「最大」について
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(6ページ目:全460問中51問~60問を表示)![東洋大学](./img/univ/toyo.png)
厚さ$1 \, \mathrm{cm}$のアクリル板で半球形の容器を作るとき,アクリル板の強度を考慮すると,最大で$50 \, l$の容積をもつ容器を作ることができるものとする.このアクリル板の厚さを$1 \, \mathrm{cm}$増やすごとに,作れる容器の最大の容積は$1.3$倍になる.一方,このアクリル板は,厚さ$1 \, \mathrm{cm}$のときに光の透過率が$90 \, \%$で,厚さを$1 \, \mathrm{cm}$増やすごとに透過率は$0.9$倍になる.次の各問に答えよ.ただし,アクリル板は$1 \, \mathrm{cm}$単位の加工しかできないこととし,必要ならば$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$を用いてもよい.
(1)アクリル板の厚さを$2 \, \mathrm{cm}$としたとき,その透過率は$[アイ] \, \%$になる.
(2)アクリル板の厚さを$2 \, \mathrm{cm}$としたとき,容器の容積は最大で$[ウエ] \, l$になる.
(3)アクリル板の透過率を$50 \, \%$以上としながら,容積の最も大きな容器を作りたい.このとき,アクリル板の厚さを$[オ] \, \mathrm{cm}$とすればよく,その容器の容積は,小数第$1$位を切り捨てて$[カキク] \, l$である.
(1)アクリル板の厚さを$2 \, \mathrm{cm}$としたとき,その透過率は$[アイ] \, \%$になる.
(2)アクリル板の厚さを$2 \, \mathrm{cm}$としたとき,容器の容積は最大で$[ウエ] \, l$になる.
(3)アクリル板の透過率を$50 \, \%$以上としながら,容積の最も大きな容器を作りたい.このとき,アクリル板の厚さを$[オ] \, \mathrm{cm}$とすればよく,その容器の容積は,小数第$1$位を切り捨てて$[カキク] \, l$である.
![首都大学東京](./img/univ/shuto.png)
$\theta$は$0 \leqq \theta<2\pi$をみたす実数とする.
\[ f(x)=x^2-(2 \cos \theta)x-\sin^2 \theta+\sin \theta+\frac{1}{2} \]
とおくとき,以下の問いに答えなさい.
(1)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を求めなさい.
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$\theta$の範囲を求めなさい.
(3)$\theta$が$(2)$で求めた範囲を動くとき,放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S(\theta)$とする.$S(\theta)$を最大にする$\theta$の値と,$S(\theta)$の最大値を求めなさい.
\[ f(x)=x^2-(2 \cos \theta)x-\sin^2 \theta+\sin \theta+\frac{1}{2} \]
とおくとき,以下の問いに答えなさい.
(1)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を求めなさい.
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$\theta$の範囲を求めなさい.
(3)$\theta$が$(2)$で求めた範囲を動くとき,放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S(\theta)$とする.$S(\theta)$を最大にする$\theta$の値と,$S(\theta)$の最大値を求めなさい.
![横浜市立大学](./img/univ/yokohamashiritsu.png)
$n$枚のカードの表(おもて)面に相異なる整数値が書かれている.ただし,どのような数値が書かれているのかはあらかじめわかっていない.
はじめにすべてのカードが裏返しでおかれている.ここから$1$枚ずつ好きなカードをめくっていき,書かれている数値が$n$枚のカードの中で最大だと思ったらめくるのをやめる$1$人ゲームを考える.$n$枚のカードをすべてめくり終えてしまった場合,次にめくるカードがないのでゲームは終了である.
ゲームの勝敗は,最後にめくったカードに書かれていた数値が$n$枚のカードの中で最大であれば勝ち,そうでなければ負けとする.
$n$未満の自然数$k$について以下の戦略$S_k$を考える:
はじめの$k$枚までは必ずめくり,その$k$枚に書かれていた数値のうち最大のものを$M$とする.$k+1$枚目以降で$M$より大きな数が書かれたカードをめくったら,ただちにめくるのをやめる.
戦略$S_k$にしたがった場合に,このゲームに勝つ確率を$P_{n,k}$とする.以下の問いに答えよ.
(1)$P_{3,1}$を求めよ.
(2)$i$を$k+1$以上,$n$以下の整数とする.戦略$S_k$にしたがった場合に,ちょうど$i$枚のカードをめくって勝つ確率を求めよ.
(3)$n$が十分に大きいとき,戦略$S_k$を使ってどのくらい勝つことが出来るのかを考えてみよう.$n$に対してどのくらいの$k$を用いるかによって勝てる確率は変わる.簡単にするため,$n=3p$の場合を考える.ただし,$p$は自然数である.このとき$k=p$として,極限値
\[ \lim_{p \to \infty} P_{n,k} \]
を求めよ.
はじめにすべてのカードが裏返しでおかれている.ここから$1$枚ずつ好きなカードをめくっていき,書かれている数値が$n$枚のカードの中で最大だと思ったらめくるのをやめる$1$人ゲームを考える.$n$枚のカードをすべてめくり終えてしまった場合,次にめくるカードがないのでゲームは終了である.
