関数$y=|x^2-6x+8| -2 \ (3 \leqq x \leqq 6)$について，次の問いに答えなさい．

(1)この関数のグラフを描きなさい．
(2)この関数の最大値，最小値と，そのときの$x$の値を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)3つのサイコロを同時にふるとき，出る目の最大値と最小値を考える．

\mon[(i)] 最大値が3かつ最小値が2となる確率を求めよ．
\mon[(ii)] 最大値と最小値の差が2以上となる確率を求めよ．

(2)$a,\ b,\ c$は正の数とする．$(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)>0$であるための必要十分条件は，$b+c>a$かつ$c+a>b$かつ$a+b>c$であることを証明せよ．

$xy$平面上に2点
\[ \text{A}(3\cos t,\ 3\sin t), \text{B}(-\sin 3t,\ \cos 3t) \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
がある．次の問いに答えよ．

(1)原点をOとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{6}$になる$t$の値を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$の最大値と最小値を求めよ．
(3)三角形OABの面積の最大値を求めよ．

$xy$平面上において，媒介変数$t \ (0 \leqq t \leqq 2\pi)$によって$x=2(1+\cos t)\cos t,\ y=2(1+\cos t)\sin t$と表される下図の曲線について次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$x$の最大値，最小値を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{dx}{dt}$を求めよ．
(3)この曲線で囲まれる図形を$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

$x$軸とのなす角が$\displaystyle 2\theta \ \left(0<\theta<\frac{\pi}{4} \right)$で原点Oを通る直線$\ell$と，$x$軸上の定点A$(a,\ 0) \ (a>0)$と$y$軸上の定点B$(0,\ b) \ (b>0)$がある．円$C_1$，円$C_2$は$\ell$と接し，かつ$C_1$は$x$軸とAで接し，$C_2$は$y$軸とBで接するものとする．$C_1$，$C_2$の中心をそれぞれP$_1$，P$_2$とする．ただし，P$_1$，P$_2$は第1象限の点である．

(1)$\triangle$OP$_1$P$_2$の面積は$\displaystyle S=\frac{ab}{\sin 2\theta + \cos 2\theta+1}$であることを示せ．
(2)$\theta$を変数としたとき，$S$の最小値を求めよ．

$2$次関数$f(x)=x^2-2x+2$について，以下の問いに答えよ．

(1)$t$を実数とする．$t-1 \leqq x \leqq t$の範囲において，$f(x)$の最大値を$t$の関数の形で求めよ．
(2)$(1)$で求めた$t$の関数を$p(t)$とおく．$t$がすべての実数値をとって変化するとき，座標平面上の点$(t,\ p(t))$の軌跡を描け．
(3)$t$を実数とする．$t-1 \leqq x \leqq t$の範囲において，$f(x)$の最小値を$t$の関数の形で求めよ．
(4)$(3)$で求めた$t$の関数を$q(t)$とおく．$t$がすべての実数値をとって変化するとき，座標平面上の点$(t,\ q(t))$の軌跡を描け．

座標平面において原点を中心とする半径$1$の円を$C_1$とし，点$(1,\ 0)$を中心とする半径$3$の円を$C_2$とする．動点$\mathrm{P}$は$C_1$上を反時計回りに$1$秒間に$2$回転の速さで等速円運動をし，動点$\mathrm{Q}$は$C_2$上を反時計回りに$1$秒間に$1$回転の速さで等速円運動をしている．時刻$t=0$のとき，$\mathrm{P}$は$(0,\ 1)$にあり，$\mathrm{Q}$は$(4,\ 0)$にあるものとする．$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$間の距離の$2$乗の最大値と最小値，およびそれらをとる$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

$a,\ b$を実数とする．

(1)定積分
\[ I(a,\ b)=\int_{-\pi}^\pi (1+a \sin x+bx)^2 \, dx \]
を求めよ．
(2)$a,\ b$が実数全体を動くとき，$(1)$の定積分$I(a,\ b)$を最小にするような実数の組$(a,\ b)$がただ一組存在することを示し，そのような$(a,\ b)$及び$I(a,\ b)$の最小値を求めよ．

座標平面上の点P$(x,\ y)$が$4x+y \leqq 9,\ x+2y \geqq 4,\ 2x-3y \geqq -6$の範囲を動くとき，$2x+y,\ x^2+y^2$のそれぞれの最大値と最小値を求めよ．

$0 < \theta < \displaystyle \frac{\pi}{2}$とする．2つの曲線
\[ C_1:x^2+3y^2=3, \quad C_2:\frac{x^2}{\cos^2 \theta} - \frac{y^2}{\sin^2 \theta} =2 \]
の交点のうち，$x$座標と$y$座標がともに正であるものをPとする．Pにおける$C_1,\ C_2$の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とし，$y$軸と$\ell_1,\ \ell_2$の交点をそれぞれQ，Rとする．$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，線分QRの長さの最小値を求めよ．