「最小値」について
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私立 早稲田大学 2010年 第3問$t$を実数とする．$2$つの放物線
$y=x^2+1 \qquad \cdots\cdots①$
$y=-(x-t)^2+t \qquad \cdots\cdots②$
の両方に接する$2$本の直線を$\ell_1,\ \ell_2$とし，$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{P}$，$\ell_1$と$①$の接点を$\mathrm{A}(\alpha,\ \alpha^2+1)$，$\ell_2$と$①$の接点を$\mathrm{B}(\beta,\ \beta^2+1)$とする．次の設問に答えよ．
(1)$\mathrm{P}$の座標を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{APB}$の面積を$S(t)$とするとき，$S(t)$を$t$の式で表せ．
(3)$S(t)$の最小値を求めよ．
$y=x^2+1 \qquad \cdots\cdots①$
$y=-(x-t)^2+t \qquad \cdots\cdots②$
の両方に接する$2$本の直線を$\ell_1,\ \ell_2$とし，$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{P}$，$\ell_1$と$①$の接点を$\mathrm{A}(\alpha,\ \alpha^2+1)$，$\ell_2$と$①$の接点を$\mathrm{B}(\beta,\ \beta^2+1)$とする．次の設問に答えよ．
(1)$\mathrm{P}$の座標を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{APB}$の面積を$S(t)$とするとき，$S(t)$を$t$の式で表せ．
(3)$S(t)$の最小値を求めよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2010年 第2問$2$次関数$f(x) = ax^2 +bx+c$について，$f(0) = f(4) = 2$，最小値が$-4$となるように，定数$a,\ b,\ c$の値を定めよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2010年 第6問式$\displaystyle \frac{7x^2+5y^2}{(x+y)^2} \ (x+y \neq 0)$の最小値と，最小値をとるときの$\displaystyle \frac{y}{x}$の値を求めよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2010年 第2問$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$について，$f(0)=f(4)=2$，最小値が$-4$となるように，定数$a,\ b,\ c$の値を定めよ．
私立 北海学園大学 2010年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta$と$\displaystyle \frac{1}{\sin \theta}-\frac{1}{\cos \theta}$の値を求めよ．
(2)$2$次関数$y=ax^2-6ax+b (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値が$12$，最小値が$4$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)$4x^2-13xy+10y^2+18x-27y+18$を因数分解せよ．
(1)$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta$と$\displaystyle \frac{1}{\sin \theta}-\frac{1}{\cos \theta}$の値を求めよ．
(2)$2$次関数$y=ax^2-6ax+b (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値が$12$，最小値が$4$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)$4x^2-13xy+10y^2+18x-27y+18$を因数分解せよ．
私立 北海学園大学 2010年 第5問曲線$y=2e^{x-1}$と曲線$C:y=2 \log ax$は点$(b,\ c)$のみで接し，接線を共有する．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とし，$b \geqq 1$とする．また，$e$は自然対数の底とする．
(1)曲線$C$と$x$軸との交点の座標を$a$の式で表せ．
(2)$t \geqq 1$のとき，$\displaystyle f(t)=e^{t-1}-\frac{1}{t}$の最小値を求めよ．さらに，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)曲線$C$，$x$軸および直線$x=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)曲線$C$と$x$軸との交点の座標を$a$の式で表せ．
(2)$t \geqq 1$のとき，$\displaystyle f(t)=e^{t-1}-\frac{1}{t}$の最小値を求めよ．さらに，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)曲線$C$，$x$軸および直線$x=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 北海学園大学 2010年 第3問関数$f(x)=\cos 2x+2a \cos x (0 \leqq x<2\pi)$について次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数とする．
(1)$f(x)$を$\cos x$と$a$の式で表せ．
(2)$f(x)=-3$をみたす$x$の値が$1$つに限るような$a$の値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)$f(x)$の最小値を$a$の式で表せ．
(1)$f(x)$を$\cos x$と$a$の式で表せ．
(2)$f(x)=-3$をみたす$x$の値が$1$つに限るような$a$の値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)$f(x)$の最小値を$a$の式で表せ．
私立 東北学院大学 2010年 第1問$2$次関数$y=x^2+ax+b$と，この関数のグラフ$C$について，次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は定数とする．
(1)$C$の頂点が$(2,\ -1)$のとき，$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ．
(2)$C$の軸が直線$x=-1$で，$C$が点$(1,\ 1)$を通るとき，この関数の最小値を求めよ．
(3)$C$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$-a$平行移動すると，$2$点$(0,\ 0)$，$(2,\ -6)$を通る放物線になるとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)この関数の$-1 \leqq x \leqq 2$における最小値が$0$，最大値が$8$であるとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(1)$C$の頂点が$(2,\ -1)$のとき，$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ．
(2)$C$の軸が直線$x=-1$で，$C$が点$(1,\ 1)$を通るとき，この関数の最小値を求めよ．
(3)$C$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$-a$平行移動すると，$2$点$(0,\ 0)$，$(2,\ -6)$を通る放物線になるとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)この関数の$-1 \leqq x \leqq 2$における最小値が$0$，最大値が$8$であるとき，$a,\ b$の値を求めよ．
私立 早稲田大学 2010年 第4問$-1 \leqq a \leqq 1$の範囲の実数$a$に対して
\[ f(a)=\int_{-1}^1 x |x-a| \, dx \]
とおく．$k$を実数とし，区間$-1 \leqq x \leqq 1$を定義域とする関数
\[ g(x)=12f(x)+kx \]
を考える．
(1)$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲で
\[ 12f(x)=[ハ]x^3-[ヒ]x \]
が成り立つ．
(2)関数$g(x)$が$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{2}$で最小値をとるとき，$k=[フ]$である．
(3)関数$g(x)$が最小値をとるような$x$の値が$2$つあるとき，$k=[ヘ]$である．このときの$g(x)$の最小値は$[ホ]$である．
\[ f(a)=\int_{-1}^1 x |x-a| \, dx \]
とおく．$k$を実数とし，区間$-1 \leqq x \leqq 1$を定義域とする関数
\[ g(x)=12f(x)+kx \]
を考える．
(1)$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲で
\[ 12f(x)=[ハ]x^3-[ヒ]x \]
が成り立つ．
(2)関数$g(x)$が$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{2}$で最小値をとるとき，$k=[フ]$である．
(3)関数$g(x)$が最小値をとるような$x$の値が$2$つあるとき，$k=[ヘ]$である．このときの$g(x)$の最小値は$[ホ]$である．
私立 自治医科大学 2010年 第15問関数$y=2 \cos^2 x+2 \sin x+a (0 \leqq x \leqq 2\pi)$（$a$は実数）の最小値が$-3$となるとき，$a^2$の値を求めよ．