$a$を正の実数とする．$xy$平面上に放物線$C:y=x^2-2ax+a^2+1$と2つの直線$\ell_1:y=-2ax+6$，$\ell_2:y=2$がある．$\ell_1$と$\ell_2$の交点が不等式$y>x^2-2ax+a^2+1$の表す領域にあるとき，以下の問に答えよ．

(1)$a$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$C$と$\ell_1$の2つの交点の$x$座標，$C$と$\ell_2$の2つの交点の$x$座標をそれぞれ求めよ．
(3)$C$と$\ell_1$の2つの交点間の距離を求めよ．
(4)(3)で求めた距離が最大となるときの$a$の値を求めよ．

$1$から$8$までの番号が$1$つずつ重複せずに書かれた$8$個の玉が，箱の中に入っている．$1$回目の操作として，箱から$3$個の玉を同時に取り出し，最大番号と最小番号の玉は箱に戻さず，残り$1$個を箱に戻す．この状態から$2$回目の操作として，さらに箱から$3$個の玉を同時に取り出す．$1$回目の操作で取り出した$3$個の玉の最大番号と最小番号の差を$n_1$，$2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の最大番号と最小番号の差を$n_2$とする．以下の問に答えよ．

(1)$n_1 \geqq 3$となる確率を求めよ．
(2)$2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の中に，$5$の番号が書かれた玉が含まれる確率を求めよ．
(3)$n_1+n_2 \leqq 11$となる確率を求めよ．

Oを原点とする座標平面上に点A$(0,\ 1)$があり，点Aからの距離が4である点P$(x,\ y)$が$x>0$，$y>1$をみたすように動く．直線APが$x$軸の正の向きとなす角を$\theta$，点Pから$x$軸に垂線を下ろしたときの交点をQとする．以下の問いに答えよ．

(1)点Pの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)四角形OAPQの面積$S$を$\theta$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた$S$が最大となるときの$\sin \theta$の値を求めよ．
(4)四角形OAPQを$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積$V$を$\theta$を用いて表せ．
(5)(4)で求めた$V$が$\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{4}$で最大となることを示せ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{P}_0(1,\ 1)$，$\mathrm{Q}_0(1,\ 0)$がある．ある$p \ (0<p<1)$に対して，点$\mathrm{P}_1(p,\ p)$，$\mathrm{Q}_1(p,\ 0)$を定め，さらに，自然数$n$について点$\mathrm{P}_{n+1}$，$\mathrm{Q}_{n+1}$を次のように定める．
\begin{itemize}
点$\mathrm{Q}_n$を通り直線$\mathrm{Q}_0 \mathrm{P}_1$と平行な直線と，直線$\mathrm{OP}_0$の交点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．
点$\mathrm{P}_{n+1}$を通り$y$軸と平行な直線と，$x$軸の交点を$\mathrm{Q}_{n+1}$とする．
\end{itemize}
また，$\triangle \mathrm{Q}_{n-1} \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$の面積を$S_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$S_1$を$p$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}_{n-1}$の$x$座標を$q$とするとき，点$\mathrm{Q}_n$の$x$座標を$p,\ q$を用いて表せ．
(3)$S_n$を$p,\ n$を用いて表せ．
(4)$n$を定数として，$p$を$0<p<1$の範囲で動かすとき，$S_n$を最大にする$p$とそのときの$S_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(5)(4)で求めた$S_n$に対して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nS_n$を求めよ．必要であれば，自然対数の底$e$について$\displaystyle \lim_{h \to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e$が成り立つことを用いてよい．

（図は省略）

実数$x$に対し，$[\,x\,]$を$x$以下の最大の整数とする．たとえば，$\displaystyle [\,2\,]=2,\ \left[ \frac{7}{5} \right]=1$である．数列$\{a_k\}$を
\[ a_k=\left[ \frac{3k}{5} \right] \quad (k=1,\ 2,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$を求めよ．
(2)$a_{k+5}=a_k+3 \ (k=1,\ 2,\ \cdots)$を示せ．
(3)自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{5n}a_k$を求めよ．

実数$x$に対し，$[\,x\,]$を$x$以下の最大の整数とする．たとえば，$\displaystyle [\,2\,]=2,\ \left[ \frac{7}{5} \right]=1$である．数列$\{a_k\}$を
\[ a_k=\left[ \frac{3k}{5} \right] \quad (k=1,\ 2,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$を求めよ．
(2)$a_{k+5}=a_k+3 \ (k=1,\ 2,\ \cdots)$を示せ．
(3)自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{5n}a_k$を求めよ．

実数$x$に対し，$[\,x\,]$を$x$以下の最大の整数とする．たとえば，$\displaystyle [\,2\,]=2,\ \left[ \frac{7}{5} \right]=1$である．数列$\{a_k\}$を
\[ a_k=\left[ \frac{3k}{5} \right] \quad (k=1,\ 2,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$を求めよ．
(2)$a_{k+5}=a_k+3 \ (k=1,\ 2,\ \cdots)$を示せ．
(3)自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{5n}a_k$を求めよ．

実数$x$に対し，$[\,x\,]$を$x$以下の最大の整数とする．すなわち，$[\,x\,]$は整数であり$[\,x\,] \leqq x < [\,x\,]+1$を満たすとする．たとえば，$\displaystyle [\,2\,]=2,\ \left[ \frac{5}{3} \right]=1$である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)すべての実数$a$とすべての整数$m$に対し，$[\,a+m\,]=[\,a\,]+m$が成り立つことを示せ．
(2)数列$\{a_k\}$を$\displaystyle a_k=\left[ \frac{2k}{3} \right] \ (k=1,\ 2,\ \cdots)$と定める．自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k$を求めよ．

$a$を正の実数とし，$\displaystyle f_n(x)=\int_0^x e^{-at}\sin nt \, dt \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f_n(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{3}{2}$とするとき，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f_n(x)$が最大となる自然数$n$，およびそのときの最大値を求めよ．

$n$を$2$以上の整数とし，袋の中に，白玉が$5$個，赤玉が$n$個入っているとする．この袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，取り出した玉が白玉と赤玉$1$個ずつである確率を$p_n$とし，また，取り出した白玉の数を$X$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$p_n$を求めよ．
(2)$p_n$が最大になる$n$の値と，そのときの$p_n$の値を求めよ．
(3)$X$の期待値が$0.625$になるとき，$n$の値を求めよ．