「最小値」について
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国立 佐賀大学 2010年 第1問空間に定点A$(-4,\ 0,\ 4\sqrt{3})$と動点P$(-t,\ t-2,\ 2\sqrt{3})$，Q$(t,\ t^2+t-3,\ 0)$がある．原点をOとするとき，次の問いに答えよ．
(1)$t=0$のとき，$\angle \text{POQ}$の大きさを求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．
(3)4点O，A，P，Qが同一平面上にあるときの$t$の値をすべて求めよ．
(1)$t=0$のとき，$\angle \text{POQ}$の大きさを求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．
(3)4点O，A，P，Qが同一平面上にあるときの$t$の値をすべて求めよ．
国立 鳥取大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)直線$2x+y=16 \cdots \maru{1},\ 2x+3y=24 \cdots \maru{2}$の$x$切片と$y$切片の座標をそれぞれ求めよ．
(2)(1)で定めた直線\maru{1}と\maru{2}との交点の座標を求めよ．
(3)4つの不等式$2x+y \leqq 16,\ 2x+3y \leqq 24,\ x \geqq 0,\ y \geqq 0$の表す領域を$F$とする．$F$の面積を求めよ．
(4)点$(x,\ y)$が(3)で定めた領域$F$を動くとき，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．
(1)直線$2x+y=16 \cdots \maru{1},\ 2x+3y=24 \cdots \maru{2}$の$x$切片と$y$切片の座標をそれぞれ求めよ．
(2)(1)で定めた直線\maru{1}と\maru{2}との交点の座標を求めよ．
(3)4つの不等式$2x+y \leqq 16,\ 2x+3y \leqq 24,\ x \geqq 0,\ y \geqq 0$の表す領域を$F$とする．$F$の面積を求めよ．
(4)点$(x,\ y)$が(3)で定めた領域$F$を動くとき，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．
国立 佐賀大学 2010年 第4問$p$を$0<p<1$を満たす定数とする．関数$y=x^3-(3p+2)x^2+8px$の区間$0 \leqq x \leqq 1$における最大値と最小値を求めよ．
国立 京都工芸繊維大学 2010年 第4問次の問いに答えよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{1+e^x} \, dx$を求めよ．
(2)実数$a$に対して定積分$\displaystyle \int_0^2 \left| \frac{1}{1+e^x}-\frac{1}{1+e^a} \right| \, dx$の値を$S(a)$とおく．$a$が$0 \leqq a \leqq 2$の範囲を動くとき，$S(a)$の最小値を求めよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{1+e^x} \, dx$を求めよ．
(2)実数$a$に対して定積分$\displaystyle \int_0^2 \left| \frac{1}{1+e^x}-\frac{1}{1+e^a} \right| \, dx$の値を$S(a)$とおく．$a$が$0 \leqq a \leqq 2$の範囲を動くとき，$S(a)$の最小値を求めよ．
国立 愛知教育大学 2010年 第2問$x$が$\displaystyle 1 \leqq x \leqq \frac{7}{2}$の範囲を動くとき，以下の問いに答えよ．
\img{409_2570_2010_1}{10}
(1)図のような，底面の半径が$\sqrt{x}$，高さが$4-x$の直円錐の側面積$S$ \\
を求めよ．
(2)$\displaystyle \left( \frac{S}{\pi} \right)^2$を$f(x)$とするとき，$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$の最大値， \\
最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
\img{409_2570_2010_1}{10}
(1)図のような，底面の半径が$\sqrt{x}$，高さが$4-x$の直円錐の側面積$S$ \\
を求めよ．
(2)$\displaystyle \left( \frac{S}{\pi} \right)^2$を$f(x)$とするとき，$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$の最大値， \\
最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
国立 山口大学 2010年 第1問$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=5,\ \mathrm{OB}=3,\ \mathrm{AB}=6$とし，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\cos \theta$の値を求めなさい．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めなさい．
