「最小値」について
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国立 千葉大学 2010年 第4問$a$を実数とする．関数$\displaystyle f(x) = x^2-a|x-2|+\frac{a^2}{4}$の最小値を$a$を用いて表せ．
国立 島根大学 2010年 第3問$a \geqq 0$とする．円$C_1:x^2+y^2=1$と円$C_2:x^2+y^2-10x+20-a=0$について，次の問いに答えよ．
(1)$C_1$上の点Pと$C_2$上の点Qとの距離PQの最小値を$a$を用いて表せ．
(2)$a=11$のとき，2つの円$C_1$と$C_2$の共通接線をすべて求めよ．
(1)$C_1$上の点Pと$C_2$上の点Qとの距離PQの最小値を$a$を用いて表せ．
(2)$a=11$のとき，2つの円$C_1$と$C_2$の共通接線をすべて求めよ．
国立 琉球大学 2010年 第2問3点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$(3,\ 0,\ 0)$，B$(1,\ 2,\ 1)$がある．
(1)$z$軸上の点C$(0,\ 0,\ m)$から直線AB上の点Hにおろした垂線をCHとする．このとき，点Hが線分AB上にあるような$m$の値の範囲を求めよ．
(2)点Hが線分AB上にあるとき，垂線CHの長さの最大値，最小値とそのときのHの座標を求めよ．
(3)三角形OABに外接する円の中心Pの座標とその半径$r$を求めよ．
(1)$z$軸上の点C$(0,\ 0,\ m)$から直線AB上の点Hにおろした垂線をCHとする．このとき，点Hが線分AB上にあるような$m$の値の範囲を求めよ．
(2)点Hが線分AB上にあるとき，垂線CHの長さの最大値，最小値とそのときのHの座標を求めよ．
(3)三角形OABに外接する円の中心Pの座標とその半径$r$を求めよ．
国立 香川大学 2010年 第5問$0 \leqq x \leqq 2\pi$において，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{2a(\sin x+\cos x)}{2+2\sin x \cos x - a(\sin x+ \cos x)} \]
と定める．ここで，$a$は$0<a<2$をみたす定数である．このとき，次の問に答えよ．
(1)$t=\sin x+ \cos x$とおくとき，関数$f(x)$を$t$を用いて表せ．
(2)(1)で求めた関数を$g(t)$とするとき，関数$g(t)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)関数$f(x)$が最大値，最小値をとるときのそれぞれの$x$の値を求めよ．
\[ f(x)=\frac{2a(\sin x+\cos x)}{2+2\sin x \cos x - a(\sin x+ \cos x)} \]
と定める．ここで，$a$は$0<a<2$をみたす定数である．このとき，次の問に答えよ．
(1)$t=\sin x+ \cos x$とおくとき，関数$f(x)$を$t$を用いて表せ．
(2)(1)で求めた関数を$g(t)$とするとき，関数$g(t)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)関数$f(x)$が最大値，最小値をとるときのそれぞれの$x$の値を求めよ．
国立 山口大学 2010年 第1問$t$を実数とし，$f(x)=x^2+2tx+1$とおく．$0 \leqq x \leqq 1$における関数$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ$g(t),\ h(t)$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)$g(t),\ h(t)$をそれぞれ$t$の関数として表しなさい．
(2)$\displaystyle \int_{-2}^2 \{g(t)-h(t)\} \, dt$の値を求めなさい．
(1)$g(t),\ h(t)$をそれぞれ$t$の関数として表しなさい．
(2)$\displaystyle \int_{-2}^2 \{g(t)-h(t)\} \, dt$の値を求めなさい．
国立 岐阜大学 2010年 第5問$a$を正の実数とし，$b$を負の実数とする．$xy$平面上の直線$C_1:y=x$と放物線$C_2:y=ax^2+bx$を考える．$C_1$と$C_2$は2点で交わっており，$C_1$と$C_2$の囲む図形の面積を$S$とする．以下の問に答えよ．
(1)$a$を$S$と$b$を用いて表せ．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の座標を$(p_1,\ q_1) ,\ (p_2,\ q_2) \ (\text{ここで}p_1<p_2)$とし，$L=p_2-p_1$とおく．$p_1 \leqq x \leqq p_2$における$ax^2+bx$の最小値の絶対値を$T$とする．$S$の値が一定になるように$a$と$b$を変化させたとき，$\displaystyle \frac{T-L}{L^3}$の最小値を$S$を用いて表せ．
