「最小値」について
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国立 弘前大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$r>0$を定数とする．点$(x,\ y)$が楕円$4x^2+y^2=r^2$上を動くとき，$6x+4y$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$x,\ y$がすべての実数値をとるとき，$\displaystyle \frac{6x+4y+5}{4x^2+y^2+15}$の最大値と最小値を求めよ．
(1)$r>0$を定数とする．点$(x,\ y)$が楕円$4x^2+y^2=r^2$上を動くとき，$6x+4y$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$x,\ y$がすべての実数値をとるとき，$\displaystyle \frac{6x+4y+5}{4x^2+y^2+15}$の最大値と最小値を求めよ．
国立 弘前大学 2015年 第1問$3$辺の長さが$2,\ 3,\ 4$の三角形について次の問いに答えよ．
(1)内角が最大の頂点を$\mathrm{A}$，最小の頂点を$\mathrm{B}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{A}$，$\cos \angle \mathrm{B}$を求めよ．
(2)残りの頂点を$\mathrm{C}$とする．また$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$はそれぞれ辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$上の点で，$\mathrm{AP}=\mathrm{BQ}=\mathrm{CR}$をみたすとする．このとき，$\mathrm{AQ}^2+\mathrm{BR}^2+\mathrm{CP}^2$の最大値と最小値を求めよ．
(1)内角が最大の頂点を$\mathrm{A}$，最小の頂点を$\mathrm{B}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{A}$，$\cos \angle \mathrm{B}$を求めよ．
(2)残りの頂点を$\mathrm{C}$とする．また$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$はそれぞれ辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$上の点で，$\mathrm{AP}=\mathrm{BQ}=\mathrm{CR}$をみたすとする．このとき，$\mathrm{AQ}^2+\mathrm{BR}^2+\mathrm{CP}^2$の最大値と最小値を求めよ．
国立 佐賀大学 2015年 第3問$a$を定数とし，関数
\[ f(\theta)=\sin^3 \theta+a \cos 2\theta+\frac{21}{4} \sin \theta \]
は$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)=\frac{13}{4}$を満たすものとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)$t=\sin \theta$とおくとき，$f(\theta)$を$t$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$における$f(\theta)$の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
\[ f(\theta)=\sin^3 \theta+a \cos 2\theta+\frac{21}{4} \sin \theta \]
は$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)=\frac{13}{4}$を満たすものとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)$t=\sin \theta$とおくとき，$f(\theta)$を$t$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$における$f(\theta)$の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 愛媛大学 2015年 第2問$t$を実数とする．座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 6,\ -2)$，$\mathrm{D}(t,\ -2,\ 4)$がある．図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，点$\mathrm{P}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周および内部を動くとき，$\triangle \mathrm{OCP}$の面積$S$の最小値を$m$とする．また，平行四辺形$\mathrm{DEFG}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
（図は省略）
(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．
（図は省略）
(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．
国立 愛媛大学 2015年 第1問$t$を実数とする．座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 6,\ -2)$，$\mathrm{D}(t,\ -2,\ 4)$がある．図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，点$\mathrm{P}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周および内部を動くとき，$\triangle \mathrm{OCP}$の面積$S$の最小値を$m$とする．また，平行四辺形$\mathrm{DEFG}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
（図は省略）
(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．
（図は省略）
(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．
国立 福岡教育大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$x$がすべての実数を動くとき，$2^x+2^{-x}$の最小値を$m$とする．次の（ア），（イ）に答えよ．
