座標平面上の点$(1,\ 0)$に物体$\mathrm{A}$がある．さいころを振り，$1$から$4$の目が出たら原点から距離$1$だけ遠ざけ，$5$または$6$の目が出たときには原点のまわりに$15$度時計方向と逆回りに回転させる．物体$\mathrm{A}$が$y$軸に達するまでこれを続ける．次の問いに答えよ．

(1)物体$\mathrm{A}$が点$(0,\ n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に達する確率$P_n$を求めよ．
(2)$P_n$を最大にする$n$を求めよ．

$\displaystyle \frac{x+y}{5}=\frac{y+3z}{11}=\frac{5z-3x}{8} \neq 0$のとき，次の問いに答えよ．

(1)$x:y:z$の比を求めよ．

(2)$\displaystyle \frac{-3x^3+(9y+z)x^2-3y(z+2y)x+2y^2z}{x^3-x^2y-xz^2+yz^2}$の値を求めよ．

(3)$x,\ y,\ z$を$3$辺とする三角形の最大角の大きさを求めよ．

放物線$\displaystyle C:y=\frac{x^2}{2}$を考える．$0<a<\sqrt{2}$を満たす定数$a$に対して，点$\displaystyle \left(a^3,\ \frac{3a^2}{2}+1 \right)$をPで表す．

(1)点Pと$C$上の点$\displaystyle \left( t,\ \frac{t^2}{2}\right)$との距離が最小となる$t$を$a$を用いて表せ．
(2)(1)で求めた$t$に対して，点$\displaystyle \left( t,\ \frac{t^2}{2}\right)$をQとおく．点Qにおける$C$の接線と，直線PQは直交することを示せ．
(3)点Pと点Qとの距離が最大となるように$a$を定めよ．

$n$は2以上の自然数とする．袋の中に1から$n$までの数字が1つずつ書かれた$n$個の玉が入っている．この袋から無作為に玉を1個取り出し，それに書かれている数を自分の得点としたのち，取り出した玉を袋に戻す．この試行を A，B，Cの3人が順に行い，3人の中で最大の得点の人を勝者とする．たとえば，A，B，Cの得点がそれぞれ$4,\ 2,\ 4$のときはAとCの2人が勝者であり，3人とも同じ得点のときはA，B，Cの3人とも勝者である．勝者が$k$人($k = 1,\ 2,\ 3$)である確率を$P_n(k)$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)勝者が3人である確率$P_n(3)$を$n$を用いて表せ．
(2)$n = 3$の場合に勝者が2人である確率$P_3(2)$を求めよ．
(3)勝者が1人である確率$P_n(1)$を$n$を用いて表せ．

$n$は2以上の自然数とする．袋の中に1から$n$までの数字が1つずつ書かれた$n$個の玉が入っている．この袋から無作為に玉を1個取り出し，それに書かれている数を自分の得点としたのち，取り出した玉を袋に戻す．この試行を A，B，Cの3人が順に行い，3人の中で最大の得点の人を勝者とする．たとえば，A，B，Cの得点がそれぞれ$4,\ 2,\ 4$のときはAとCの2人が勝者であり，3人とも同じ得点のときはA，B，Cの3人とも勝者である．勝者が$k$人($k = 1,\ 2,\ 3$)である確率を$P_n(k)$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)勝者が3人である確率$P_n(3)$を$n$を用いて表せ．
(2)$n = 3$の場合に勝者が2人である確率$P_3(2)$を求めよ．
(3)勝者が1人である確率$P_n(1)$を$n$を用いて表せ．
(4)$P_n(1) \geqq 0.9$となる最小の$n$を求めよ．

半径$R$の円$C$の中心を通る直線を$\ell$とする．円$C$上の2点A，Bは弦ABが$\ell$と交わらないように動くものとする．$\ell$を軸として弦ABを回転させてできる図形の面積を$S$とする．ただし，直線$\ell$は円$C$と同一平面上にあるものとする．

(1)弦ABの長さを一定とするならば，弦ABが$\ell$と平行のとき$S$が最大となることを証明せよ．
(2)弦ABの長さが変化するとき，$S$の最大値を求めよ．

$a$を正の整数とする．正の実数$x$についての方程式
\[ (*) \quad x = \left[ \frac{1}{2} \left( x+ \frac{a}{x} \right) \right] \]
が解を持たないような$a$を小さい順に並べたものを$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$とする．ここに$[ \quad ]$はガウス記号で，実数$u$に対し，$[ \; u \; ]$は$u$以下の最大の整数を表す．

(1)$a = 7,\ 8,\ 9$の各々について，$(*)$の解があるかどうかを判定し，ある場合は解$x$を求めよ．
(2)$a_1,\ a_2$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}$を求めよ．

次のような競技を考える．競技者がサイコロを振る．もし，出た目が気に入ればその目を得点とする．そうでなければ，もう$1$回サイコロを振って，$2$つの目の合計を得点とすることができる．ただし，合計が$7$以上になった場合は得点は$0$点とする．この取決めによって，$2$回目を振ると得点が下がることもあることに注意しよう．次の問いに答えよ．

(1)競技者が常にサイコロを$2$回振るとすると，得点の期待値はいくらか．
(2)競技者が最初の目が$6$のときだけ$2$回目を振らないとすると，得点の期待値はいくらか．
(3)得点の期待値を最大にするためには，競技者は最初の目がどの範囲にあるときに$2$回目を振るとよいか．

次のような競技を考える．競技者がサイコロを振る．もし，出た目が気に入ればその目を得点とする．そうでなければ，もう$1$回サイコロを振って，$2$つの目の合計を得点とすることができる．ただし，合計が$7$以上になった場合は得点は$0$点とする．この取決めによって，$2$回目を振ると得点が下がることもあることに注意しよう．次の問いに答えよ．

(1)競技者が常にサイコロを$2$回振るとすると，得点の期待値はいくらか．
(2)競技者が最初の目が$6$のときだけ$2$回目を振らないとすると，得点の期待値はいくらか．
(3)得点の期待値を最大にするためには，競技者は最初の目がどの範囲にあるときに$2$回目を振るとよいか．

$a,\ b$を正の実数とする．曲線
\[ C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1 \]
は領域$D:x^2+y^2 \leqq 1$に含まれている．次の問いに答えよ．

(1)$(a,\ b)$が存在する範囲を$ab$平面上に図示せよ．
(2)$C$が囲む部分の面積が最大になるときの$a,\ b$の値を求めよ．