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国立 宮城教育大学 2011年 第3問関数$\displaystyle f(x)=4x+\frac{22}{3}$がある．また関数$g(x)$は等式
\[ g(x)=x(x+2)+\int_{-1}^1 g(t) \, dt \]
を満たす．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$g(x)$を求めよ．
(2)直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=g(x)$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}$，直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点のうち$x$座標の値が小さい方を$\mathrm{B}$，直線$y=f(x)$と$y$軸の交点を$\mathrm{C}$とする．また点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BC}$上にとり，点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と曲線$y=g(x)$の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，線分$\mathrm{PQ}$，線分$\mathrm{PA}$，および曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積が最大となる点$\mathrm{P}$の座標と，そのときの面積を求めよ．
\[ g(x)=x(x+2)+\int_{-1}^1 g(t) \, dt \]
を満たす．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$g(x)$を求めよ．
(2)直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=g(x)$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}$，直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点のうち$x$座標の値が小さい方を$\mathrm{B}$，直線$y=f(x)$と$y$軸の交点を$\mathrm{C}$とする．また点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BC}$上にとり，点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と曲線$y=g(x)$の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，線分$\mathrm{PQ}$，線分$\mathrm{PA}$，および曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積が最大となる点$\mathrm{P}$の座標と，そのときの面積を求めよ．
国立 浜松医科大学 2011年 第2問医学部における研究では，いろいろな動物が用いられる．これらの動物を生育して，研究者たちに販売する者の立場から，動物$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を題材にして，以下の問題を考察する．
(1)動物$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を生育するには，$3$種類の栄養素$p,\ q,\ r$が必要である．生育量（単位$\mathrm{kg}$）と栄養素の量は，ともに実数で示される．
（条件a） $\mathrm{A}$を$x \; \mathrm{kg}$生育するには，$p$が$5x$，$q$が$5x$，$r$が$x$の量，同時に必要である．$\mathrm{A}$の販売価格は$10$万円$/ \mathrm{kg}$である．
（条件b） $\mathrm{B}$を$y \; \mathrm{kg}$生育するには，$p$が$4y$，$q$が$y$，$r$が$2y$の量，同時に必要である．$\mathrm{B}$の販売価格は$5$万円$/ \mathrm{kg}$である．
手持ちの栄養素は今，$p$が$5$，$q$が$4$，$r$が$2$の量であると仮定する．このとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をそれぞれ何$\mathrm{kg}$生育すれば，販売額が最大となるか．販売額の最大値，およびそのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の生育量をそれぞれ求めよ．
(2)動物$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$に加えて，動物$\mathrm{C}$も$p,\ q,\ r$の栄養素によって生育できることがわかる．
（条件c） $\mathrm{C}$を$z \; \mathrm{kg}$生育するには，$p$が$2z$，$q$が$3z$，$r$が$z$の量，同時に必要である．$\mathrm{C}$の販売価格は$8$万円$/ \mathrm{kg}$である．
手持ちの栄養素は今，$p$が$5$，$q$が$4$の量であるが，(1)の場合と違って$r$はいくらでも手に入るものと仮定する．次の問い$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$に答えよ．
