以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めて記入せよ．

(1)$\displaystyle S=\sum_{n=1}^{18} (-1)^n \log_{10}(n+1)(n+2)$の値を計算すると$S=[　]$である．
(2)$a>0,\ b>0,\ a+b=1$のとき，$\displaystyle \left( 2+\frac{1}{a} \right) \left( 2+\frac{1}{b} \right)$の最小値は$[　]$である．
(3)$2$次方程式$x^2+ax+a^2-4=0$が正の解と負の解を$1$つずつ持つときの定数$a$の値の範囲は，$[　]<a<[　]$である．
(4)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=2a_n+2n-5$で与えられている．このとき，$a_1=[　]$である．また，$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表すと$a_{n+1}=[　]$である．

座標空間において，原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$をとる．また，$xy$平面上にあり，中心が原点，半径が$1$の円を$C$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$C$の$y \geqq 0$の部分にある点$\mathrm{P}$について$\angle \mathrm{AOP}=t (0 \leqq t \leqq \pi)$とする．このとき，点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を満たす点とし，点$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 1,\ 1)$をとる．このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$を求めよ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2=m-n \sin (t+\alpha)$となるような定数$\displaystyle m,\ n,\ \alpha \left( \text{ただし，} 0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{PBQ}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$の最大値と最小値，およびそれらのときの$t$の値を求めよ．
(4)$\cos \theta$が上で求めた最小値をとるとき，三角形$\mathrm{PBQ}$の面積を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$x>0$のとき，関数$\displaystyle f(x)=x^2+x+\frac{2}{x}+\frac{1}{2x^2}$の最小値を求めよ．
(2)$1$から$10$までの番号が書かれた$10$枚のカードから同時に$3$枚を取り出したとき，カードに書かれた$3$つの数字の積が$3$の倍数になる確率を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$で$\angle \mathrm{A}={75}^\circ$，$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}-1$のとき，$\angle \mathrm{C}$，$\mathrm{AC}$を求めよ．

関数$f(x)=4 \sin 3x+9 \cos 2x$について次の問いに答えよ．

(1)$t=\sin x$として，$f(x)$を$t$の関数で表せ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

実数$a$について，次の定積分を考える．
\[ I(a)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin x-ax)^2 \, dx \]

(1)不定積分$\int x \sin x \, dx$を求めよ．
(2)$I(a)$を求めよ．
(3)$a$が$a \geqq 0$の範囲を動くとき，$I(a)$の最小値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-6x-\frac{6}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}$の定義域は$x>0$とする．
\[ x=\frac{[オ]\text{±}\sqrt{[カ]}}{[キ]} \text{のとき，関数} f(x) \text{は最小値}[ク]\text{をとる．} \]
ただし，$[キ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

$a>0$，$b \geqq 0$のとき，曲線$y=-a \cos \pi x+a+b (0 \leqq x \leqq 1)$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とすると，
\[ V=\frac{\pi}{2}([ノ]a^2+[ハ]ab+[ヒ]b^2) \]
となる．また，ある定数$c$に対し$2a+b=c$が成り立つとすると，$\displaystyle a=\frac{c}{[フ]}$のとき，$V$は最小値$\displaystyle \frac{[ヘ]}{8}\pi c^2$をとる．

$f(\theta)=-\sin^2 \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta+\cos^2 \theta (0 \leqq \theta<2\pi)$の最大値，最小値と，そのときの$\theta$の値を求めなさい．

$x$の$2$次関数
\[ y=x^2-2mx+2x+2m^2-5m-9 \cdots\cdots (\text{ア}) \]
について，次の問題に答えよ．

(1)$( \text{ア})$の最小値とそのときの$x$の値を$m$の式で求めよ．
(2)$( \text{ア})$のグラフで，頂点が$y$軸より左，$x$軸より下にあるための$m$の条件を示せ．
(3)$( \text{ア})$のグラフで，頂点が$y$軸より右，$x$軸より下にあるための$m$の条件を示せ．
(4)$(3)$のとき，かつ，$m$が奇数のときの$( \text{ア})$のグラフをかけ．

関数$y=8^x-3 \cdot 2^x$について，以下の問いに答えなさい．

(1)$y$の値が$0$となる$x$の値を求めなさい．
(2)$y$の最小値と，$y$の最小値を与える$x$の値を求めなさい．