「最小値」について
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国立 神戸大学 2010年 第1問実数$a,\ b$に対して，$f(x) = a(x-b)^2$とおく．ただし，$a$は正とする．放物線$y = f(x)$が直線$y = -4x+4$に接している．このとき，以下の問に答えよ．
(1)$b$を$a$で表せ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2$において，$f(x)$の最大値$M(a)$と，最小値$m(a)$を求めよ．
(3)$a$が正の実数を動くとき，$M(a)$の最小値を求めよ．
(1)$b$を$a$で表せ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2$において，$f(x)$の最大値$M(a)$と，最小値$m(a)$を求めよ．
(3)$a$が正の実数を動くとき，$M(a)$の最小値を求めよ．
国立 静岡大学 2010年 第4問連立不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0 \]
の表す領域を$D$，原点を通る傾き$\displaystyle \tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$の直線を$\ell$とする．$D$を$\ell$のまわりに1回転させてできる回転体の体積を$V$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < 0$のとき，$V$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$のとき，$V$の最大値，最小値を求めよ．
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0 \]
の表す領域を$D$，原点を通る傾き$\displaystyle \tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$の直線を$\ell$とする．$D$を$\ell$のまわりに1回転させてできる回転体の体積を$V$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < 0$のとき，$V$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$のとき，$V$の最大値，最小値を求めよ．
国立 静岡大学 2010年 第4問連立不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0 \]
の表す領域を$D$，原点を通る傾き$\displaystyle \tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$の直線を$\ell$とする．$D$を$\ell$のまわりに1回転させてできる回転体の体積を$V$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < 0$のとき，$V$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$のとき，$V$の最大値，最小値を求めよ．
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0 \]
の表す領域を$D$，原点を通る傾き$\displaystyle \tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$の直線を$\ell$とする．$D$を$\ell$のまわりに1回転させてできる回転体の体積を$V$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < 0$のとき，$V$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$のとき，$V$の最大値，最小値を求めよ．
国立 広島大学 2010年 第2問座標平面上に点O$(0,\ 0)$と点P$(4,\ 3)$をとる．不等式$(x-5)^2 +(y-10)^2 \leqq 16$の表す領域を$D$とする．次の問いに答えよ．
(1)$k$は定数とする．直線$\displaystyle y = -\frac{4}{3}x+k$上の点をQとするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$k$を用いて表せ．
(2)点Rが$D$全体を動くとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}}$の最大値および最小値を求めよ．
(1)$k$は定数とする．直線$\displaystyle y = -\frac{4}{3}x+k$上の点をQとするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$k$を用いて表せ．
(2)点Rが$D$全体を動くとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}}$の最大値および最小値を求めよ．
国立 弘前大学 2010年 第7問座標平面において，原点を中心とする半径$3$の円を$C$，点$(0,\ -1)$を中心とする半径$8$の円を$C^{\, \prime}$とする．$C$と$C^{\, \prime}$にはさまれた領域を$D$とする．
(1)$0 \leqq k \leqq 3$とする．直線$\ell$と原点との距離が一定値$k$であるように$\ell$が動くとき，$\ell$と$D$の共通部分の長さの最小値を求めよ．
(2)直線$\ell$が$C$と共有点をもつように動くとき，$\ell$と$D$の共通部分の長さの最小値を求めよ．
(1)$0 \leqq k \leqq 3$とする．直線$\ell$と原点との距離が一定値$k$であるように$\ell$が動くとき，$\ell$と$D$の共通部分の長さの最小値を求めよ．
(2)直線$\ell$が$C$と共有点をもつように動くとき，$\ell$と$D$の共通部分の長さの最小値を求めよ．
国立 金沢大学 2010年 第2問座標空間において，中心がA$(0,\ 0,\ a) \ (a>0)$で半径が$r$の球面
