以下の問に答えよ．

(1)$2$つの異なる正の数の積が$9$であり，かつ，それらのうち大きい方の$2$倍と小さい方の和が$12$であるという．これらの異なる正の数のうち，大きい方を$x$，小さい方を$y$とするとき，以下の問に答えよ．

(i) $x,\ y$に関する連立方程式を求めよ．
(ii) $x$に関する$2$次方程式を求めよ．
(iii) $x,\ y$の値を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] $x^3+y^3$の値を求めよ．

(2)$f(x)=x^2-2ax+4a+5$とする．ただし，$a$は定数とする．

(i) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値を，次の$a$の各範囲においてそれぞれ求めよ．
$① a \leqq -3 \qquad ② -3<a \leqq 2 \qquad ③ a>2$
(ii) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値が$4$であるとき，$a$の値を求めよ．
(iii) $2$次方程式$f(x)=0$が$-3$以上，かつ，$2$以下である異なる$2$つの実数解を持つとき，$a$の値の範囲を求めよ．

関数$\displaystyle y=-\frac{2}{x^3}+\frac{3}{x^2}$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle t=\frac{1}{x}$とおいて，関数$y$を$t$の関数に書き換えよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq x \leqq 2$における関数$y$の最大値，最小値を求めよ．

関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+28$（$a,\ b$は定数）がある．曲線$y=f(x)$上の点$(2,\ f(2))$における接線の方程式が$y=15x$であるとき，次の設問に答えよ．

(1)$a$の値は$[ア]$，$b$の値は$[イウ]$である．
(2)$f(x)$は
$x=[エオ]$のとき，極大値$[カキ]$
$x=[ク]$のとき，極小値$[ケコ]$
をとる．
(3)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲では，$f(x)$の最大値は$[サシ]$，最小値は$[スセ]$である．

$2$次関数$y=ax^2+8x+10-a$について考える（ただし，$a \neq 0$）．

(1)この$2$次関数のグラフが，$x$軸とただ一つの共有点を持ち，$a<7$ならば，$a=[　]$である．またこのとき，$2$次関数のグラフの軸は直線$x=-[　]$である．
(2)$a=4$のとき，定義域が$-2 \leqq x \leqq 1$の場合の最小値は$[　]$，最大値は$[　]$である．
(3)この$2$次関数のグラフの軸が直線$x=4$となるように$a$を定めたとき，頂点の$y$座標は$[　]$である．

次の$[　]$を適当に補え．

(1)連続する$4$つの自然数を小さい順に$a,\ b,\ c,\ d$とする．$\displaystyle \frac{ac}{bd}=\frac{5}{8}$のとき，$a=[　]$である．
(2)袋の中に$0$と書かれたカードが$1$枚，$1$と書かれたカードが$2$枚，$2$と書かれたカードが$3$枚，合わせて$6$枚のカードが入っている．この袋から$1$枚ずつ$4$枚のカードを取り出し，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$[　]$である．また，$1$枚カードを取り出し，カードを袋に戻すことを$4$回くり返した場合，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$[　]$である．
(3)数列$\{a_n\}$は関係式$a_1=1$，$\displaystyle 2^{a_{n+1}}=\frac{4^{a_n}}{\sqrt{2}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとする．このとき，$a_3=[　]$であり，$a_n=[　]$である．
(4)$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$において，$\tan \theta=-2$のとき，$\cos^2 \theta=[　]$，$\displaystyle \sin \left( 2\theta+\frac{\pi}{4} \right)=[　]$である．
(5)$2$次方程式$x^2-kx+9=0$が実数解をもつような実数$k$の範囲は$[　]$である．このとき，その実数解を$\alpha,\ \beta$とすると，$(\alpha+1)^2+(\beta+1)^2$の最小値は$[　]$である．
(6)整式$x^3+3x$を$x^2+1$で割った商は$[　]$であり，余りは$[　]$である．また，$\displaystyle \int_0^2 \frac{x^3+3x}{x^2+1} \, dx=[　]$である．