ゲームの勝敗は,最後にめくったカードに書かれていた数値が$n$枚のカードの中で最大であれば勝ち,そうでなければ負けとする.
$n$未満の自然数$k$について以下の戦略$S_k$を考える:
はじめの$k$枚までは必ずめくり,その$k$枚に書かれていた数値のうち最大のものを$M$とする.$k+1$枚目以降で$M$より大きな数が書かれたカードをめくったら,ただちにめくるのをやめる.
戦略$S_k$にしたがった場合に,このゲームに勝つ確率を$P_{n,k}$とする.以下の問いに答えよ.
(1)$P_{3,1}$を求めよ.
(2)$i$を$k+1$以上,$n$以下の整数とする.戦略$S_k$にしたがった場合に,ちょうど$i$枚のカードをめくって勝つ確率を求めよ.
(3)$n$が十分に大きいとき,戦略$S_k$を使ってどのくらい勝つことが出来るのかを考えてみよう.$n$に対してどのくらいの$k$を用いるかによって勝てる確率は変わる.簡単にするため,$n=3p$の場合を考える.ただし,$p$は自然数である.このとき$k=p$として,極限値
\[ \lim_{p \to \infty} P_{n,k} \]
を求めよ.
![名古屋市立大学](./img/univ/nagoyashiritsu.png)
$2$次関数$y=-x^2+2x+4 (-2 \leqq x \leqq 3)$の表す曲線において,$x=-2$,$x=3$での端点をそれぞれ,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$とする.また,点$\mathrm{C}$をこの曲線上の点とする.次の問いに答えよ.
(1)この関数のグラフをかけ.
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$15$となるとき,点$\mathrm{C}$の座標を求めよ.
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大となるとき,点$\mathrm{C}$の座標を求めよ.
(4)三角形$\mathrm{ABC}$が$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$の二等辺三角形となるとき,点$\mathrm{C}$の座標を求めよ.
(1)この関数のグラフをかけ.
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$15$となるとき,点$\mathrm{C}$の座標を求めよ.
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大となるとき,点$\mathrm{C}$の座標を求めよ.
(4)三角形$\mathrm{ABC}$が$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$の二等辺三角形となるとき,点$\mathrm{C}$の座標を求めよ.
![兵庫県立大学](./img/univ/hyougokenritsu.png)
$C$を媒介変数$t (0 \leqq t \leqq \pi)$を用いて$x=1-\cos t$,$y=2 \sin t+\sin 2t$と表される座標平面上の曲線とする.
(1)曲線$C$上で$y$座標が最大となる点の座標を求め,曲線$C$の概形をかけ.
(2)曲線$C$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ.
(1)曲線$C$上で$y$座標が最大となる点の座標を求め,曲線$C$の概形をかけ.
(2)曲線$C$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ.
![京都府立大学](./img/univ/kyotohuritsu.png)
$\alpha,\ \beta$を正の無理数とする.$2$つの集合$A,\ B$を
\[ A=\{ \, [n \alpha] \;|\; n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \, \},\quad B=\{ \, [n \beta] \;|\; n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \, \} \]
で定める.集合$C$を$A$と$B$の共通部分とする.集合$D$を$A$と$B$の和集合とする.$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1$のとき以下の問いに答えよ.ただし,実数$x$に対して,$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す.
(1)$C$は空集合となることを示せ.
(2)$E=\{ \, n \;|\; n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 99 \, \}$のとき,$E$は$D$の部分集合となることを示せ.
\[ A=\{ \, [n \alpha] \;|\; n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \, \},\quad B=\{ \, [n \beta] \;|\; n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \, \} \]
で定める.集合$C$を$A$と$B$の共通部分とする.集合$D$を$A$と$B$の和集合とする.$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1$のとき以下の問いに答えよ.ただし,実数$x$に対して,$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す.
(1)$C$は空集合となることを示せ.
(2)$E=\{ \, n \;|\; n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 99 \, \}$のとき,$E$は$D$の部分集合となることを示せ.
![札幌医科大学](./img/univ/sapporoika.png)
原点$\mathrm{O}$の座標平面上で点$\mathrm{A}(a,\ 0)$が与えられている.ただし$0<a<1$とする.また,点$\mathrm{P}$は曲線$x^2+y^2=1 (y>0)$上を以下の条件をみたしながら動くものとする.
(条件)三角形$\mathrm{OAP}$の外心$\mathrm{Q}$は$x^2+y^2 \leqq 1$をみたす領域内にある.
点$\mathrm{Q}$の$y$座標を$q$とする.このとき,以下の各問に答えよ.
(1)$q$の取りうる範囲を$a$を用いて表せ.
(2)$q$が最大となるときの点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が条件をみたしながら動くとき,三角形$\mathrm{OAP}$が通過する領域の面積を$a$を用いて表せ.
(条件)三角形$\mathrm{OAP}$の外心$\mathrm{Q}$は$x^2+y^2 \leqq 1$をみたす領域内にある.