\[ x^2+y^2+(z-a)^2 = r^2 \]
は，点B$(\sqrt{5},\ \sqrt{5},\ a)$と点$(1,\ 0,\ -1)$を通るものとする．次の問いに答えよ．
(1)$r$と$a$の値を求めよ．
(2)点P$(\cos t,\ \sin t,\ -1)$について，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を求めよ．さらに内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABPの面積$S$を$t$を用いて表せ．また，$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，$S$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．
\[ x^2+y^2+(z-a)^2 = r^2 \]
は，点B$(\sqrt{5},\ \sqrt{5},\ a)$と点$(1,\ 0,\ -1)$を通るものとする．次の問いに答えよ．
(1)$r$と$a$の値を求めよ．
(2)点P$(\cos t,\ \sin t,\ -1)$について，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を求めよ．さらに内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABPの面積$S$を$t$を用いて表せ．また，$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，$S$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．
国立 名古屋大学 2010年 第1問座標空間に8点
\begin{eqnarray}
& & \text{O}(0,\ 0,\ 0),\ \text{P}(1,\ 0,\ 0),\ \text{Q}(1,\ 1,\ 0),\ \text{R}(0,\ 1,\ 0), \nonumber \\
& & \text{A}(0,\ 0,\ 1),\ \text{B}(1,\ 0,\ 1),\ \text{C}(1,\ 1,\ 1),\ \text{D}(0,\ 1,\ 1) \nonumber
\end{eqnarray}
をとり，線分BCの中点をMとする．線分RD上の点をN$(0,\ 1,\ t)$とし，3点 O，M，Nを通る平面と線分PDおよび線分PBとの交点をそれぞれK，Lとする．
(1)Kの座標を$t$で表せ．
(2)四面体OKLPの体積を$V(t)$とする．Nが線分RD上をRからDまで動くとき，$V(t)$の最大値と最小値およびそれらを与える$t$の値をそれぞれ求めよ．
\begin{eqnarray}
& & \text{O}(0,\ 0,\ 0),\ \text{P}(1,\ 0,\ 0),\ \text{Q}(1,\ 1,\ 0),\ \text{R}(0,\ 1,\ 0), \nonumber \\
& & \text{A}(0,\ 0,\ 1),\ \text{B}(1,\ 0,\ 1),\ \text{C}(1,\ 1,\ 1),\ \text{D}(0,\ 1,\ 1) \nonumber
\end{eqnarray}
をとり，線分BCの中点をMとする．線分RD上の点をN$(0,\ 1,\ t)$とし，3点 O，M，Nを通る平面と線分PDおよび線分PBとの交点をそれぞれK，Lとする．
(1)Kの座標を$t$で表せ．
(2)四面体OKLPの体積を$V(t)$とする．Nが線分RD上をRからDまで動くとき，$V(t)$の最大値と最小値およびそれらを与える$t$の値をそれぞれ求めよ．
国立 横浜国立大学 2010年 第1問実数$a$に対し，関数
\[ f(x) = \cos 2x+4a \cos x+2a+5 \]
を考える．$f(x)$の最小値を$m(a)$とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x) = 0$が解をもたないような$a$の範囲を求めよ．
(2)(1)で求めた範囲の$a$について，$m(a)$を求めよ．
(3)$a$が (1)で求めた範囲を動くとき，$m(a)$の最大値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．
(4)(3)で求めた$a$に対し，$f(x) = m(a)$となる$x$の値を求めよ．
\[ f(x) = \cos 2x+4a \cos x+2a+5 \]
を考える．$f(x)$の最小値を$m(a)$とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x) = 0$が解をもたないような$a$の範囲を求めよ．
(2)(1)で求めた範囲の$a$について，$m(a)$を求めよ．
(3)$a$が (1)で求めた範囲を動くとき，$m(a)$の最大値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．
(4)(3)で求めた$a$に対し，$f(x) = m(a)$となる$x$の値を求めよ．
国立 信州大学 2010年 第3問関数$y = 2 \sin 3x+ \cos 2x-2 \sin x+a$の最小値の絶対値が，最大値と一致するように，定数$a$の値を定めよ．
国立 筑波大学 2010年 第1問$\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}ax^2$とおく．ただし，$a > 0$とする．
(1)$f(-1) \leqq f(3)$となる$a$の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$の極小値が$f(-1)$以下となる$a$の範囲を求めよ．
(3)$-1 \leqq x \leqq 3$における$f(x)$の最小値を$a$を用いて表せ．
(1)$f(-1) \leqq f(3)$となる$a$の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$の極小値が$f(-1)$以下となる$a$の範囲を求めよ．
(3)$-1 \leqq x \leqq 3$における$f(x)$の最小値を$a$を用いて表せ．