空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -2,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -4,\ 4)$に対して，線分$\mathrm{AB}$を直径とする球$S$の中心を$\mathrm{C}$とする．

(1)球$S$の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$，および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して，$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．ただし，$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である．

空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -2,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -4,\ 4)$に対して，線分$\mathrm{AB}$を直径とする球$S$の中心を$\mathrm{C}$とする．

(1)球$S$の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$，および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して，$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．ただし，$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である．

$xy$平面上において，媒介変数$\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$によって$x=a(2 \cos \theta+\cos 2\theta+1)$，$y=a(2 \sin \theta+\sin 2\theta)$と表される下図の曲線について考える．ただし，$a$は正の定数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{dx}{d\theta},\ \frac{dy}{d\theta}$を求めよ．
(2)$x$が最大となる点を点$\mathrm{A}$，$y$が最大となる点を点$\mathrm{B}$，$x$が最小となる点を点$\mathrm{C}$と定める．このとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標および各点での媒介変数$\theta$の値を求めよ．
(3)曲線と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
（図は省略）

次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=-\frac{1}{5},\quad a_n-a_{n+1}=2(3n+1)(n-3)a_na_{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)$1$以上の整数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(2)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$a_n<0$を満たす$a_n$の値のうち，最大のものを$M$とする．$a_n=M$であるような$n$を求めよ．

$m$を実数とする．$2$つの関数
\[ f(x)=2 |x(x-3)|,\quad g(x)=mx+\frac{1}{2} \]
について，次の各問に答えよ．

(1)方程式$f(x)=g(x)$が異なる$3$つの実数解をもつときの$m$の値をすべて求めよ．
(2)$m$は$(1)$で求めた値のうち最大のものとする．関数$y=f(x)$のグラフと関数$y=g(x)$のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ．

中心の座標が$(1,\ 1)$，半径が$2 \sqrt{2}$である座標平面上の円を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して$t=x+y$とおく．

(1)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき$t$が取り得る値の範囲は$[$1$][$2$] \leqq t \leqq [$3$][$4$]$である．特に$t=0$のとき，$x^2+y^2=[$5$]$が成り立つ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき，$xy$の値は$t=[$6$]$のとき最小値$\displaystyle \frac{[$7$][$8$]}{[$9$]}$をとる．
(3)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき，$x^3+y^3$の値は$t=[$10$]+\sqrt{[$11$][$12$]}$のとき最大になる．

次の問いに答えよ．

(1)整式$P(x)$は実数を係数にもつ$x$の$3$次式であり，$x^3$の係数は$1$である．$P(x)$を$x-7$で割ると$8$余り，$x-9$で割ると$12$余る．方程式$P(x)=0$は$a+bi$を解に持つ．$a,\ b$は$1$桁の自然数であり，$i$は虚数単位とする．
ただし$a,\ b$の組み合わせは，$2a+b$が連続する$2$つの整数の積の値と等しくなるもののうち，$a-b$が最大となるものとする．このとき，

(i) 整式$P(x)$を$(x-7)(x-9)$で割ると，余りは$[$1$]x-[$2$]$である．
(ii) $a=[$3$]$，$b=[$4$]$であり，方程式$P(x)=0$の実数解は$[$5$]$である．

(2)$xy$平面上に曲線$C_1:y=-x^2-x+8$がある．$C_1$上の動点$\mathrm{A}$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した点$\mathrm{B}$の軌跡を$C_2$とする．
$C_1$と$C_2$の$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とし，また，$C_1,\ C_2$と直線$x=k$との交点をそれぞれ$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．ただし，$k$は$\alpha<k<\beta$を満たす実数とする．このとき，

(i) $C_2$の方程式は$y=x^2-[$6$]x+[$7$]$である．

(ii) 三角形$\mathrm{QRS}$の面積は$\displaystyle k=\frac{[$8$]}{[$9$]}$で最大となる．


(3)$xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$と，$y$軸の正の部分を始線として点$\mathrm{O}$を中心に回転する$2$つの動径$L_1,\ L_2$がある．円$C$と$L_1,\ L_2$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．動径$L_1,\ L_2$の表す角をそれぞれ$\theta_1,\ \theta_2$とおき，$\theta_1=2\pi t,\ \theta_2=-\pi t$とする．ただし$t$は，$t \geqq 0$を満たす実数である．このとき，

