「最小値」について
タグ「最小値」の検索結果
（26ページ目：全1222問中251問～260問を表示）
私立 慶應義塾大学 2015年 第4問関数$y=\sin \theta \cos \theta-\sin \theta+\cos \theta$について考える．以下に答えなさい．
(1)$t=\cos \theta-\sin \theta$とおくとき，$y$を$t$の式で表しなさい．
(2)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲を動くとき，$t$の動く範囲を求めなさい．
(3)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲を動くとき，$y$の最大値，最小値と，それらを与える$\theta$の値をそれぞれ求めなさい．
(1)$t=\cos \theta-\sin \theta$とおくとき，$y$を$t$の式で表しなさい．
(2)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲を動くとき，$t$の動く範囲を求めなさい．
(3)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲を動くとき，$y$の最大値，最小値と，それらを与える$\theta$の値をそれぞれ求めなさい．
私立 早稲田大学 2015年 第3問$a,\ b$を実数とし，
\[ f(x)=x^2+ax+1,\quad g(x)=-x^2-bx+1 \]
とおく．次の問に答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$と$g(x)=0$が共通の解を持つための$a,\ b$の条件を求めよ．
(2)$a \geqq 0,\ b \geqq 0$の範囲で，$(1)$で求めた条件をみたしながら$a,\ b$を動かす．$f(x)=0$と$g(x)=0$の共通解を$\alpha$とし，$y=f(x)$のグラフ上の点$(\alpha,\ 0)$における接線を$\ell$とする．このとき，$y=g(x)$のグラフと$\ell$で囲まれる部分の面積$S$の最小値を求めよ．
\[ f(x)=x^2+ax+1,\quad g(x)=-x^2-bx+1 \]
とおく．次の問に答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$と$g(x)=0$が共通の解を持つための$a,\ b$の条件を求めよ．
(2)$a \geqq 0,\ b \geqq 0$の範囲で，$(1)$で求めた条件をみたしながら$a,\ b$を動かす．$f(x)=0$と$g(x)=0$の共通解を$\alpha$とし，$y=f(x)$のグラフ上の点$(\alpha,\ 0)$における接線を$\ell$とする．このとき，$y=g(x)$のグラフと$\ell$で囲まれる部分の面積$S$の最小値を求めよ．
私立 立教大学 2015年 第1問次の空欄$[ア]$～$[コ]$にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)空間内の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(2,\ 2,\ 0)$とする．実数$p,\ q$を用いて点$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=p \overrightarrow{\mathrm{AB}}+q \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で定める．原点を$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$として，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直であるとき，$p=[ア]$，$q=[イ]$である．
(2)不等式$x+3<5 |x-1|$を満たす実数$x$の範囲は，$x<[ウ]$または$x>[エ]$である．
(3)多項式$(x^5+1)^2$を$x^2+x+1$で割った余りを$Ax+B$とすると，定数$A$と$B$は$A=[オ]$，$B=[カ]$である．
(4)$0<a<1$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (a^{2n}+a^{3n})=[キ]$である．
(5)大中小の$3$つのサイコロをふって，出た目の和が$9$になる確率は$[ク]$である．
(6)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos (x-\theta) \, dx$の最大値は$[ケ]$であり，最小値は$[コ]$である．
(1)空間内の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(2,\ 2,\ 0)$とする．実数$p,\ q$を用いて点$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=p \overrightarrow{\mathrm{AB}}+q \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で定める．原点を$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$として，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直であるとき，$p=[ア]$，$q=[イ]$である．
(2)不等式$x+3<5 |x-1|$を満たす実数$x$の範囲は，$x<[ウ]$または$x>[エ]$である．
(3)多項式$(x^5+1)^2$を$x^2+x+1$で割った余りを$Ax+B$とすると，定数$A$と$B$は$A=[オ]$，$B=[カ]$である．
(4)$0<a<1$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (a^{2n}+a^{3n})=[キ]$である．
(5)大中小の$3$つのサイコロをふって，出た目の和が$9$になる確率は$[ク]$である．