(1)$a$を$S$と$b$を用いて表せ．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の座標を$(p_1,\ q_1) ,\ (p_2,\ q_2) \ (\text{ここで}p_1<p_2)$とし，$L=p_2-p_1$とおく．$p_1 \leqq x \leqq p_2$における$ax^2+bx$の最小値の絶対値を$T$とする．$S$の値が一定になるように$a$と$b$を変化させたとき，$\displaystyle \frac{T-L}{L^3}$の最小値を$S$を用いて表せ．
国立 徳島大学 2010年 第3問$a>0$とする．曲線$y=\log x$と直線$y=x$および2直線$x=a,\ x=a+1$で囲まれた部分の面積を$S$とする．
(1)$x>0$のとき，$x > \log x$であることを示せ．
(2)$S$を$a$で表せ．
(3)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$S$の最小値を求めよ．
(1)$x>0$のとき，$x > \log x$であることを示せ．
(2)$S$を$a$で表せ．
(3)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$S$の最小値を求めよ．
国立 徳島大学 2010年 第1問$a>0$とする．曲線$y=\log x$と直線$y=x$および2直線$x=a,\ x=a+1$で囲まれた部分の面積を$S$とする．
(1)$x>0$のとき，$x > \log x$であることを示せ．
(2)$S$を$a$で表せ．
(3)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$S$の最小値を求めよ．
(1)$x>0$のとき，$x > \log x$であることを示せ．
(2)$S$を$a$で表せ．
(3)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$S$の最小値を求めよ．
国立 宮崎大学 2010年 第5問座標平面上に2つの円
\begin{eqnarray}
& & C_1:(x+1)^2+(y-1)^2=1 \nonumber \\
& & C_2:(x-1)^2+(y-1)^2=1 \nonumber
\end{eqnarray}
がある．不等式$y>2$が表す領域$D$内に点P$(a,\ b)$をとる．点Pから円$C_1,\ C_2$にひいた接線と$x$軸との交点をそれぞれA，Bとする．ただし，下図のように$\triangle$PABは円$C_1,\ C_2$をともに含むものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$b$を定数とするとき，辺ABの長さが最小となるのは$a=0$のときであることを示せ．
(2)点Pが領域$D$内を動くとき，$\triangle$PABの面積の最小値を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
\begin{eqnarray}
& & C_1:(x+1)^2+(y-1)^2=1 \nonumber \\
& & C_2:(x-1)^2+(y-1)^2=1 \nonumber
\end{eqnarray}
がある．不等式$y>2$が表す領域$D$内に点P$(a,\ b)$をとる．点Pから円$C_1,\ C_2$にひいた接線と$x$軸との交点をそれぞれA，Bとする．ただし，下図のように$\triangle$PABは円$C_1,\ C_2$をともに含むものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$b$を定数とするとき，辺ABの長さが最小となるのは$a=0$のときであることを示せ．
(2)点Pが領域$D$内を動くとき，$\triangle$PABの面積の最小値を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
国立 熊本大学 2010年 第1問関数$y=\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x+2\sin x-2\sqrt{3}\cos x$について，以下の問いに答えよ．
(1)$\sin x-\sqrt{3}\cos x=t$とおいて，$y$を$t$の式で表せ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{2}{3}\pi$のとき，$y$の最大値および最小値を求めよ．
(1)$\sin x-\sqrt{3}\cos x=t$とおいて，$y$を$t$の式で表せ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{2}{3}\pi$のとき，$y$の最大値および最小値を求めよ．