座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を始点とし第$1$象限の点$\mathrm{A}$を通る半直線$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．点$\mathrm{B}$は$x$軸上にあり，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a$とする．原点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}$であることを示し，$t$を$a,\ b,\ \theta$で表せ．
(2)$\theta$を固定し$b=1$とする．点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上に存在するような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)(2)において，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値を求めよ．
(4)(2)において，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とする．面積が最大となる$\triangle \mathrm{OAB}$は直角三角形であることを示せ．

座標平面上の点$\mathrm{P}(0,\ -1)$を中心とする半径$2$の円を$C$とする．$C$上に点$\mathrm{Q}(0,\ 1)$をとる．点$\mathrm{R}$を$C$上の点で$\angle \mathrm{QPR}=120^\circ$をみたし，$\mathrm{R}$の$x$座標は負であるようにとる．$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$を両端として，中心角が$120^\circ$である$C$の弧を$A$とする．さらに，$a$を実数の定数として，直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+a$を$\ell$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$A$と$\ell$の共有点の個数を求めよ．
(3)$A$と$\ell$が相異なる$2$つの共有点をもつとき，$A$と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$が最大になるときの$a$の値と，そのときの$S(a)$の値を求めよ．

曲線$\displaystyle y=\frac{x^2}{2}$（ただし，$x \leqq 0$）上に点$\displaystyle \mathrm{P} \left( a,\ \frac{a^2}{2} \right)$を，曲線$y=x^2$（ただし，$x \geqq 0$）上に点$\mathrm{Q}(b,\ b^2)$をとる．$\mathrm{P}$および$\mathrm{Q}$における接線をそれぞれ$\ell,\ m$とする．$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とし，$\theta=\angle \mathrm{PRQ}$とする．$2b-a=4$のとき，次の問いに答えよ．

(1)$\theta$を直角にする$a$の値を求めよ．
(2)$\theta$が直角でないとき，$\tan \theta$を$a$で表せ．
(3)$\theta$が最大および最小となる$a$の値をそれぞれ求めよ．

$xy$平面上の$3$点$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(-b,\ a)$，$\mathrm{C}(a^2-b^2,\ 4ab)$を考える．ただし，$a,\ b$はそれぞれ$a>0$，$b>0$，$a+b=1$を満たす任意の実数である．次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$が条件を満たしながら動くとき，点$\mathrm{C}$が描く図形を図で示せ．
(2)$\angle \mathrm{ACB}=\theta$とおくとき，$\theta$を最小にする$a$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を最大にする$a$の値を求めよ．

座標平面上の点$(x,\ y)$が次の方程式を満たす．
\[ 2x^2+4xy+3y^2+4x+5y-4=0 \]
このとき，$x$のとりうる最大の値を求めよ．

長さ$1$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする円周$C$上に点$\mathrm{P}$をとる．ただし，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とは一致していないとする．線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{Q}$を$\displaystyle \angle \mathrm{BPQ} = \frac{\pi}{3}$となるようにとり，線分$\mathrm{BP}$の長さを$x$とし，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$y$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$y$を$x$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を除いた円周$C$上を動くとき，$y$が最大となる$x$を求めよ．

$xy$平面上に$n$個の点P$_k(x_k,\ y_k) (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$がある．
\[ a=\sum_{k=1}^n x_k^2, \quad b=\sum_{k=1}^n y_k^2, \quad c= \sum_{k=1}^n x_ky_k \]
とおく．さらに，P$_k$と直線$\ell: x\cos \theta + y\sin \theta = 0$の距離を$d_k$とし，
\[ L = \sum_{k=1}^n d_k^2 \]
とおく．次の問いに答えよ．

(1)$L$を$a,\ b,\ c,\ \theta$を用いて表せ．
(2)$\theta$が$0 \leqq \theta < \pi$の範囲を動くとき，$L$の最大値と最小値を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)$a \neq b$または$c \neq 0$のとき，$L$を最大にする$\ell$を$\ell_1$，最小にする$\ell$を$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$は直交することを示せ．

さいころを$1000$回投げるとき，$1$の目がちょうど$k$回出る確率を$P_k$とおく．$P_k$が最大となる$k$を求めよ．

$n$を2以上の整数とする．1から$n$までの整数が1つずつ書かれている$n$枚のカードがある．ただし，異なるカードには異なる整数が書かれているものとする．この$n$枚のカードから，1枚のカードを無作為に取り出して，書かれた整数を調べてからもとに戻す．この試行を3回繰り返し，取り出したカードに書かれた整数の最小値を$X$，最大値を$Y$とする．次の問に答えよ．ただし，$j$と$k$は正の整数で，$j+k\leqq n$を満たすとする．また，$s$は$n-1$以下の正の整数とする．

(1)$X \geqq j$かつ$Y \leqq j+k$となる確率を求めよ．
(2)$X=j$かつ$Y=j+k$となる確率を求めよ．
(3)$Y-X=s$となる確率を$P(s)$とする．$P(s)$を求めよ．
(4)$n$が偶数のとき，$P(s)$を最大にする$s$を求めよ．

$n$を2以上の整数とする．1から$n$までの整数が1つずつ書かれている$n$枚のカードがある．ただし，異なるカードには異なる整数が書かれているものとする．この$n$枚のカードから，1枚のカードを無作為に取り出して，書かれた整数を調べてからもとに戻す．この試行を3回繰り返し，取り出したカードに書かれた整数の最小値を$X$，最大値を$Y$とする．次の問に答えよ．ただし，$j$と$k$は正の整数で，$j+k\leqq n$を満たすとする．また，$s$は$n-1$以下の正の整数とする．

(1)$X \geqq j$かつ$Y \leqq j+k$となる確率を求めよ．
(2)$X=j$かつ$Y=j+k$となる確率を求めよ．
(3)$Y-X=s$となる確率を$P(s)$とする．$P(s)$を求めよ．
(4)$n$が偶数のとき，$P(s)$を最大にする$s$を求めよ．