]}} \]
である．
$d$が有理数となるような$m$の値は全部で$[ソ]$個あり，そのうち$m$の値が最大のものは$m=[タチツ]$である．
また，$d$が整数となるとき，$m=[テト]$，$d=[ナニ]$である．

$a$を，$a>1$を満たす定数とする．関数
\[ y=a^{3x}-3a^{2x+1}+3a^{x+2}+3a^{-x+2}-3a^{-2x+1}+a^{-3x} \]
を考える．$t=a^x+a^{-x}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$t$がとる値の範囲を求めよ．
(2)$a^{3x}+a^{-3x}$を$t$を用いて表せ．
(3)$y$を$a$と$t$を用いて表せ．
(4)$y$の最小値を$a$を用いて求めよ．

$x$の$2$次関数$y=x^2-4kx-k^2+12k-2$について考える．

(1)この関数のグラフの軸は直線$x=[ア][イ]k$である．また，この関数の最小値は$-[ウ][エ]k^2+12k-2$である．
(2)この関数の定義域を$1 \leqq x \leqq 5$とし，$k=-1$とすると，この関数の値域は$-[オ][カ] \leqq y \leqq [キ][ク]$である．
(3)この関数の定義域を$x \leqq 2$とすると，この関数の最小値は$k=[ケ][コ]$のときに最大となる．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)さいころを$n$回投げて，第$1$回から第$n$回までに出た目$n$個の積を$X_n$とする．$X_n$が$3$で割り切れる確率は$[ア]$であり，$X_n$が$2$で割り切れる確率は$[イ]$である．また，$X_n$が$6$で割り切れる確率を$p_n$とすると$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (1-p_n)=[ウ]$である．
(2)連立不等式
\[ x^2+4y^2 \leqq 4,\quad x+2y \geqq 2 \]
の表す領域を$D$とする．点$(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$2x+y$の最小値は$[エ]$である．また，最大値は$[オ]$であり，そのときの$x,\ y$は$x=[カ]$，$y=[キ]$である．
(3)正整数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し$\displaystyle \int_0^\pi \sin^2 nx \, dx=[ク]$であり，異なる正整数$m,\ n$に対しては$\displaystyle \int_0^\pi \sin mx \sin nx \, dx=[ケ]$である．したがって，$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{15} n \sin nx$とすると$\displaystyle \int_0^\pi \{f(x)\}^2 \, dx=[コ]$である．

次の問いに答えなさい．

$a,\ b$を正の実数の定数とし，$2$次関数$f(x)=3x^2+ax+b$を考える．$xy$座標平面上の放物線$y=f(x)$を$C$とし，$C$上の点$(1,\ f(1))$における接線を$\ell$とする．また，$\ell$を$y$軸方向に$3$だけ平行移動した直線を$m$とする．
(1)$C$の頂点の$y$座標を$q$とするとき，$q$は，$a$と$b$を用いて表すと$q=[$\mathrm{E]$}$である．
(2)$C$と$m$で囲まれる部分の面積$S$の値は$S=[$\mathrm{F]$}$である．
(3)$\ell$と$x$軸の交点の$x$座標を$r$とする．このとき，$r$は，$a$と$b$を用いて表すと$r=[$\mathrm{G]$}$である．また，大小$2$個のさいころを投げ，大きいさいころの出た目の数を$a$の値，小さいさいころの出た目の数を$b$の値とするとき，$\displaystyle 0 \leqq r \leqq \frac{1}{6}$である確率$P$の値は$P=[$\mathrm{H]$}$である．ただし，大小$2$個のさいころはそれぞれ$1$から$6$までの目が同様に確からしく出るとする．
(4)$C$と$x$軸の共有点が$2$個であるとき，その共有点の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とする（$\alpha<\beta$）．$C$と$x$軸の共有点が$2$個であり，かつ$a,\ b$それぞれが$1 \leqq a \leqq 6$，$1 \leqq b \leqq 6$を満たす整数であるとき，$\alpha^2+\beta^2$のとり得る値の最大値と最小値を$[い]$で求めなさい．

次の各設問に答えよ．

(1)数列$10,\ 22,\ 41,\ 74,\ \cdots$は，初項が$[ア]$，公差が$[イ]$の等差数列と，初項が$[ウ]$，公比が$[エ]$の等比数列の和で表すことができる．
(2)$a,\ b$を正の実数として，$xy$平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(a,\ 8)$，$\mathrm{Q}(b,\ 0)$をとる．$\angle \mathrm{OPQ}={90}^\circ$の三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は，$a=[オ]$，$b=[カキ]$のとき，最小値$[クケ]$をとる．

$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=4 \cos^2 \frac{\theta}{2}-\cos 2\theta+1$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

空間のベクトル$\overrightarrow{n}=(1,\ -1,\ 1)$，$\overrightarrow{a}=(\sqrt{2},\ -2 \sqrt{2},\ 0)$に対し，以下の設問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{b}=0$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0$，$|\overrightarrow{b}|=1$をみたすベクトル$\overrightarrow{b}$を$1$つ求めよ．
(2)$(1)$で求めた$\overrightarrow{b}$に対し，$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{c}=0$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=0$，$|\overrightarrow{c}|=1$をみたすベクトル$\overrightarrow{c}$を$1$つ求めよ．
(3)$s,\ t$を実数とし，$(1)$と$(2)$で求めた$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{p}=s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}$とおく．$|\overrightarrow{p}|=1$であるとき，$|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|$の最小値を求めよ．また，そのときの$\overrightarrow{p}$を求めよ．