(i) $\mathrm{C}$の生育量$z \; \mathrm{kg}$は，$\displaystyle z=k \ \left( 0 \leqq k \leqq \frac{11}{10} \right)$として値を固定し，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の生育量をそれぞれ$x \; \mathrm{kg}$，$y \; \mathrm{kg}$として変化させる．このとき，点$(x,\ y)$の動く領域$D(k)$を図示せよ．さらに，$(x,\ y)$がこの領域を動くとき，販売額の最大値を$w(k)$とかく．$w(k)$を$k$の式で表せ．
(ii) $\mathrm{C}$の生育量$z=k$を，$\displaystyle 0 \leqq k \leqq \frac{11}{10}$の範囲から$\displaystyle \frac{11}{10} \leqq k \leqq \frac{4}{3}$の範囲に変更する．このとき，点$(x,\ y)$の動く領域$D(k)$および販売額の最大値$w(k)$はどうなるか，調べよ．
(iii) $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$をそれぞれ何$\mathrm{kg}$生育すれば，販売額が最大となるか．販売額の最大値，およびそのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の生育量をそれぞれ求めよ．
(1)動物$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を生育するには，$3$種類の栄養素$p,\ q,\ r$が必要である．生育量（単位$\mathrm{kg}$）と栄養素の量は，ともに実数で示される．
（条件a） $\mathrm{A}$を$x \; \mathrm{kg}$生育するには，$p$が$5x$，$q$が$5x$，$r$が$x$の量，同時に必要である．$\mathrm{A}$の販売価格は$10$万円$/ \mathrm{kg}$である．
（条件b） $\mathrm{B}$を$y \; \mathrm{kg}$生育するには，$p$が$4y$，$q$が$y$，$r$が$2y$の量，同時に必要である．$\mathrm{B}$の販売価格は$5$万円$/ \mathrm{kg}$である．
手持ちの栄養素は今，$p$が$5$，$q$が$4$，$r$が$2$の量であると仮定する．このとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をそれぞれ何$\mathrm{kg}$生育すれば，販売額が最大となるか．販売額の最大値，およびそのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の生育量をそれぞれ求めよ．
(2)動物$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$に加えて，動物$\mathrm{C}$も$p,\ q,\ r$の栄養素によって生育できることがわかる．
（条件c） $\mathrm{C}$を$z \; \mathrm{kg}$生育するには，$p$が$2z$，$q$が$3z$，$r$が$z$の量，同時に必要である．$\mathrm{C}$の販売価格は$8$万円$/ \mathrm{kg}$である．
手持ちの栄養素は今，$p$が$5$，$q$が$4$の量であるが，(1)の場合と違って$r$はいくらでも手に入るものと仮定する．次の問い$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$に答えよ．
(i) $\mathrm{C}$の生育量$z \; \mathrm{kg}$は，$\displaystyle z=k \ \left( 0 \leqq k \leqq \frac{11}{10} \right)$として値を固定し，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の生育量をそれぞれ$x \; \mathrm{kg}$，$y \; \mathrm{kg}$として変化させる．このとき，点$(x,\ y)$の動く領域$D(k)$を図示せよ．さらに，$(x,\ y)$がこの領域を動くとき，販売額の最大値を$w(k)$とかく．$w(k)$を$k$の式で表せ．
(ii) $\mathrm{C}$の生育量$z=k$を，$\displaystyle 0 \leqq k \leqq \frac{11}{10}$の範囲から$\displaystyle \frac{11}{10} \leqq k \leqq \frac{4}{3}$の範囲に変更する．このとき，点$(x,\ y)$の動く領域$D(k)$および販売額の最大値$w(k)$はどうなるか，調べよ．
(iii) $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$をそれぞれ何$\mathrm{kg}$生育すれば，販売額が最大となるか．販売額の最大値，およびそのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の生育量をそれぞれ求めよ．
私立 早稲田大学 2011年 第6問図のように，点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する正$9$角形の頂点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\cdots$，$\mathrm{A}_9$から，長さが最大となる対角線を$2$本ずつ引き，それらの交点を$\mathrm{B}_1$，$\mathrm{B}_2$，$\cdots$，$\mathrm{B}_9$とする．これらの点を$\mathrm{A}_1 \to \mathrm{B}_1 \to \mathrm{A}_2 \to \mathrm{B}_2 \to \cdots \to \mathrm{A}_9 \to \mathrm{B}_9 \to \mathrm{A}_1$の順に線分で結んでできた図形を星型$S$とよぶ．ここで，$\tan 10^\circ=a$とするとき，$\triangle \mathrm{OA}_1 \mathrm{B}_1$の辺$\mathrm{OA_1}$を底辺としたときの高さを$h$とすると