関数
\[ y=f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
-x^2-12x & (x<0) \\
3x^2-12x+a & (0 \leqq x)
\end{array} \right. \]
を考える．関数$y=f(x)$の区間$0 \leqq x \leqq 6$における最小値が$-12$であるという．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$a$の値は$[ア]$である．
(2)$f(x)=0$となる$x$の値を小さい方から並べると$x=[イウエ],\ [オ],\ [カ]$である．
(3)曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{P}(k,\ -k^2-12k)$（$k<0$とする）における接線$\ell$が点$(-1,\ 15)$を通るという．このとき，$k$の値は$[キク]$である．
(4)接線$\ell$と曲線$y=f(x)$の共有点は点$\mathrm{P}$と$([ケ],\ [コサ])$で，接線$\ell$と曲線$y=f(x)$で囲まれる部分の面積は$[シス]$である．

$x,\ y$は実数で，曲線$9x^2+16y^2-144=0$を$\ell$とする．

(1)曲線$\ell$上の点で，$x+y$の値の最大値は$[$4$]$である．
(2)座標平面上の第$1$象限において，曲線$\ell$上の点を$\mathrm{P}$とする．曲線$\ell$上の点$\mathrm{P}$における接線と，$x$軸，$y$軸とで囲まれる三角形の面積の最小値は$[$5$]$であり，このときの点$\mathrm{P}$の座標は$[$6$]$である．

次の各問に答えよ．

(1)円$C:x^2+y^2-4x+6y+8=0$の中心は$([ア],\ [イウ])$，半径は$\sqrt{[エ]}$である．直線$(m+3)x-my-6=0$が$C$と接するような定数$m$の値は$[オカ]$または$[キ]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．$F=(1-4 \sin \theta) \cos 2\theta$は$t=\sin \theta$を用いて表すと，
\[ F=[ク] t^3-[ケ] t^2-[コ] t+[サ] \]
となる．$F$は$\displaystyle \theta=\frac{[シ]}{[ス]} \pi$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タ]}$をとる．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$2$次関数$y=3x^2 (k \leqq x \leqq k+1)$の最大値と最小値の差を$M$とする．$\displaystyle -1 \leqq k \leqq -\frac{1}{2}$のとき，$M=2$となる$k$の値は$[　]$である．
また，$\displaystyle -\frac{1}{2} \leqq k \leqq 0$のとき，$M \leqq 2$である$k$の値の範囲は$[　]$である．
(2)等式$2 \log_2 (y-3x)=2+\log_2 x+\log_2 y$が成り立っているとき，$\displaystyle \frac{y}{x}$の値は$[　]$である．また，このとき，$\displaystyle \log_2 \frac{xy-6x^2}{y^2-5xy-12x^2}$の値は$[　]$である．

次の問いに答えなさい．

(1)$(x+y+1)^{10}$の展開式で，$x^5y^3$の係数は$[　]$である．
(2)$1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+4 \cdot 5+\cdots +n(n+1)=[　]$である．ただし，$n$は正の整数である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \sin B \sin C=\frac{3bc}{4a^2}$が成り立つとき，$A=[　]$である．ただし，$A=\angle \mathrm{CAB}$，$B=\angle \mathrm{ABC}$，$C=\angle \mathrm{BCA}$，また，$a=\mathrm{BC}$，$b=\mathrm{CA}$，$c=\mathrm{AB}$である．
(4)$a,\ b,\ s,\ t$を$1$でない正の実数とし，$\log_a s+\log_b t=3$，$\log_s a+\log_t b=4$が成り立つとき，$(\log_a s)(\log_b t)$の値は$[　]$である．
(5)$x$を$0$でない実数とするとき，関数$\displaystyle f(x)=\left( x+\frac{1}{x} \right)^2-\left( x+\frac{1}{x} \right)$の最小値を調べなさい．