原点をOとする座標平面上，長方形ABCDが図のように頂点Aは$y$軸の正の部分に，頂点Bは$x$軸の正の部分に，頂点C，Dは第1象限内におかれている．$\text{AB}=2,\ \text{BC}=1$とし$\angle \text{OAB}=t$とおく．ただし，$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)長方形ABCDの周で$y \leqq 1$にある部分の長さを$f(t)$とおく．$f(t)$を求めよ．
(2)$f(t)=3$が成り立つときの$\cos t,\ \sin t$の値を求めよ．
(3)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$f(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

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（図は省略）

$k$を定数とする．$2$次関数$\displaystyle y=2x^2+kx-\frac{k}{2} \ \cdots\cdots①$について，次の問に答えよ．

(1)グラフの頂点の座標を$k$を用いて表せ．
(2)$k$を動かすとき，頂点の軌跡を求めよ．
(3)箱の中に$1$から$12$までの数字が$1$つずつ書かれた$12$枚のカードが入っている．その中から$3$枚のカードを同時に取り出す．このとき，次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．

(i) $2$けたの数字が書かれたカードの枚数が$0$，$1$，$2$，$3$となる確率をそれぞれ求めよ．
(ii) $2$けたの数字が書かれたカードの枚数を$k$とするとき，$2$次関数$①$の最小値が$-1$以下になる確率を求めよ．

実数$x,\ y$について，関係式$x^2+xy+y^2 = 3$が成り立つとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$x+y=s,\ xy = t$とおくとき，$t$を$s$の式で表せ．
(2)$s$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$x^2+y^2+x+y=k$とおくとき，$k$を$s$の式で表せ．
(4)$k$のとり得る値の最大値$M$と最小値$m$を求めよ．

関数$f(x)=x^3-3x^2+3ax+b \ (a,\ b \text{は定数})$について，次の問に答えよ．

(1)$f(x)$が極値を持つような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値と極小値の差が32となるとき，$a$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた$a$の値に対し，$f(x)$の区間$-4 \leqq x \leqq 4$における最大値が5であるとする．このとき，$b$の値とこの区間での$f(x)$の最小値$m$を求めよ．

実数$x$に対して，$t=e^x+e^{-x}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)$t$のとり得る値の最小値$m$を求めよ．
(2)$e^{2x}+e^{-2x}$を$t$の式で表せ．
(3)$t=e^x+e^{-x}$とおいて置換積分することにより，定積分$\displaystyle I=\int_{\log 2}^{\log 4}\frac{2e^x-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1} \, dx$を求めよ．
(4)定数$a$に対して，$\displaystyle \int_{a}^{2a}\frac{2e^x-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1} \, dx=\log \frac{3}{2}$となるとき，$e^a+e^{-a}$の値を求めよ．（$a$の値は求めなくてよい．）

座標平面上を運動する動点P$(x,\ y)$が時刻$t$の関数として
\[ x=t \cos \alpha,\quad y=t \sin \alpha-t^2 \]
で与えられているとする．ただし，$\alpha$は$0 \leqq \alpha < 2\pi$を満たす定数とする．直線$y=x$を$\ell$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)時刻$t=0$における動点Pの速度$\overrightarrow{v}$とその大きさ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ．
(2)Pが直線$\ell$上の点を通る時刻$t$をすべて求めよ．
(3)正の時刻においてPが$\ell$上の点を通るための$\alpha$の範囲を求めよ．

以下では，$\alpha$は(3)で求めた範囲にあるとする．

\mon[(4)] 正の時刻においてPが通る$\ell$上の点の$x$座標を求めよ．
\mon[(5)] (4)で求めた$\ell$上の点の$x$座標を$f(\alpha)$とし，$\alpha$を(3)で求めた範囲で変化させる．$f(\alpha)$の最大値，最小値を求め，それらを与える$\alpha$の値を求めよ．

関数$f(x)$を，$x \leqq 1$のとき$f(x)=x^2$と定め，$x>1$のとき$f(x)=2x-1$と定める．さらに，実数$t$に対して
\[ g(t) = \int_t^{t+3} f(x) \, dx \]
と定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)$g(0)$を求めよ．
(2)$g(t)$を$t$の式で表せ．
(3)関数$g(t)$の$-3 \leqq t \leqq 3$における最大値，最小値を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{AE}$と対角線$\mathrm{BD}$との交点を$\mathrm{F}$，直線$\mathrm{AE}$と直線$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$を$\overrightarrow{a}$で，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{b}$で表すとき，$3$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AE}},\ \overrightarrow{\mathrm{AF}},\ \overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)関数$g(x)$を次式で定める．
\[ g(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \{ x \cos t+(1-x) \sin t \}^2 \, dt \]
このとき，$g(x)$の最小値を求めよ．

四面体OABCにおいて，$\text{OA}=\text{OB}=\text{OC}=3$，$\text{AB}=\text{BC}=\text{CA}=\sqrt{6}$である．また，点Pは辺ABを$x:1-x$に内分し，点Qは辺OCを$y:1-y$に内分する($0<x<1$，$0<y<1$)．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ x,\ y$で表せ．
(3)2点P，Qの間の距離PQの最小値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$4 \log_4 x \leqq \log_2 (4-x) +1$を解け．
(2)(1)で求めた$x$の範囲において，関数$y=9^x-4 \cdot 3^x+10$の最大値，最小値とそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．