\[ h=\frac{[ナ]a}{[ニ]-a^{[ヌ]}} \]
である．よって，星型$S$の面積は$[ネ]h$である．
（図は省略）
\[ h=\frac{[ナ]a}{[ニ]-a^{[ヌ]}} \]
である．よって，星型$S$の面積は$[ネ]h$である．
（図は省略）
私立 早稲田大学 2011年 第1問次の各問に答えよ．
(1)ある工場の製品が$50$個あり，その中に不良品が$2$個だけ含まれている．このとき次の問いに答えよ．
(2)この$50$個の製品の中から$5$個を同時に取り出したとき，少なくとも$1$個の不良品が含まれる確率は$[ア]$である．
(3)この$50$個の製品の中から同時にいくつかの製品を取り出したとき，$1$個以上の不良品が含まれる確率を$\displaystyle\frac{1}{2}$より大きくなるようにしたい．このときに，取り出す製品の個数は少なくとも$[イ]$個でなければならない．
(4)$x^2+y^2=25$で表される円$A$がある．点$(7,\ 1)$から円$A$に接線を引く．
(5)接線の方程式は，$y=-[ウ]x+[エ]$と$y=[オ]x-[カ]$で表される．$[ウ]$，$[エ]$，$[オ]$，$[カ]$を正の分数で表せ．
(6)上で求めた$2$本の接線に接し，さらに円$A$に接する円は$[キ]$個ある．これらの$[キ]$個の円の半径で，最大の半径は$[ク]$であり，最小の半径は$[ケ]$である．
(1)ある工場の製品が$50$個あり，その中に不良品が$2$個だけ含まれている．このとき次の問いに答えよ．
(2)この$50$個の製品の中から$5$個を同時に取り出したとき，少なくとも$1$個の不良品が含まれる確率は$[ア]$である．
(3)この$50$個の製品の中から同時にいくつかの製品を取り出したとき，$1$個以上の不良品が含まれる確率を$\displaystyle\frac{1}{2}$より大きくなるようにしたい．このときに，取り出す製品の個数は少なくとも$[イ]$個でなければならない．
(4)$x^2+y^2=25$で表される円$A$がある．点$(7,\ 1)$から円$A$に接線を引く．
(5)接線の方程式は，$y=-[ウ]x+[エ]$と$y=[オ]x-[カ]$で表される．$[ウ]$，$[エ]$，$[オ]$，$[カ]$を正の分数で表せ．
(6)上で求めた$2$本の接線に接し，さらに円$A$に接する円は$[キ]$個ある．これらの$[キ]$個の円の半径で，最大の半径は$[ク]$であり，最小の半径は$[ケ]$である．
私立 早稲田大学 2011年 第4問$xy$-平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，楕円$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (a>b>0)$を$E$とする．$E$上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$における$E$の法線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が$s>0,\ t>0$の範囲を動くとき，$\angle \mathrm{OPQ}$が最大になる点$\mathrm{P}$を求めよ．
私立 早稲田大学 2011年 第4問$a>0$とし，$x$-$y$平面上に3点O$(0,\ 0)$，A$(a,\ 0)$，P$(x,\ y)$をとる．$l$を与えられた正定数として，Pが
\[ 2\text{PO}^2 + \text{PA}^2 = 3l^2 \dotnum{*} \]
をみたすとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)\maru{*}をみたすPの集合が空集合とならないための$a$の条件を求め，そのときのP$(x,\ y)$の軌跡を表す方程式を求めよ．
(2)3点O,\ A,\ Pが一直線上にないようなPが存在するとき，OAを軸として，$\triangle$POAを回転して立体をつくる．この立体の体積が最大になるときのPの$x$座標と最大の体積$V$を，$a$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた体積$V$を最大とする$a$の値とそのときの最大の体積を求めよ．
\[ 2\text{PO}^2 + \text{PA}^2 = 3l^2 \dotnum{*} \]
をみたすとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)\maru{*}をみたすPの集合が空集合とならないための$a$の条件を求め，そのときのP$(x,\ y)$の軌跡を表す方程式を求めよ．
(2)3点O,\ A,\ Pが一直線上にないようなPが存在するとき，OAを軸として，$\triangle$POAを回転して立体をつくる．この立体の体積が最大になるときのPの$x$座標と最大の体積$V$を，$a$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた体積$V$を最大とする$a$の値とそのときの最大の体積を求めよ．
私立 明治大学 2011年 第1問次の各設問の$[1]$から$[8]$までの空欄と$[ ]$に適当な答えを入れよ．
(1)箱の中に，$1$と書かれたカードが$4$枚．$2$と書かれたカードが$3$枚，$3$と書かれたカードが$2$枚，$4$と書かれたカードが$1$枚ある．箱から同時に$3$枚のカードを取り出すとき，以下の問いに答えよ．