(3)$x$が実数全体を動くとき，$|(2+x)\overrightarrow{a}+(1-x)\overrightarrow{b}|$の最小値を求めなさい．また，そのときの$x$の値も求めなさい．
(1)$\cos \theta$の値を求めなさい．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めなさい．
(3)$x$が実数全体を動くとき，$|(2+x)\overrightarrow{a}+(1-x)\overrightarrow{b}|$の最小値を求めなさい．また，そのときの$x$の値も求めなさい．
国立 山口大学 2010年 第2問$f(x)=\cos^3 x+\sin^3 x+\cos x \sin x -\cos x-\sin x$とし，$t=\cos x+\sin x$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)$x$が実数全体を動くとき，$t$の最大値と最小値を求めなさい．また，そのときの$x$の値も求めなさい．
(2)$\cos x \sin x$を$t$の整式として表しなさい．
(3)$f(x)$を$t$の整式として表しなさい．
(4)$x$が実数全体を動くとき，$f(x)$の最大値と最小値を求めなさい．ただし，そのときの$x$の値を求める必要はありません．
(1)$x$が実数全体を動くとき，$t$の最大値と最小値を求めなさい．また，そのときの$x$の値も求めなさい．
(2)$\cos x \sin x$を$t$の整式として表しなさい．
(3)$f(x)$を$t$の整式として表しなさい．
(4)$x$が実数全体を動くとき，$f(x)$の最大値と最小値を求めなさい．ただし，そのときの$x$の値を求める必要はありません．
国立 お茶の水女子大学 2010年 第3問実数上の関数$f(x),\ g(x)$を次のように定義する．
\[ f(x)=\frac{a^x-a^{-x}}{2},\quad g(x)=\frac{a^x+a^{-x}}{2} \]
ここで，$a$は$a>1$をみたす実数である．
(1)関数$y=f(x)$のグラフと関数$y=g(x)$のグラフの概形を描け．
(2)この2つのグラフと2つの直線$x=0,\ x=3$とで囲まれる領域の面積を求めよ．
(3)(2)で求めた面積を$S(a)$とするとき，$2 \leqq a \leqq 5$での$S(a)$の最大値と最小値とを求めよ．
\[ f(x)=\frac{a^x-a^{-x}}{2},\quad g(x)=\frac{a^x+a^{-x}}{2} \]
ここで，$a$は$a>1$をみたす実数である．
(1)関数$y=f(x)$のグラフと関数$y=g(x)$のグラフの概形を描け．
(2)この2つのグラフと2つの直線$x=0,\ x=3$とで囲まれる領域の面積を求めよ．
(3)(2)で求めた面積を$S(a)$とするとき，$2 \leqq a \leqq 5$での$S(a)$の最大値と最小値とを求めよ．
国立 東京学芸大学 2010年 第2問下の問いに答えよ．
(1)座標平面上の点P$(s,\ t) \ (t>2)$から，円$x^2+(y-1)^2=1$に引いた2本の接線と$x$軸の交点をそれぞれQ$(\alpha,\ 0)$，R$(\beta,\ 0) \ (\alpha>\beta)$とする．点Pの$y$座標$t$を固定して$x$座標$s$を変化させるとき，$\alpha-\beta$の最小値を求めよ．
(2)半径1の円に外接する三角形の3辺の長さの和の最小値を求めよ．
(1)座標平面上の点P$(s,\ t) \ (t>2)$から，円$x^2+(y-1)^2=1$に引いた2本の接線と$x$軸の交点をそれぞれQ$(\alpha,\ 0)$，R$(\beta,\ 0) \ (\alpha>\beta)$とする．点Pの$y$座標$t$を固定して$x$座標$s$を変化させるとき，$\alpha-\beta$の最小値を求めよ．
(2)半径1の円に外接する三角形の3辺の長さの和の最小値を求めよ．
国立 群馬大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$n$を自然数とし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
\mon[(ア)] $\displaystyle 10^n < \left( \frac{5}{2} \right)^m$を満たす自然数$m$に対し，$5n<2m$を証明せよ．
\mon[(イ)] $\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^n<\frac{1}{5000}< \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n-1}$を満たす$n$を求めよ．
(2)実数$x,\ y$が連立不等式$4x-3y \geqq 1,\ -2x+6y \geqq 1$を満たすとき，$\log_8(4^x+8^y)$の最小値を求めよ．
(1)$n$を自然数とし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
\mon[(ア)] $\displaystyle 10^n < \left( \frac{5}{2} \right)^m$を満たす自然数$m$に対し，$5n<2m$を証明せよ．
\mon[(イ)] $\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^n<\frac{1}{5000}< \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n-1}$を満たす$n$を求めよ．
(2)実数$x,\ y$が連立不等式$4x-3y \geqq 1,\ -2x+6y \geqq 1$を満たすとき，$\log_8(4^x+8^y)$の最小値を求めよ．