(6)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos (x-\theta) \, dx$の最大値は$[ケ]$であり，最小値は$[コ]$である．
私立 立教大学 2015年 第4問$k$を実数とする．曲線$C:y=(x^2-1)^2$と直線$\ell:y=k$について，次の問いに答えよ．
(1)曲線$C$と直線$\ell$の共有点が異なる$4$点となるような$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$k$が$(1)$で求めた範囲にあるとき，曲線$C$と直線$\ell$の共有点の$x$座標を小さい順に$x_1$，$x_2$，$x_3$，$x_4$とする．$x_1$，$x_2$，$x_3$，$x_4$をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(3)$k$が$(1)$で求めた範囲にあるとき，曲線$C$と直線$\ell$で囲まれた部分を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を$k$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた体積$V$の最小値と，最小値を与える$k$の値をそれぞれ求めよ．
(1)曲線$C$と直線$\ell$の共有点が異なる$4$点となるような$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$k$が$(1)$で求めた範囲にあるとき，曲線$C$と直線$\ell$の共有点の$x$座標を小さい順に$x_1$，$x_2$，$x_3$，$x_4$とする．$x_1$，$x_2$，$x_3$，$x_4$をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(3)$k$が$(1)$で求めた範囲にあるとき，曲線$C$と直線$\ell$で囲まれた部分を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を$k$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた体積$V$の最小値と，最小値を与える$k$の値をそれぞれ求めよ．
私立 早稲田大学 2015年 第1問数列$a_n$を$\displaystyle a_n=n \left( \frac{81}{100} \right)^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$により定義する．
(1)$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}<1$となる$n$の最小値は$[ア]$である．
(2)$\log_{10}a_{11}$を小数第$3$位を四捨五入して得られる値は$[イ]$である．
(3)$a_n<1$をみたす$n$を小さいものから順に$n_1,\ n_2,\ n_3,\ n_4,\ \cdots$とおく．$n_4$は$[ウ]$である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}1.1=0.0414$であることを利用してよい．
(1)$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}<1$となる$n$の最小値は$[ア]$である．
(2)$\log_{10}a_{11}$を小数第$3$位を四捨五入して得られる値は$[イ]$である．
(3)$a_n<1$をみたす$n$を小さいものから順に$n_1,\ n_2,\ n_3,\ n_4,\ \cdots$とおく．$n_4$は$[ウ]$である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}1.1=0.0414$であることを利用してよい．
私立 早稲田大学 2015年 第2問$\theta$のとる値の範囲が$\displaystyle \frac{\pi}{12} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3}$である関数
\[ y=\frac{4}{1+\tan^2 \theta}+2 \sin^2 \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta \]
を考える．
(1)$y$の最大値は$[エ]$となり，そのとき$\theta$の値は$[オ]$である．
(2)$y$の最小値は$[カ]$となり，そのとき$\theta$の値は$[キ]$である．
\[ y=\frac{4}{1+\tan^2 \theta}+2 \sin^2 \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta \]
を考える．
(1)$y$の最大値は$[エ]$となり，そのとき$\theta$の値は$[オ]$である．
(2)$y$の最小値は$[カ]$となり，そのとき$\theta$の値は$[キ]$である．
私立 立教大学 2015年 第1問次の空欄$[ア]$～$[ク]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$が，$|\overrightarrow{a}|=5$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{13}$，$|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}-t \overrightarrow{b}|$の関係を満たすとき，$|\overrightarrow{c}|$の最小値は$[ア]$である．ただし，$t$は実数とする．
(2)整式$f(x)$を$x+5$で割ると余りが$-11$，$(x+2)^2$で割ると余りが$x+3$となる．このとき，$f(x)$を$(x+5)(x+2)^2$で割ると余りは$[イ]$である．
(3)全体集合$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$の部分集合$A,\ B$について，$\overline{A} \cap \overline{B}=\{1,\ 3\}$，$A \cup \overline{B}=\{1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 7,\ 8\}$であるとき，集合$A=[ウ]$である．ただし，$\overline{A}$は$A$の補集合，$\overline{B}$は$B$の補集合とする．