(i) $1$と書かれたカードが少なくとも$1$枚含まれる確率は$[1]$である．
(ii) $3$枚のカードに書かれた数字の和が$5$となる確率は$[2]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において次が成り立つとき，以下の問いに答えよ．
\[ \sin A:\sin B:\sin C = 13:8:7 \]
(i) $\cos A=[3]$である．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の直径が$13$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．ただし，分母を有理化して答えよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が次の条件を満たすとき．点$\mathrm{P}$が動く部分の面積を求めよ．ただし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$1$とする．
(i) $\displaystyle \frac{1}{2} \leqq s+t \leqq 1,\ 0 \leqq s,\ 0 \leqq t$のとき$[4]$．
(ii) $t \leqq s,\ s \leqq 3,\ 0 \leqq t$のとき$[5]$．
(4)$\displaystyle 81^{-x}-\frac{1}{2}\cdot 3^{-2x+2}+2=0$を満たす最大の$x$は$\log_9 [6]$である．
(5)ある星$\mathrm{O}$を中心として同一方向に円軌道を描きながら回っている星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$がある．ただし，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$の円軌道は同一平面上にあると仮定する．星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{O}$との距離は$0.9$億$\mathrm{km}$で，星$\mathrm{B}$と星$\mathrm{O}$との距離は$1.5$億$\mathrm{km}$である．星$\mathrm{A}$は星$\mathrm{O}$の周りを一周するのに$240$日かかり，星$\mathrm{B}$は$360$日かかる．現在，星$\mathrm{A}$が星$\mathrm{B}$より回転方向に$90^{\circ}$進んだ位置にあるとするとき，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離が最初に最大になるのは，今から$[7]$日後である．また，$60$日後の星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離は$[8]$億$\mathrm{km}$である．
(1)箱の中に，$1$と書かれたカードが$4$枚．$2$と書かれたカードが$3$枚，$3$と書かれたカードが$2$枚，$4$と書かれたカードが$1$枚ある．箱から同時に$3$枚のカードを取り出すとき，以下の問いに答えよ．
(i) $1$と書かれたカードが少なくとも$1$枚含まれる確率は$[1]$である．
(ii) $3$枚のカードに書かれた数字の和が$5$となる確率は$[2]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において次が成り立つとき，以下の問いに答えよ．
\[ \sin A:\sin B:\sin C = 13:8:7 \]
(i) $\cos A=[3]$である．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の直径が$13$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．ただし，分母を有理化して答えよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が次の条件を満たすとき．点$\mathrm{P}$が動く部分の面積を求めよ．ただし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$1$とする．
(i) $\displaystyle \frac{1}{2} \leqq s+t \leqq 1,\ 0 \leqq s,\ 0 \leqq t$のとき$[4]$．
(ii) $t \leqq s,\ s \leqq 3,\ 0 \leqq t$のとき$[5]$．
(4)$\displaystyle 81^{-x}-\frac{1}{2}\cdot 3^{-2x+2}+2=0$を満たす最大の$x$は$\log_9 [6]$である．
(5)ある星$\mathrm{O}$を中心として同一方向に円軌道を描きながら回っている星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$がある．ただし，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$の円軌道は同一平面上にあると仮定する．星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{O}$との距離は$0.9$億$\mathrm{km}$で，星$\mathrm{B}$と星$\mathrm{O}$との距離は$1.5$億$\mathrm{km}$である．星$\mathrm{A}$は星$\mathrm{O}$の周りを一周するのに$240$日かかり，星$\mathrm{B}$は$360$日かかる．現在，星$\mathrm{A}$が星$\mathrm{B}$より回転方向に$90^{\circ}$進んだ位置にあるとするとき，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離が最初に最大になるのは，今から$[7]$日後である．また，$60$日後の星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離は$[8]$億$\mathrm{km}$である．