(i) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致する$t$のうち，$t=0$を除く最小の$t$の値は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である．

(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標の和の最小値は$\displaystyle \frac{[$12$][$13$]}{[$14$]}$である．


(4)直角三角形$\mathrm{AOB}$（$\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$）に内接する半径$r$の円の中心を$\mathrm{P}$とする．辺$\mathrm{AB}$と円の接点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a$，線分$\mathrm{BQ}$の長さを$b$とする．三角形$\mathrm{AOB}$に対して，自然数$l,\ m,\ n (n<m<l)$は，$l \overrightarrow{\mathrm{OP}}+m \overrightarrow{\mathrm{AP}}+n \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす．このとき，

(i) 三角形$\mathrm{AOB}$の$3$辺の長さの合計は$[$15$]a+[$16$]b+[$17$]r$である．

(ii) $l=17$のとき，$m=[$18$][$19$]$，$n=[$20$]$であり，$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{[$21$]}{[$22$][$23$]}$である．

$1$個のさいころを$3$回投げるとき，出る目の最大値を$m$とする．ただし，すべての目が等しいときは，それを$m$とする．

(1)$m=4$となる確率を求めよ．
(2)$m=k$となる確率を$p_k$とするとき，$p_k$を$k$を用いて表せ．ただし，$2 \leqq k \leqq 6$とする．
(3)$(2)$で求めた$p_k$を最大にする$k$の値を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる最も適当な数または式を記入しなさい．

(1)円$x^2+y^2-6x+12y+25=0$を$C_1$とし，中心が原点で，円$C_1$に外接する円を$C_2$とする．このとき円$C_2$の半径は$[ケ]$である．また$2$つの円$C_1$，$C_2$の共有点の座標は$[コ]$である．
(2)不等式$3^{2x}+1<3^{x+2}+3^{x-2}$を解くと，$[サ]<x<[シ]$である．
(3)自然数$n$に対して$m \leqq \log_2 n<m+1$を満たす整数$m$を$a_n$で表すことにする．このとき$a_{2016}=[ス]$である．また，自然数$k$に対して$a_n=k$を満たす$n$は全部で$[セ]$個あり，そのような$n$のうちで最大のものは$n=[ソ]$である．さらに$\displaystyle \sum_{n=1}^{2016}a_n=[タ]$である．
（ヒント：$2^{10}=1024$）

以下の問に答えよ．

(1)次の空欄にあてはまる式または数を記入せよ．
半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する長方形$\mathrm{ABCD}$がある．角$\mathrm{OAB}$を$\displaystyle x \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$とするとき，長方形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ア]$となる．したがって，$x=[イ]$のとき最大面積$[ウ]$をとる．
(2)半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の内角
\[ \mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1} \mathrm{A}_{k+2} \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n,\ n \geqq 3 \;;\; \text{ただし，} \mathrm{A}_{n+1}=\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_{n+2}=\mathrm{A}_2) \]
がすべて$\alpha (0<\alpha<\pi)$に等しいとする．このとき，次の問に答えよ．

(i) $a_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$は弧$\mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1}$の長さを表すとする．角$\displaystyle \mathrm{OA}_k \mathrm{A}_{k+1}=\theta_k \left( 0<\theta_k<\frac{\pi}{2} \right)$とおくとき，$a_k$，$a_{k+1}$および$a_k+a_{k+1}$を，$\theta_k$，$\alpha$を用いて表せ．
(ii) $n$が奇数のとき，$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$は正$n$角形となることを示せ．
(iii) $n$が偶数のとき，$\theta_1=\theta_3=\cdots =\theta_{n-1}$を示せ．さらに，その等しい角を$\theta$とおいて，$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の面積$S_n(\theta)$を$\alpha$，$\theta$を用いて表せ．
\mon[$\tokeishi$] $\alpha$を$n$の式で表し，$(ⅲ)$における$S_n(\theta)$の最大値とそのときの$\theta$を$n$の式で表せ．

（図は省略）