袋の中に$4$枚のカードが入っており，それぞれのカードには$1,\ 2,\ 3,\ 4$の数字が書かれている．いま袋から$1$枚カードを取り出しては，そのつど袋に戻すという試行を何回か繰り返す．このとき，最後に取り出したカードに書かれた数が，得点になるものとする．以下の問に答えよ．

(1)試行が一度だけのとき，得点の期待値は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$である．
(2)試行を二度行う権利を有するとき（試行を一度でやめても，二度目を行ってもよいとき），得点の期待値を最大にするには，$(1)$の結果より，一度目の数字$x$が$[ケ]$以下のときは二度目を行い，$x$が$[コ]$以上のときは一度でやめればよい．したがって，得点の期待値の最大値は$[サ]$となる．

$2$次関数や$3$次関数$y=f(x)$から新しい関数$F(x)$を次のように作る．

実数$x$に対して，$f(\alpha)=f(x)$を満たす最大の$\alpha$をとり
\[ F(x)=\alpha-x \]
と定める．

例えば，$f(x)=x^2$の場合，実数$x$に対して$\alpha$の方程式$f(\alpha)=f(x)$は$\alpha^2=x^2$であり，$\alpha=\pm x$となる．したがって，その$2$つの$\alpha$のうち大きい方をとれば次を得る．

$x<0$のとき$\alpha=-x$により$F(x)=\alpha-x=-2x=2 |x|$
$x \geqq 0$のとき$\alpha=x$により$F(x)=\alpha-x=0$

以下では$f(x)=x^3-3b^2x (b>0)$に対して，上の操作で定めた関数$F(x)$を考える．

(1)$F(-b),\ F(0),\ F(b)$の値を求めよ．
(2)$F(x)=0$となる$x$の範囲を求めよ．また$F(x)>0$となる$x$の範囲を求めよ．
(3)$F(x)>0$となる$x$に対し，$f(\alpha)=f(x)$を満たす最大の$\alpha$を$x$の式で表せ．
(4)関数$y=F(x)$を求め，そのグラフの概形をかけ．また$F(x)$の最大値を求めよ．

$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市へ移動するには電車による方法とバスによる方法の$2$つがある．$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市までの電車の運賃は$420$円である．また，バスの運賃は$480$円であるが，バス会社は$25$人まで乗車できる団体券も発行している．団体券は前売り制であり，前日までに$1$万円で購入しなければならず，払い戻しはできない．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$25$人以上$50$人以下のグループが$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市まで移動する．全員が同じ手段でそろって移動し，グループの人数は前日までに確定しているとする．このとき電車を使って移動した方が運賃が安くなるのはグループの人数が何人以上，何人以下のときか．
(2)前問で求めた，電車を利用した方が運賃が安くなる最大人数より$1$人だけ人数が多いグループが$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市まで移動する．ただし，このうち$1$人は当日移動を取り止める可能性があり，その確率は$p$である．このとき，前日にバスの前売り券を買っておくとすると，当日移動した人の$1$人あたりの運賃の期待値はいくらか．また，これが電車賃より安くなるのは$p$がどのようなときか．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．ただし$(2)$において，適切な$t$の値が複数個ある場合は，それらをすべて記入しなさい．

放物線$y=x^2$を$C$とする．$C$上に点$\mathrm{P}(-1,\ 1)$をとり，$\mathrm{P}$における$C$の法線と$C$との交点のうち，$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする．また$t$を実数として，点$\mathrm{P}$をとおって傾きが$t$の直線を$\ell_1$とし，点$\mathrm{Q}$をとおって$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)点$\mathrm{Q}$の座標は$([あ],\ [い])$である．
(2)点$\mathrm{R}$が点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$と異なるように$t$を変化させるときの$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値は$[う]$である．また$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を最大にする$t$の値をすべて求めると$t=[え]$である．
(3)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とは異なる$C$上の点$\mathrm{T}(u,\ u^2)$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{TP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{TQ}}<0$となるような$u$の範囲は
\[ [お]<u<[か] \]
である．
(4)点$\mathrm{R}$が，不等式$y<x^2$の表す領域に入るような$t$の範囲は
\[ [き]<t<[く] \]
である．

自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$x>0$で定義された関数$f_n(x)$を
\[ f_n(x)=\frac{\log x}{x^n} \quad (x>0) \]
で定める．ただし，$\log$は自然対数を表す．

$t>1$とするとき，座標平面において曲線$y=f_n(x)$の$x \leqq t$の部分，$x$軸，直線$x=t$の$3$つで囲まれている図形の面積を$S_n(t)$とする．また，$4$点$(1,\ 0)$，$(t,\ 0)$，$(t,\ f_n(t))$，$(1,\ f_n(t))$を頂点とする長方形の面積を$T_n(t)$とする．

(1)関数$f_n(x)$が極大となるときの$x$の値と，そのときの$f_n(x)$の極大値を求めよ．
(2)$t$が$t>1$を動くとき，$T_n(t)-S_n(t)$が最大となる$t$の値を求めよ．
(3)$S_1(t)$と$S_n(t) (n \geqq 2)$を求めよ．
(4)各$n \geqq 2$に対して$T_n(t)=S_n(t)$となる$t (t>1)$がただ$1$つあることを示せ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$となることを用いてもよい．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=1$および$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$が成り立つとする．

$\mathrm{AB}=x$とすると，$x$のとり得る値の範囲は$\displaystyle [ケ]<x<\frac{[コ]}{[サ]}$であり，$\mathrm{BC}$を$x$を用いて表すと$\mathrm{BC}=\sqrt{[シ]-[ス]x}$である．このとき$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$f(x)$とおくと，その導関数は
\[ f^\prime(x)=\frac{1}{\sqrt{[シ]-[ス]x}} \left( \frac{[セ]}{[ソ]}-\frac{[タ]}{[チ]}x \right) \]
であるので，$\displaystyle x=\frac{[ツ]}{[テ]}$のとき$f(x)$は最大となる．このとき$\displaystyle \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ト]}{[ナ]} \pi$である．

次の$[　]$をうめよ．

(1)方程式$x^2+2mx+y^2-2(m+1)y+3m^2-4m+6=0$が円を表すとき，$m$の値の範囲は$[　]$である．また，この円の半径が最大となるとき，その円と直線$y=kx+4$とが共有点をもつための$k$の値の範囲は$[　]$である．
(2)$10$本のくじの中に当たりくじが$k$本入っている．ただし，$0<k<10$とする．$\mathrm{A}$がくじを$1$本引き，その引いたくじをもとに戻さないで，続いて$\mathrm{B}$がくじを$1$本引く．このとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がどちらも当たる確率が$\displaystyle \frac{1}{5}$以下となるのは，$k$が$[　]$以下のときである．また，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がどちらもはずれてしまう確率が$\displaystyle \frac{1}{10}$以下となるのは，$k$が$[　]$以上のときである．

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．

(1)実数$x$に対して，$x$以下の最大の整数を$[x]$で表す．例えば$[3]=3$，$[3.14]=3$，$[-3.14]=-4$である．実数$x$について，方程式$4x-3[x]=0$の解の個数は$[　]$であり，方程式$x^2-3x+[3x]=0$の解の個数は$[　]$である．
(2)$a,\ b,\ c$を$a+b+c=\pi$を満たす正の実数とするとき，$\sin (a) \sin (b) \sin (c)$の最大値は$[　]$である．
(3)原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ -1)$について$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形である．$\triangle \mathrm{ABC}$を$1$つの面にもつ正四面体の他の頂点$\mathrm{D}$の座標は$[　]$または$[　]$である．
(4)定積分$\displaystyle \int_3^4 \frac{6x+5}{x^3-3x-2} \, dx$の値は$[　]$である．
(5)$123$から$789$までの$3$桁の数から，$1$つを無作為に選び出すとき，同じ数字が$2$つ以上含まれている確率は$[　]$である．
(6)数直線上の点$\mathrm{P}$は，原点$\mathrm{O}$を出発して，次のルールに従って移動するとする．
「$1$つのさいころを振り，$3$以下の目が出たときは右に$1$，$5$以上の目が出たときは左に$1$，それぞれ動く．また，$4$の目が出たときは動かない．点$\mathrm{P}$の座標が$-1$になったら，さいころを振るのを止め点$\mathrm{P}$はそこにとどまる．それ以外のときは，さいころをまた振る．」
さいころを多くとも$3$回振り移動も終えた後の，点$\mathrm{P}$の座標の期待値は$[　]$である．