私立 上智大学 2011年 第1問$a,\ b,\ c$は整数で，$a \geqq 1,\ b \geqq 0,\ c \geqq 0$とする．$x$の2次式$P(x)=ax^2+bx+c$を考える．
(1)$P(1)=2$を満たす$P(x)$は全部で[ア]個存在する．
(2)条件 \[ \lceil P(n)=5 \text{を満たす自然数}n\text{が存在する}\rfloor \]
を満たす$P(x)$は全部で[イ]個存在する．
このような$P(x)$のうち，$P(3)=17$を満たすものは
\[ P(x) = [ウ]x^2+[エ]x+[オ] \]
である．
(3)条件
\[ \lceil P(n)=3 \text{を満たす自然数}n\text{が存在し，} \]
\[ \qquad \qquad \text{かつ，任意の自然数}m\text{に対して}P(m)\text{が奇数である}\rfloor \]
を満たす$P(x)$のうち，$a$が最大のものは
\[ P(x) = [カ]x^2+[キ]x+[ク] \]
であり，$a$が最小のものは
\[ P(x) = [ケ]x^2+[コ]x+[サ] \]
である．
(1)$P(1)=2$を満たす$P(x)$は全部で[ア]個存在する．
(2)条件 \[ \lceil P(n)=5 \text{を満たす自然数}n\text{が存在する}\rfloor \]
を満たす$P(x)$は全部で[イ]個存在する．
このような$P(x)$のうち，$P(3)=17$を満たすものは
\[ P(x) = [ウ]x^2+[エ]x+[オ] \]
である．
(3)条件
\[ \lceil P(n)=3 \text{を満たす自然数}n\text{が存在し，} \]
\[ \qquad \qquad \text{かつ，任意の自然数}m\text{に対して}P(m)\text{が奇数である}\rfloor \]
を満たす$P(x)$のうち，$a$が最大のものは
\[ P(x) = [カ]x^2+[キ]x+[ク] \]
であり，$a$が最小のものは
\[ P(x) = [ケ]x^2+[コ]x+[サ] \]
である．
私立 北海学園大学 2011年 第2問$1$枚の硬貨を$10$回投げるとき，表がちょうど$k$回出る確率を$p_k$と表す．ただし，$0 \leqq k \leqq 10$とする．
(1)$p_0,\ p_1,\ p_2$の値をそれぞれ求めよ．
(2)表が少なくとも$3$回以上出る確率を求めよ．
(3)$p_k$が最大となる$k$の値を求めよ．
(1)$p_0,\ p_1,\ p_2$の値をそれぞれ求めよ．
(2)表が少なくとも$3$回以上出る確率を求めよ．
(3)$p_k$が最大となる$k$の値を求めよ．
私立 明治大学 2011年 第3問次の連立不等式で表される領域$D$を考える．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \left( x-\frac{1}{2} \right)^2+y^2 \leqq 1 \\
\displaystyle y \leqq -2x+\frac{3}{2} \\
\displaystyle y \leqq x+\frac{7}{10}
\end{array} \right. \]
以下の問に答えなさい．
(1)$y$切片が$k$で，直線$\displaystyle y=-2x+\frac{3}{2}$に垂直な直線を$\ell$とする．直線$\ell$が領域$D$と共有点を持つとき，$k$のとる範囲は，
\[ -\frac{[チ]}{[ツ]}-\frac{\sqrt{[テ]}}{[ト]} \leqq k \leqq \frac{[ナ]}{[ニ]} \]
である．
(2)直線$\ell$が領域$D$で切り取られる線分の長さを$L$とおく．$L$が最大となるのは，$\displaystyle k=-\frac{[ヌ]}{[ネ]}$のときであり，そのとき，$\displaystyle L=[ノ]+\frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒフ]}$となる．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \left( x-\frac{1}{2} \right)^2+y^2 \leqq 1 \\
\displaystyle y \leqq -2x+\frac{3}{2} \\
\displaystyle y \leqq x+\frac{7}{10}
\end{array} \right. \]
以下の問に答えなさい．
(1)$y$切片が$k$で，直線$\displaystyle y=-2x+\frac{3}{2}$に垂直な直線を$\ell$とする．直線$\ell$が領域$D$と共有点を持つとき，$k$のとる範囲は，
\[ -\frac{[チ]}{[ツ]}-\frac{\sqrt{[テ]}}{[ト]} \leqq k \leqq \frac{[ナ]}{[ニ]} \]
である．
(2)直線$\ell$が領域$D$で切り取られる線分の長さを$L$とおく．$L$が最大となるのは，$\displaystyle k=-\frac{[ヌ]}{[ネ]}$のときであり，そのとき，$\displaystyle L=[ノ]+\frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒフ]}$となる．