$2$つの点$\mathrm{A}(1,\ -2,\ 3)$，$\mathrm{B}(3,\ 2,\ 2)$と$xy$平面上を動く点$\mathrm{P}$について考える．線分$\mathrm{AP}$の長さと線分$\mathrm{PB}$の長さの和の最小値を$m$としたとき，$\displaystyle \frac{m}{\sqrt{5}}$の値を求めよ．

楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$と直線$L:x-2y+10=0$について考える．楕円$C$上の点$\mathrm{P}$から直線$L$に下ろした垂線と直線$L$の交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の最大値を$M$，最小値を$m$とするとき，$\displaystyle \frac{M}{m}$の値を求めよ．

$|\overrightarrow{a}|=5$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=3 \sqrt{5}$であるとする．$|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|$は（$t$は実数），$t=c$のとき，最小値$m$をとる．$\displaystyle \frac{mc}{3}$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(t)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (x-t \cos x)^2 \, dx$は，$t=a$（$a$は正の実数）で最小値をとるものとする．$a$を超えない最大の整数の値を求めよ．

$c$を定数とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{c+\sum_{k=1}^n 2^k}{2^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．

(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+1}=[$1$]+\frac{a_n}{[$2$]} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たす．
(2)$a_n$を$n$の式で表すと
\[ a_n=2-\frac{[$3$]-c}{2^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
となる．ゆえに，$c=[$4$]$のとき数列$\{a_n\}$は公比$1$の等比数列になる．
(3)$c=1$とする．$a_n$が$1.99$を超えない最大の$n$は$[$5$]$である．
(4)$c=-38$とする．自然数$N$に対して，$\displaystyle \sum_{n=1}^N a_n$の値は$N=[$6$]$のとき最小値$\displaystyle \frac{[$7$][$8$][$9$]}{[$10$]}$をとる．

次の関数の最小値を求めよ．さらに，そのときの$x$の値を求めよ．
\[ f(x)=\{\log_2(2-x-x^2)\}^2-2 \log_2(2-x-x^2)+\frac{1}{2} \]

連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
4x-y \leqq 2 \\
x+y \geqq 3 \\
x-y \geqq -7
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とするとき，次の設問に答えよ．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$y-2x$のとる値の最大値と最小値を求めよ．

$0 \leqq x \leqq 3$のとき，次の$x$の関数の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．
\[ f(x)=\frac{1}{5-x}+\frac{1}{3+x} \]

銀行口座（以降，口座）から$\mathrm{IC}$カードに金額を移転し，そのカードを用いて支払いをおこなうものとする．口座からカードに移転した金額を超過してさらに支払う必要が生じた場合，その分は銀行が自動的に立て替えて払うものとする．

このとき，口座からカードに金額を移転することに伴う利子収入の減少分，および銀行からの借入れに伴う利払い，そして口座からカードへの移転に伴う手数料，それらの合計$Z$を最小にする問題を考える．適当な仮定のもと，$Z$は独立変数$x,\ y$の関数として，つぎのように表わされる．
\[ Z=\frac{xy^2}{40A}+\frac{A^2-2xyA+x^2y^2}{30xA}+6x \]
ただし$(x,\ y)$は座標平面の第$1$象限の点であり，$A$は定数である．

(1)$x$を固定し，$Z$を$y$の関数と考えれば，その最小値は
\[ y=\frac{[$35$][$36$]}{[$37$][$38$]} \frac{A}{x} \]
のときである．
(2)$Z$に$(1)$の結果を代入し，$Z$を$x$のみの関数とみれば
\[ x=\sqrt{\frac{[$39$][$40$][$41$]}{[$42$][$43$][$44$]}A} \]
のとき$Z$は最小になる．
(3)以上から$Z$の最小値は
\[ \sqrt{\frac{[$45$][$46$][$47$]}{[$48$][$49$][$50$]}A} \]
である．

次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$2$つの自然数$p,\ q$が$p^2+pq+q^2=19$を満たすとき，$p+q=[ア]$である．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$\sin^2 \theta+\cos \theta-1$の最大値は$[イ]$であり，最小値は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle S=\frac{1}{1+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}}+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}}$とすると，$S$の値は$[エ]$である．
(4)方程式$\log_{\sqrt{2}}(2-x)+\log_2 (x+1)=1$の解をすべて求めると，$x=[オ]$である．
(5)等式$\displaystyle f(x)=x^2+3 \int_0^1 f(t) \, dt$を満たす関数は，$f(x)=[カ]$である．
(6)座標空間における$4$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$，$\mathrm{D}(x,\ 4,\ 5)$が同一平面上にあるとき，$x=[キ]$である．
(7)$3$次方程式$x^3-x^2+ax+b=0$の解の$1$つが$1+i$のとき，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．ただし，$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(8)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=6$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[コ]$である．