$A,\ B$は実数で$A^{11}=8$，$B^{13}=4$であるとする．整数$x,\ y$が$A^x \cdot B^y=2$を満たすとき，$|x+y|$の最小値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．

$k$を実数として$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-x^2+4x+k \]
を考える．点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C_1$の接線を$\ell$とする．$C_2$は$\ell$に点$\mathrm{Q}$で接するとして，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とする．不等式$a>b>0$が成り立つとする．$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし，$C_2$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$T(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$k,\ b$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$S(a),\ T(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(4)$a$が条件$a>b>0$を満たすように動くとき，$S(a)+T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)整数$x,\ y$に対して$11x+7y$が$77$の倍数ならば，$x$は$7$の倍数であり$y$は$11$の倍数であることを示せ．
(2)整数$x,\ y$が次の$3$つの条件
\[ \sin \left( \frac{\pi}{7}x+\frac{\pi}{11}y \right)=0,\quad 10<x<34,\quad 10<y<30 \]
を満たすとき，$|x-y|$の最小値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．

$k$を実数として$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-x^2+4x+k \]
を考える．点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C_1$の接線を$\ell$とする．$C_2$は$\ell$に点$\mathrm{Q}$で接するとして，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とする．不等式$a>b>0$が成り立つとする．$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし，$C_2$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$T(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$k,\ b$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$S(a),\ T(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(4)$a$が条件$a>b>0$を満たすように動くとき，$S(a)+T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

$a,\ b,\ c$および$d$は実数で，$a>0$，$b<0$，$d \neq 0$とする．また
\[ f(x)=ax+b,\quad g(x)=x^2+cx+d \]
とおく．$xyz$空間内に$3$点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$があり，点$\mathrm{O}$は原点を表す．点$\mathrm{P}_0(-4,\ 0,\ 4 \sqrt{3})$は定点で，$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$はそれぞれ実数$t$の値に応じて定まる点$\mathrm{P}_1(-t,\ f(t),\ 2 \sqrt{3})$，$\mathrm{P}_2(t,\ g(t),\ 0)$である．この$3$点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$が次の$3$条件をみたしているとき，定数$a,\ b,\ c,\ d$の値をすべて求めなさい．


(i) $t=0$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2$のなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$である．
(ii) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$の長さの最小値は$\sqrt{14}$である．
(iii) 点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$は，$t=1$および$t=-3$のとき，それぞれ同一平面上にある．

次の問いに答えなさい．

(1)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
y \leqq -x^2+4 \\
y \geqq -\displaystyle\frac{1}{2}x+1
\end{array} \right.$の表す領域を図示しなさい．

(2)点$(x,\ y)$が$(1)$の領域を動くとき，$x+y$のとりうる値の最大値と最小値を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次関数$y=x^2-2ax+a+2$の最小値が負であるような定数$a$の範囲を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームがサッカーの試合を$7$回行う．どの試合でも，$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$，引き分けとなる確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$であるとして，$\mathrm{A}$チームの試合結果が$3$勝$2$敗$2$引き分けとなる確率を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$において，

$\mathrm{BC}=30$，$\mathrm{CA}=26$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{5}{13}$，
$\mathrm{OA}=18$，$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}={90}^\circ$

であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さおよび四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$4$点$\mathrm{A}(1,\ -2,\ -2)$，$\mathrm{B}(-1,\ -4,\ 0)$，$\mathrm{C}(2,\ 2,\ -4)$，$\mathrm{D}(2,\ 4,\ -4)$をとる．また，線分$\mathrm{AB}$を$t:(1+t)$に外分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{Q}$とおく．ただし，$t$は正の実数とする．次の問いに答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の成分を$t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が垂直であるとき，$t$の値を求めよ．
(3)実数$r,\ s$について$\overrightarrow{\mathrm{DP}}=r \overrightarrow{\mathrm{DC}}+s \overrightarrow{\mathrm{DQ}}$が成り立つとする．このとき，$r,\ s,\ t$の値を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた値のとき，直線$\mathrm{DP}$と直線$\mathrm{CQ}$の交点の座標を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を$S(t)$とする．$S(t)$の最小値を求めよ．また，そのときの$t$の値を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)$(a+2b+3c)^6$の展開式における$a^3b^2c$の係数を求めなさい．
(2)実数$x,\ y$が$x^2+y^2 \leqq 2$をみたすとき，$5x+y$の最大値および最小値を求めなさい．
(3)$\log_{10}2=0.3010$を用いて以下の問いに答えなさい．

(i) $5^{15}$の桁数を求めなさい．
(ii) $5^{15}$と$2^{40}$の大小を比較しなさい．

(4)関数$y=x^2+1$および$y=-x^2+2x+4$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい．

次の問いに答えなさい．

(1)$(a+2b+3c)^6$の展開式における$a^3b^2c$の係数を求めなさい．
(2)実数$x,\ y$が$x^2+y^2 \leqq 2$をみたすとき，$5x+y$の最大値および最小値を求めなさい．
(3)$\log_{10}2=0.3010$を用いて以下の問いに答えなさい．

(i) $5^{15}$の桁数を求めなさい．
(ii) $5^{15}$と$2^{40}$の大小を比較しなさい．

(4)関数$y=x^2+1$および$y=-x^2+2x+4$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい．