「最小値」について
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公立 兵庫県立大学 2010年 第1問$a$の関数
\[ S(a)=\int_0^1 |x^3-ax| \, dx \]
の最小値を求めよ．ただし$a>0$とする．
\[ S(a)=\int_0^1 |x^3-ax| \, dx \]
の最小値を求めよ．ただし$a>0$とする．
公立 熊本県立大学 2010年 第1問関数$y=x^2-4ax+7 \ (0 \leqq x \leqq 1)$の最小値とそのときの$x$の値を求めなさい．
公立 広島市立大学 2010年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{5+4 \cos x}} \quad (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．
(1)導関数$f^{\, \prime}(x)$を求め，$f(x)$の増減を調べよ．また，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた2つの部分の面積の和を求めよ．
(1)導関数$f^{\, \prime}(x)$を求め，$f(x)$の増減を調べよ．また，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた2つの部分の面積の和を求めよ．
公立 熊本県立大学 2010年 第1問関数$y=x^2-4ax+7 \ (0 \leqq x \leqq 1)$の最小値とそのときの$x$の値を求めなさい．
公立 県立広島大学 2010年 第2問三角形OABにおいて，
\[ \text{AB}=4,\ \text{OA}=5,\ \text{OB}=6,\ \angle \text{AOB}=\theta,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b} \]
とする．
(1)$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)三角形OABの面積を求めよ．
(3)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(4)$t$を実数とするとき，$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．
\[ \text{AB}=4,\ \text{OA}=5,\ \text{OB}=6,\ \angle \text{AOB}=\theta,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b} \]
とする．
(1)$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)三角形OABの面積を求めよ．
(3)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(4)$t$を実数とするとき，$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．
公立 高知工科大学 2010年 第2問座標平面上に円$C:x^2+y^2-8x+2y+7=0$と点A$(0,\ 1)$がある．円$C$の中心をB，半径を$r$とする．また点Aを通り，傾き$m$の直線を$\ell$とする．次の各問に答えよ．
(1)点Bの座標と$r$を求めよ．
(2)直線$\ell$が円$C$と共有点を持つとき，$m$の取り得る値の範囲を求めよ．
(3)点Bを通り，傾き3の直線と直線$\ell$との交点をPとする．点Pが円$C$の円周または内部に含まれるとき，$m$の取り得る値の範囲を求めよ．
(4)(3)のとき，線分APの両端を除いた部分と円$C$との共有点をQとする．AQの長さの最大値と最小値を求めよ．
(1)点Bの座標と$r$を求めよ．
(2)直線$\ell$が円$C$と共有点を持つとき，$m$の取り得る値の範囲を求めよ．
(3)点Bを通り，傾き3の直線と直線$\ell$との交点をPとする．点Pが円$C$の円周または内部に含まれるとき，$m$の取り得る値の範囲を求めよ．
(4)(3)のとき，線分APの両端を除いた部分と円$C$との共有点をQとする．AQの長さの最大値と最小値を求めよ．
公立 滋賀県立大学 2010年 第2問座標平面の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円を$C$とする．$C$上の$2$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$を原点に関して対称な位置にとる．また，点$\mathrm{Q}$を平面上の任意の点とし，$L={\mathrm{QP}_1}^2+{\mathrm{QP}_2}^2$とおく．
(1)$\mathrm{Q}$を固定したとき，$L$は$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$のとり方に依存せず一定であることを示せ．
(2)$\mathrm{Q}$が放物線$y=-x^2+5x-8$上を動くとき，$L$の最小値とそのときの$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(1)$\mathrm{Q}$を固定したとき，$L$は$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$のとり方に依存せず一定であることを示せ．
(2)$\mathrm{Q}$が放物線$y=-x^2+5x-8$上を動くとき，$L$の最小値とそのときの$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
公立 大阪府立大学 2010年 第2問平面上に4点O，A，B，Cがあり，点Oを始点とするそれぞれの位置ベクトルを$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$とし，
\[ |\overrightarrow{a}|=\sqrt{2}, |\overrightarrow{\mathrm{b}}|=\sqrt{10}, \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=2, \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=8, \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=20 \]
が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)点Cから直線ABに下ろした垂線と直線ABの交点をHとする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$を求めよ．
(3)実数$s,\ t$に対して，点Pを
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b} \]
で定める．$s,\ t$が条件
\[ (s+t-1)(s+3t-3) \leqq 0 \]
を満たしながら変化するとき，$|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|$の最小値を求めよ．
\[ |\overrightarrow{a}|=\sqrt{2}, |\overrightarrow{\mathrm{b}}|=\sqrt{10}, \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=2, \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=8, \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=20 \]
が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)点Cから直線ABに下ろした垂線と直線ABの交点をHとする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$を求めよ．
(3)実数$s,\ t$に対して，点Pを
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b} \]
で定める．$s,\ t$が条件
\[ (s+t-1)(s+3t-3) \leqq 0 \]
を満たしながら変化するとき，$|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|$の最小値を求めよ．
公立 公立はこだて未来大学 2010年 第2問$a$を定数とするとき，関数$f(x)=2^{2x}-(4+a)2^{x+1}+16a$について，以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle a=-\frac{1}{2}$のとき，$f(x)=0$をみたす$x$を求めよ．
(2)$a>-4$のとき，$f(x)$の最小値を$a$で表せ．
(1)$\displaystyle a=-\frac{1}{2}$のとき，$f(x)=0$をみたす$x$を求めよ．
(2)$a>-4$のとき，$f(x)$の最小値を$a$で表せ．
公立 会津大学 2010年 第3問以下の空欄をうめよ．
(1)2つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 2),\ \overrightarrow{b}=(1,\ 3)$について，$|2 \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|^2$は$t=[ ]$のとき最小値$[ ]$をとる．
(2)零ベクトルでない2つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$について，$|2 \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|^2$は$t=[ ]$のとき最小値$[ ]$をとる．
(1)2つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 2),\ \overrightarrow{b}=(1,\ 3)$について，$|2 \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|^2$は$t=[ ]$のとき最小値$[ ]$をとる．
(2)零ベクトルでない2つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$について，$|2 \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|^2$は$t=[ ]$のとき最小値$[ ]$をとる．