$a,\ b$を実数とする．$3$次関数$y=x^3-3ax^2-3bx$が$x=p$と$x=q$とで極値をとるものとする．

(1)$-1 \leqq p \leqq 0$かつ$1 \leqq q \leqq 2$となるような点$(a,\ b)$の動く範囲を平面上に図示せよ．
(2)$(a,\ b)$が上の範囲を動くとき，$a+b$の最大値と最小値を求めよ．

$x$が$x \geqq 0$を満たす実数全体を動くとき，関数
\[ y=e^{-\sqrt{3}x} \sin x \]
の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．

$m$は正の実数である．放物線$C_1:y=x^2+m^2$上の点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と放物線$C_2:y=x^2$との交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，$C_2$上の$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の間の点$\mathrm{Q}$に対して，直線$\mathrm{AQ}$と$C_2$とで囲まれる領域の面積と，直線$\mathrm{QB}$と$C_2$とで囲まれる領域の面積の和を$S$とする．$\mathrm{Q}$が$C_2$上の$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の間を動くときの$S$の最小値は$\mathrm{P}$の取り方によらないことを示し，その値を$m$を用いて表せ．

関数
\[ f(x)=\sin 3x+2 \cos 2x+4 \sin x \]
の区間$0^\circ \leqq x<360^\circ$における最大値，最小値とそれらを与える$x$の値を求めよ．

次の$[　]$をうめよ．

(1)実数$x,\ y,\ z$が$\displaystyle \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{4}=\frac{z+3x}{10}$を満たしている．$x^3+y^3+z^3=-36$が成り立つのは，
\[ \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{4}=\frac{z+3x}{10} \]
の値が$[$①$]$のときである．

(2)$\displaystyle x-y=\frac{\pi}{3}$であるとき，$\displaystyle \frac{\sin x-\sin y}{\cos x+\cos y}$の値は$[$②$]$である．

(3)座標空間における$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 3,\ 0)$を通る直線$\ell$を考える．$\ell$上の点$\mathrm{P}$において，原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{P}$を結ぶ直線が直線$\ell$と垂直に交わるとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標は$[$③$]$である．
(4)連立方程式$\left\{ \begin{array}{l}
4(\log_2x)^2+2 \log_2y=1 \\
x^2y=2
\end{array} \right.$を解くと，$x=[$④$]$，$y=[$⑤$]$である．
(5)$2$桁の自然数を$N$とし，$N$の$1$の位と$10$の位の$2$つの数の和を$T$とする．$\displaystyle \frac{N}{T}$の最小値は$[$⑥$]$である．

$x$の$2$次関数$\displaystyle f(x)=x^2-2tx+\frac{t^2}{2}-1$について，以下の問いに答えよ．

(1)$x \leqq 1$のとき，$f(x)$の最小値を$g(t)$とする．$g(t)$を$t$の式で表せ．
(2)$s=g(t)$のグラフを座標平面上にえがけ．
(3)$s=g(t)$のグラフと$t$軸および$s$軸によって囲まれた部分の面積を求めよ．

実数$x,\ y$が$x^2+y^2=2$を満たすとき，次の各問に答えよ．

(1)$t=x+y$とおくとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$S=x^2+6xy+y^2$とおくとき，$S$の最大値，最小値およびそのときの$x,\ y$の値を求めよ．

$0^\circ \leqq \theta \leqq 45^\circ$のとき，関数$\displaystyle y=\frac{1}{\cos^2 \theta}-2 \tan \theta-1$について，次の問いに答えなさい．

(1)この関数の最大値を求め，そのときの$\theta$も求めなさい．
(2)この関数の最小値を求め，そのときの$\theta$も求めなさい．

$a$を定数とし，$2$次関数$y=x^2+6x+a+7$のグラフを$C$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$C$の頂点の座標を求めなさい．
(2)$-1 \leqq x \leqq 3$における最小値が$-1$のとき，$a$の値を求めなさい．
(3)$C$が$x$軸と異なる$2$点で交わるとき，$a$の値の範囲を求めなさい．
(4)$(3)$のとき，$C$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{AB}=2 \sqrt{7}$のとき，$a$の値を求めなさい．

以下の問に答えよ．

(1)$2$つの異なる正の数の積が$9$であり，かつ，それらのうち大きい方の$2$倍と小さい方の和が$12$であるという．これらの異なる正の数のうち，大きい方を$x$，小さい方を$y$とするとき，以下の問に答えよ．

(i) $x,\ y$に関する連立方程式を求めよ．
(ii) $x$に関する$2$次方程式を求めよ．
(iii) $x,\ y$の値を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] $x^3+y^3$の値を求めよ．

(2)$f(x)=x^2-2ax+4a+5$とする．ただし，$a$は定数とする．

(i) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値を，次の$a$の各範囲においてそれぞれ求めよ．
$① a \leqq -3 \qquad ② -3<a \leqq 2 \qquad ③ a>2$
(ii) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値が$4$であるとき，$a$の値を求めよ．
(iii) $2$次方程式$f(x)=0$が$-3$以上，かつ，$2$以下である異なる$2$つの実数解を持つとき，$a$の値の範囲を求めよ．