「最小値」について
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私立 早稲田大学 2011年 第2問関数$\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-6x-\frac{6}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}$の定義域は$x>0$とする．
\[ x=\frac{[オ]\text{±}\sqrt{[カ]}}{[キ]} \text{のとき，関数} f(x) \text{は最小値}[ク]\text{をとる．} \]
ただし，$[キ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．
\[ x=\frac{[オ]\text{±}\sqrt{[カ]}}{[キ]} \text{のとき，関数} f(x) \text{は最小値}[ク]\text{をとる．} \]
ただし，$[キ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．
私立 早稲田大学 2011年 第2問座標空間の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 3,\ 0)$，$\mathrm{C}(2,\ 2,\ 3)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．
(1)四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[コ]$である．
(2)辺$\mathrm{OC}$上に動点$\mathrm{P}$をとる．三角形$\mathrm{PAB}$の面積が最小になるとき，$\mathrm{P}$ $([サ],\ [シ],\ [ス])$であり，その最小値は$[セ]$である．
(3)(2)で選んだ点Pを$\text{P}_0$とし，$\text{P}_0$から辺ABに下ろした垂線と辺ABの交点を$\text{Q}_0$とする．$\text{Q}_0([ソ],\ [タ],\ 0)$であり，三角形O$\text{Q}_0$Cの面積は[チ]である．また，四面体OA$\text{Q}_0\text{P}_0$の体積は[ツ]となる．
(1)四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[コ]$である．
(2)辺$\mathrm{OC}$上に動点$\mathrm{P}$をとる．三角形$\mathrm{PAB}$の面積が最小になるとき，$\mathrm{P}$ $([サ],\ [シ],\ [ス])$であり，その最小値は$[セ]$である．
(3)(2)で選んだ点Pを$\text{P}_0$とし，$\text{P}_0$から辺ABに下ろした垂線と辺ABの交点を$\text{Q}_0$とする．$\text{Q}_0([ソ],\ [タ],\ 0)$であり，三角形O$\text{Q}_0$Cの面積は[チ]である．また，四面体OA$\text{Q}_0\text{P}_0$の体積は[ツ]となる．
私立 金沢工業大学 2011年 第3問関数$\displaystyle y=3 \cos^2 x-\cos 2x+\sin x \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$について考える．
(1)$t=\sin x$とおくと，関数$y$は$t$の関数として
\[ y=[ア]t^2+t+[イ] \]
と表される．
(2)$y$は$\displaystyle x=\frac{\pi}{[ウ]}$のとき最大値$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$をとり，$\displaystyle x=-\frac{\pi}{[カ]}$のとき最小値$[キ]$をとる．
(1)$t=\sin x$とおくと，関数$y$は$t$の関数として
\[ y=[ア]t^2+t+[イ] \]
と表される．
(2)$y$は$\displaystyle x=\frac{\pi}{[ウ]}$のとき最大値$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$をとり，$\displaystyle x=-\frac{\pi}{[カ]}$のとき最小値$[キ]$をとる．
私立 金沢工業大学 2011年 第6問関数$f(x)=|2x-6|-4$に対して，$\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t) \, dt (0 \leqq x \leqq 6)$とおく．
(1)$0 \leqq x \leqq [コ]$のとき，$F(x)=-x^2+[サ]x$であり，$[コ]<x \leqq 6$のとき，$F(x)=x^2-[シス]x+[セソ]$である．
(2)$F(x)$は$x=[タ]$のとき最大値$[チ]$をとり，$x=[ツ]$のとき最小値$[テト]$をとる．
(1)$0 \leqq x \leqq [コ]$のとき，$F(x)=-x^2+[サ]x$であり，$[コ]<x \leqq 6$のとき，$F(x)=x^2-[シス]x+[セソ]$である．
(2)$F(x)$は$x=[タ]$のとき最大値$[チ]$をとり，$x=[ツ]$のとき最小値$[テト]$をとる．
私立 倉敷芸術科学大学 2011年 第6問$0^\circ \leqq x \leqq 90^\circ$のとき，$\displaystyle \frac{2}{1+2\sin^2 x}+\frac{1}{1+\cos^2 x}$の最大値と最小値，およびそれらの値をとるときの$x$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2011年 第1問関数$f(x)=x^2-2px+2p-1$の$-1 \leqq x \leqq 2$における最小値を$q$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$p>0$とする．
(1)$0<p \leqq 2$のとき，$q$を$p$を用いて表せ．
(2)$p>2$のとき，$q$を$p$を用いて表せ．
(3)$q$の最大値とそのときの$p$の値を求めよ．
(1)$0<p \leqq 2$のとき，$q$を$p$を用いて表せ．
(2)$p>2$のとき，$q$を$p$を用いて表せ．
(3)$q$の最大値とそのときの$p$の値を求めよ．
私立 早稲田大学 2011年 第6問$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$であるとき，$2 \cos^2 \theta+(\sin \theta+3 \cos \theta)^2$の最小値は$[ト]$で，最大値は$\sqrt{[ナ]}+[ニ]$である．
私立 自治医科大学 2011年 第12問関数$y=2 \cos \theta-\sin^2 \theta+2 (0 \leqq \theta<2\pi)$の最大値を$M$，最小値を$m$とする．$Mm$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2011年 第2問$a$を正の実数とする．関数$y=\sin 2x+2a(\sin x+\cos x)+1$は，$0 \leqq x<2\pi$で定義されている．$t=\sin x+\cos x$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$t$の値の範囲を求めよ．
(2)$\sin 2x$を$t$を用いて表せ．
(3)$y$を$t$を用いて表せ．
(4)$y$の最小値を求めよ．
(1)$t$の値の範囲を求めよ．
(2)$\sin 2x$を$t$を用いて表せ．
(3)$y$を$t$を用いて表せ．
(4)$y$の最小値を求めよ．
私立 北海学園大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{5}{x^2-x-6}-\frac{4}{x-3}$を簡単にせよ．
(2)$\displaystyle -3 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$のとき，関数$f(x)=-x^2-2x+9$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$3$直線$\ell_1:5x+y-23=0$，$\ell_2:3x-y-1=0$，$\ell_3:x-3y+5=0$があり，$\ell_1$と$\ell_2$，$\ell_2$と$\ell_3$，$\ell_3$と$\ell_1$の交点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とするとき，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標と$\cos \angle \mathrm{ABC}$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{5}{x^2-x-6}-\frac{4}{x-3}$を簡単にせよ．
(2)$\displaystyle -3 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$のとき，関数$f(x)=-x^2-2x+9$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$3$直線$\ell_1:5x+y-23=0$，$\ell_2:3x-y-1=0$，$\ell_3:x-3y+5=0$があり，$\ell_1$と$\ell_2$，$\ell_2$と$\ell_3$，$\ell_3$と$\ell_1$の交点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とするとき，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標と$\cos \angle \mathrm{ABC}$の値を求めよ．