\mon[（ア）] $m$の値を求め，$2^x+2^{-x}=m$を満たす$x$を求めよ．
\mon[（イ）] $k>m$のとき，$2^x+2^{-x}=k$を満たす$x$をすべて求めよ．
(2)$a$を定数とし，$1<a \leqq 2$とする．方程式
\[ 4^x+4^{-x}-3a \cdot 2^x-3a \cdot 2^{-x}+2(a^2+1)=0 \]
が異なる$3$つの実数解をもつとき，その$3$つの実数解をすべて求めよ．
(1)$x$がすべての実数を動くとき，$2^x+2^{-x}$の最小値を$m$とする．次の（ア），（イ）に答えよ．
\mon[（ア）] $m$の値を求め，$2^x+2^{-x}=m$を満たす$x$を求めよ．
\mon[（イ）] $k>m$のとき，$2^x+2^{-x}=k$を満たす$x$をすべて求めよ．
(2)$a$を定数とし，$1<a \leqq 2$とする．方程式
\[ 4^x+4^{-x}-3a \cdot 2^x-3a \cdot 2^{-x}+2(a^2+1)=0 \]
が異なる$3$つの実数解をもつとき，その$3$つの実数解をすべて求めよ．
国立 福岡教育大学 2015年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$を$1$辺の長さが$1$の正三角形とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．次の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の大きさを求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円上を動くとき，次の（ア），（イ）に答えよ．
\mon[（ア）] 内積の和$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の値を求めよ．
\mon[（イ）] 内積 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$の最大値と最小値を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の大きさを求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円上を動くとき，次の（ア），（イ）に答えよ．
\mon[（ア）] 内積の和$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の値を求めよ．
\mon[（イ）] 内積 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$の最大値と最小値を求めよ．
国立 福岡教育大学 2015年 第4問次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．
(1)関数$f(x)=x-\log x$の最小値を求めよ．
(2)$a$を$1$より大きい定数とし，曲線$\displaystyle y=a \sin x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と曲線$y=\tan x$ $\displaystyle \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$によって囲まれる部分$D$の面積が$1-\log 2$であるとする．次の（ア），（イ）に答えよ．
\mon[（ア）] $a$の値を求めよ．
\mon[（イ）] $D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(1)関数$f(x)=x-\log x$の最小値を求めよ．
(2)$a$を$1$より大きい定数とし，曲線$\displaystyle y=a \sin x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と曲線$y=\tan x$ $\displaystyle \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$によって囲まれる部分$D$の面積が$1-\log 2$であるとする．次の（ア），（イ）に答えよ．
\mon[（ア）] $a$の値を求めよ．
\mon[（イ）] $D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 福岡教育大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$x$がすべての実数を動くとき，$2^x+2^{-x}$の最小値を$m$とする．次の（ア），（イ）に答えよ．
\mon[（ア）] $m$の値を求め，$2^x+2^{-x}=m$を満たす$x$を求めよ．
\mon[（イ）] $k>m$のとき，$2^x+2^{-x}=k$を満たす$x$をすべて求めよ．
(2)$a$を定数とし，$a \leqq 2$とする．方程式
\[ 4^x+4^{-x}-3a \cdot 2^x-3a \cdot 2^{-x}+2(a^2+1)=0 \]
の異なる実数解の個数を求めよ．
(1)$x$がすべての実数を動くとき，$2^x+2^{-x}$の最小値を$m$とする．次の（ア），（イ）に答えよ．
\mon[（ア）] $m$の値を求め，$2^x+2^{-x}=m$を満たす$x$を求めよ．
\mon[（イ）] $k>m$のとき，$2^x+2^{-x}=k$を満たす$x$をすべて求めよ．
(2)$a$を定数とし，$a \leqq 2$とする．方程式
\[ 4^x+4^{-x}-3a \cdot 2^x-3a \cdot 2^{-x}+2(a^2+1)=0 \]
の異なる実数解の個数を求めよ．
国立 東京農工大学 2015年 第3問関数$f(x)$を
\[ f(x)=e^{-x}x^2(x^2+ax+b) \]
で定める．ただし，$a,\ b$は実数，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の導関数を$f^{\prime}(x)$とする．$f(-1)=10e$，$f^\prime(1)=0$のとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$a,\ b$を$(1)$で求めた値とする．このとき$x \geqq 0$における$f(x)$の最大値，最小値を求め，そのときの$x$の値を求めよ．ただし，$2<e<3$であることを用いてよい．
\[ f(x)=e^{-x}x^2(x^2+ax+b) \]
で定める．ただし，$a,\ b$は実数，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の導関数を$f^{\prime}(x)$とする．$f(-1)=10e$，$f^\prime(1)=0$のとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$a,\ b$を$(1)$で求めた値とする．このとき$x \geqq 0$における$f(x)$の最大値，最小値を求め，そのときの$x$の値を求めよ．ただし，$2<e<3$であることを用いてよい．