点$\mathrm{Q}$の$y$座標を$q$とする.このとき,以下の各問に答えよ.
(1)$q$の取りうる範囲を$a$を用いて表せ.
(2)$q$が最大となるときの点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が条件をみたしながら動くとき,三角形$\mathrm{OAP}$が通過する領域の面積を$a$を用いて表せ.
![高崎経済大学](./img/univ/takasaki.png)
あるだるまメーカーが,大小$2$種類のだるまを製造・販売している.だるまの製造には,材料と職人の作業が必要である.だるま$1$個の製造に必要な材料の量と職人の作業時間,販売によって得られる利益は下の表に示すとおりである.また,材料は$84 \, \mathrm{kg}$まで使うことができ,職人は$960$時間まで作業できる.なお,製造しただるまは必ず販売できる.このとき,次の各問に答えよ.
表 だるま$1$個の製造に必要な材料の量,職人の作業時間,得られる利益
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
& 必要な材料の量 & 必要な職人の作業時間 & 得られる利益 \\ \hline
だるま(小) & $100 \mathrm{g}$ & $2$時間 & $300$円 \\ \hline
だるま(大) & $300 \mathrm{g}$ & $3$時間 & $500$円 \\ \hline
\end{tabular}
(1)「だるま(小)」だけを製造・販売する場合,利益は最大でいくらになるか.
(2)「だるま(小)」と「だるま(大)」を製造・販売する場合,利益の総額を最大にするためには,「だるま(小)」と「だるま(大)」をそれぞれ何個製造・販売すればよいか.
(3)いま,ライバルメーカーとの競争によって,「だるま(小)」$1$個から得られる利益が$100$円に,「だるま(大)」$1$個から得られる利益が$350$円に,それぞれ低下したとする.この場合,利益の総額を最大にするためには,「だるま(小)」と「だるま(大)」をそれぞれ何個製造・販売すればよいか.
表 だるま$1$個の製造に必要な材料の量,職人の作業時間,得られる利益
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
& 必要な材料の量 & 必要な職人の作業時間 & 得られる利益 \\ \hline
だるま(小) & $100 \mathrm{g}$ & $2$時間 & $300$円 \\ \hline
だるま(大) & $300 \mathrm{g}$ & $3$時間 & $500$円 \\ \hline
\end{tabular}
(1)「だるま(小)」だけを製造・販売する場合,利益は最大でいくらになるか.
(2)「だるま(小)」と「だるま(大)」を製造・販売する場合,利益の総額を最大にするためには,「だるま(小)」と「だるま(大)」をそれぞれ何個製造・販売すればよいか.
(3)いま,ライバルメーカーとの競争によって,「だるま(小)」$1$個から得られる利益が$100$円に,「だるま(大)」$1$個から得られる利益が$350$円に,それぞれ低下したとする.この場合,利益の総額を最大にするためには,「だるま(小)」と「だるま(大)」をそれぞれ何個製造・販売すればよいか.
![前橋工科大学](./img/univ/maebashi.png)
$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して,$a_n=2^n$とする.自然数$N$に対して,$a_0,\ a_1,\ \cdots,\ a_N$から重複なしにいくつかを選んで和をとるという操作を考える.例えば,$N=1$のときには,この操作によって自然数$1,\ 2,\ 3$を作ることができる($1=a_0,\ 2=a_1,\ 3=a_0+a_1$).次の問いに答えなさい.
(1)$N=2$のとき,$7$以下のすべての自然数をこの操作によって作りなさい.
(2)この操作によって作ることのできる最大の自然数は$2^{N+1}-1$であることを示しなさい.
(3)自然数$N$に対して,$2^{N+1}-1$以下のすべての自然数をこの操作によって作ることができる.このことを数学的帰納法を用いて証明しなさい.
(4)この操作によって$253$を作ることのできる最小の$N$の値を求めなさい.
(1)$N=2$のとき,$7$以下のすべての自然数をこの操作によって作りなさい.
(2)この操作によって作ることのできる最大の自然数は$2^{N+1}-1$であることを示しなさい.
(3)自然数$N$に対して,$2^{N+1}-1$以下のすべての自然数をこの操作によって作ることができる.このことを数学的帰納法を用いて証明しなさい.
(4)この操作によって$253$を作ることのできる最小の$N$の値を求めなさい.
![大阪大学](./img/univ/osaka.png)
平面上に長さ$2$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする円$C$がある.$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を除く$C$上の点$\mathrm{P}$に対し,$\mathrm{AP}=\mathrm{AQ}$となるように線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{Q}$をとる.また,直線$\mathrm{PQ}$と円$C$の交点のうち,$\mathrm{P}$でない方を$\mathrm{R}$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積を$\theta=\angle \mathrm{PAB}$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$を動かして$\triangle \mathrm{AQR}$の面積が最大になるとき,$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を用いて表せ.
(1)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積を$\theta=\angle \mathrm{PAB}$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$を動かして$\triangle \mathrm{AQR}$の面積が最大になるとき,$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を用いて表せ.