(4)さいころを$4$回投げるとき，偶数の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(5)ある細菌は$1$時間毎に分裂して個数が$2$倍になる．最初に$10$個あるとき，$100$万個を初めて超えるのは$[オ]$時間後である．ただし，$\log_{10}2=0.301$とし，整数で答えよ．
(6)複素数$z=a+i$について，$z^4$が実数となるとき，$z^4$のとりうる値は$[カ]$である．ただし，$a$は実数であり，$i$は虚数単位とする．
(7)関数$f(x)$が$f^\prime(x)=3x+2$と$\displaystyle \int_0^2 f(x) \, dx=4$をともに満たすとき，$f(x)=[キ]$である．
(8)$\displaystyle \sum_{k=1}^{25} (2k-1)^2$の値は$[ク]$である．
(1)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$が，$|\overrightarrow{a}|=5$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{13}$，$|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}-t \overrightarrow{b}|$の関係を満たすとき，$|\overrightarrow{c}|$の最小値は$[ア]$である．ただし，$t$は実数とする．
(2)整式$f(x)$を$x+5$で割ると余りが$-11$，$(x+2)^2$で割ると余りが$x+3$となる．このとき，$f(x)$を$(x+5)(x+2)^2$で割ると余りは$[イ]$である．
(3)全体集合$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$の部分集合$A,\ B$について，$\overline{A} \cap \overline{B}=\{1,\ 3\}$，$A \cup \overline{B}=\{1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 7,\ 8\}$であるとき，集合$A=[ウ]$である．ただし，$\overline{A}$は$A$の補集合，$\overline{B}$は$B$の補集合とする．
(4)さいころを$4$回投げるとき，偶数の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(5)ある細菌は$1$時間毎に分裂して個数が$2$倍になる．最初に$10$個あるとき，$100$万個を初めて超えるのは$[オ]$時間後である．ただし，$\log_{10}2=0.301$とし，整数で答えよ．
(6)複素数$z=a+i$について，$z^4$が実数となるとき，$z^4$のとりうる値は$[カ]$である．ただし，$a$は実数であり，$i$は虚数単位とする．
(7)関数$f(x)$が$f^\prime(x)=3x+2$と$\displaystyle \int_0^2 f(x) \, dx=4$をともに満たすとき，$f(x)=[キ]$である．
(8)$\displaystyle \sum_{k=1}^{25} (2k-1)^2$の値は$[ク]$である．
私立 慶應義塾大学 2015年 第1問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．
(1)不等式
\[ \log_2 (5-2x)+2 \log_{\frac{1}{2}} (x+2) \leqq 0 \]
をみたす$x$の範囲は$[あ]$である．
(2)$2$つの関数
\[ f(x)=|\displaystyle x^2+3bx-\frac{b|{4}},\quad g(x)=x^2+3b |x|-\frac{b}{4} \]
の最小値が一致するような$b$の範囲は$[い]$である．
(3)$\displaystyle 0 \leqq \alpha <\frac{\pi}{2}$のとき，関数
\[ f(x)=\sin (x-\alpha) \cos x \quad \left( \alpha \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
は$x=[う]$において最大値をとる．この最大値が$\displaystyle \frac{1}{4}$となるのは$\alpha=[え]$のときである．
(1)不等式
\[ \log_2 (5-2x)+2 \log_{\frac{1}{2}} (x+2) \leqq 0 \]
をみたす$x$の範囲は$[あ]$である．
(2)$2$つの関数
\[ f(x)=|\displaystyle x^2+3bx-\frac{b|{4}},\quad g(x)=x^2+3b |x|-\frac{b}{4} \]
の最小値が一致するような$b$の範囲は$[い]$である．
(3)$\displaystyle 0 \leqq \alpha <\frac{\pi}{2}$のとき，関数
\[ f(x)=\sin (x-\alpha) \cos x \quad \left( \alpha \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
は$x=[う]$において最大値をとる．この最大値が$\displaystyle \frac{1}{4}$となるのは$\alpha=[え]$のときである．
私立 自治医科大学 2015年 第2問$\log_2a+\log_2b=1$，$\log_ca+\log_cb=3$（$a,\ b,\ c$は正の実数，$c \neq 1$）がともに成立しているとき，$2 \log_c (a+b)$の最小値を求めよ．
私立 自治医科大学 2015年 第3問関数$\displaystyle f(x)=9^x+9^{-x}-\frac{20}{9}(3^{1-x}+3^{1+x})$（$x$は正の実数）は，$x=a$のとき最小値をとる．$a$の値を求めよ．