次の問題文の空欄にもっとも適する答えを解答群から選び，その記号をマークせよ．ただし，同じ記号を$2$度以上用いてもよい．

$a,\ b,\ r,\ k$は$a>b>0$，$r>0$，$k>0$を満たす定数とする．
座標平面の相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が円$X^2+Y^2=r^2$の上を動くとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S_1$の最大値は次のようにして求められる．まず，$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を固定して点$\mathrm{A}$を動かすとき，その三角形の高さに注意すれば，面積が最大となるのは，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であるような二等辺三角形のときである．したがって，この円に内接する二等辺三角形のうちで面積が最大のものを見つければよい．そこで，$\mathrm{A}(0,\ r)$，$\mathrm{B}(-r \cos \theta,\ r \sin \theta)$，$\mathrm{C}(r \cos \theta,\ r \sin \theta)$ $\displaystyle \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とすれば$S_1$の最大値は$\sin \theta=[ア]$のとき$S_1=[イ] r^2$であることがわかる．
点$\mathrm{P}(x,\ y)$の$y$座標を$k$倍した点を$\mathrm{P}^\prime(x,\ ky)$とおく．相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標を$\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{B}(x_2,\ y_2)$，$\mathrm{C}(x_3,\ y_3)$としたとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$は内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて計算すると$[ウ]$と表される．したがって，点$\mathrm{A}^\prime(x_1,\ ky_1)$，$\mathrm{B}^\prime(x_2,\ ky_2)$，$\mathrm{C}^\prime(x_3,\ ky_3)$のなす三角形の面積を$S_2$とおくと，$S_2$は$S$の$[エ]$倍である．
点$\mathrm{P}(x,\ y)$は楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$の上を動く点とする．$\displaystyle k=\frac{a}{b}$であるとき，点$\mathrm{P}^\prime(x,\ ky)$は原点を中心とする半径$[オ]$の円上を動く．したがって，相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が楕円$E$上を動くとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値は$a,\ b$を用いて$[カ]$と表される．

\begin{itemize}
ア，イの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua -\displaystyle\frac{1}{2} \phantom{AAA} & \marub -\displaystyle\frac{1}{3} \phantom{AAA} & \maruc \displaystyle\frac{1}{3} & \marud \displaystyle\frac{1}{2} \phantom{AAA} & \marue \displaystyle\frac{16}{9} \\ \\
\maruf -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \marug -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} & \maruh \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} & \marui \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \maruj \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} \\ \\
\maruk \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} & \marul \displaystyle\frac{2+\sqrt{3}}{4} & \marum \displaystyle\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{3} & &
\end{array} \]
ウの解答群

\mon[$\marua$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)|$

\mon[$\marub$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)|$

\mon[$\maruc$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$

\mon[$\marud$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$

\mon[$\marue$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(y_3-y_1)+(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$

\mon[$\maruf$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(y_3-y_1)+(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$

\mon[$\marug$] $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$
$\displaystyle -\{(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)\}$

\mon[$\maruh$] $\displaystyle\frac{1}{2} \biggl[ \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$
$\displaystyle -\{(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)\} \biggr]$

エの解答群
\[ \marua \frac{1}{k^3} \quad \marub \frac{1}{k^2} \quad \maruc \frac{1}{k} \quad \marud \frac{2}{k} \quad \marue \frac{k}{2} \quad \maruf k \quad \marug k^2 \quad \maruh k^3 \]
オの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua \displaystyle\frac{a}{2} \phantom{AAA} & \marub \displaystyle\frac{a^2}{4} \phantom{AAA} & \maruc a \phantom{AAA} & \marud a^2 \phantom{AAA} & \marue ab \\
\maruf \displaystyle\frac{b}{2} & \marug \displaystyle\frac{b^2}{4} & \maruh b & \marui b^2 & \maruj (ab)^2 \phantom{\frac{{[　]}^2}{2}}
\end{array} \]
カの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}ab \phantom{AA} & \marub \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} ab \phantom{AA} & \maruc \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} ab \phantom{AA} & \marud \displaystyle\frac{16}{9}ab \phantom{AA} & \marue \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} ab \\ \\
\maruf \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{a^3}{b} & \marug \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} \frac{a^3}{b} & \maruh \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} \frac{a^3}{b} & \marui \displaystyle\frac{16}{9} \frac{a^3}{b} & \maruj \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} \frac{a^3}{b}
\end{array} \]
\end{itemize}

$n$を自然数，$c$および$d$を実数として，数列$\{a_n\}$を初項$c$，公差$d$の等差数列，数列$\{b_n\}$を初項$3$，公差$2$の等差数列とするとき，以下の設問に答えなさい．

(1)$d \neq 0$のとき，
\[ \sum_{k=1}^n e^{a_k}=[$1$] \]
となる．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(2)数列$\{f_n\}$の第$n$項を$f_n=b_ne^{a_n}$と定義する．$d=-0.08$のとき，$f_n$の値が最大になるのは$n=[$2$]$のときである．