「最大」について
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(2ページ目:全460問中11問~20問を表示)![名古屋大学](./img/univ/nagoya.png)
$2$つの円$C:(x-1)^2+y^2=1$と$D:(x+2)^2+y^2=7^2$を考える.また原点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)円$C$上に,$y$座標が正であるような点$\mathrm{P}$をとり,$x$軸の正の部分と線分$\mathrm{OP}$のなす角を$\theta$とする.このとき,点$\mathrm{P}$の座標と線分$\mathrm{OP}$の長さを$\theta$を用いて表せ.
(2)$(1)$でとった点$\mathrm{P}$を固定したまま,点$\mathrm{Q}$が円$D$上を動くとき,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が最大になるときの$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動き,点$\mathrm{Q}$が円$D$上を動くとき,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値を求めよ.
ただし$(2)$,$(3)$においては,$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$が同一直線上にあるときは,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$0$であるとする.
(1)円$C$上に,$y$座標が正であるような点$\mathrm{P}$をとり,$x$軸の正の部分と線分$\mathrm{OP}$のなす角を$\theta$とする.このとき,点$\mathrm{P}$の座標と線分$\mathrm{OP}$の長さを$\theta$を用いて表せ.
(2)$(1)$でとった点$\mathrm{P}$を固定したまま,点$\mathrm{Q}$が円$D$上を動くとき,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が最大になるときの$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動き,点$\mathrm{Q}$が円$D$上を動くとき,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値を求めよ.
ただし$(2)$,$(3)$においては,$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$が同一直線上にあるときは,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$0$であるとする.
![千葉大学](./img/univ/chiba.png)
曲線$C:y=\sin x$上を点$\displaystyle \mathrm{P}(t,\ \sin t) \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$が動く.正の実数$r$に対して,$\mathrm{P}$における$C$の接線上に$\mathrm{PQ}=r$となるように点$\mathrm{Q}$をとる.ただし,$\mathrm{Q}$の$x$座標は$t$よりも大きいとする.
(1)$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$のときに$\mathrm{Q}$の$y$座標が最大となるような$r$の値を求めよ.
(1)$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$のときに$\mathrm{Q}$の$y$座標が最大となるような$r$の値を求めよ.
![大阪大学](./img/univ/osaka.png)
正の整数$n$に対して
\[ S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \]
とおき,$1$以上$n$以下のすべての奇数の積を$A_n$とする.
(1)$\log_2 n$以下の最大の整数を$N$とするとき,$2^NA_nS_n$は奇数の整数であることを示せ.
(2)$\displaystyle S_n=2+\frac{m}{20}$となる正の整数の組$(n,\ m)$をすべて求めよ.
(3)整数$a$と$0 \leqq b<1$をみたす実数$b$を用いて,
\[ A_{20}S_{20}=a+b \]
と表すとき,$b$の値を求めよ.
\[ S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \]
とおき,$1$以上$n$以下のすべての奇数の積を$A_n$とする.
(1)$\log_2 n$以下の最大の整数を$N$とするとき,$2^NA_nS_n$は奇数の整数であることを示せ.
(2)$\displaystyle S_n=2+\frac{m}{20}$となる正の整数の組$(n,\ m)$をすべて求めよ.
(3)整数$a$と$0 \leqq b<1$をみたす実数$b$を用いて,
\[ A_{20}S_{20}=a+b \]
と表すとき,$b$の値を求めよ.
![高知大学](./img/univ/kouchi.png)
自然数$n$と多項式$f(x)$に対して,$\displaystyle a_n=\int_{-1}^1 x^{n-1}f(x) \, dx$で与えられる数列$\{a_n\}$を考える.このとき,次の問いに答えよ.
(1)$f(x)$が$2$次式で$a_1=0$のとき,$a_3 \neq 0$を示せ.
(2)$f(x)$が$2$次式で$a_1=1$,$a_2=0$,$\displaystyle a_3=\frac{3}{5}$のとき,一般項$a_n$を求めよ.
(3)$f(x)$を$k$次式とする.$f(x)$の係数の絶対値のうち最大なものを$M$とおくとき,任意の自然数$n$に対して,$\displaystyle |a_{2n|} \leqq \frac{(k+1)M}{2n+1}$が成り立つことを示せ.
(4)任意の多項式$f(x)$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$が成り立つことを示せ.
(1)$f(x)$が$2$次式で$a_1=0$のとき,$a_3 \neq 0$を示せ.
(2)$f(x)$が$2$次式で$a_1=1$,$a_2=0$,$\displaystyle a_3=\frac{3}{5}$のとき,一般項$a_n$を求めよ.
(3)$f(x)$を$k$次式とする.$f(x)$の係数の絶対値のうち最大なものを$M$とおくとき,任意の自然数$n$に対して,$\displaystyle |a_{2n|} \leqq \frac{(k+1)M}{2n+1}$が成り立つことを示せ.
(4)任意の多項式$f(x)$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$が成り立つことを示せ.
![島根大学](./img/univ/shimane.png)
$p,\ q,\ \alpha,\ \beta$を実数とし,$p>0$,$q>0$,$\alpha<\beta$とする.$2$次関数$f(x)=p^2(x-\alpha)^2$と$g(x)=q^2(x-\beta)^2$について,次の問いに答えよ.
(1)$2$つの放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標で,$\alpha$と$\beta$の間にあるものを求めよ.
(2)$\alpha \leqq x \leqq \beta$において,$2$つの放物線$y=f(x)$,$y=g(x)$と$x$軸とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
(3)$pq=1$であるとき,$S$を最大にする$p,\ q$の値を求めよ.
(1)$2$つの放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標で,$\alpha$と$\beta$の間にあるものを求めよ.
(2)$\alpha \leqq x \leqq \beta$において,$2$つの放物線$y=f(x)$,$y=g(x)$と$x$軸とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
(3)$pq=1$であるとき,$S$を最大にする$p,\ q$の値を求めよ.
![お茶の水女子大学](./img/univ/ocha.png)
サイコロを何回か振って最後に出た目を得点とするゲームを行う.
(1)サイコロを$1$回だけ振ることができるときの得点の期待値$E_1$を求めよ.
(2)サイコロを$2$回まで振ることができるとき,$1$回目に$m$以上の目が出たらそこでやめ,$m$より小さい目が出たら$2$回目を振ることにする.このときの得点の期待値$E_2(m)$を$m$を用いて表し,$E_2(m)$が最大となる$m$を求めよ.
(3)$n$を$2$以上の自然数,$m_1,\ \cdots,\ m_{n-1}$を$6$以下の自然数とする.$n$回までサイコロを振ることができるとき,$i$回目に$m_{n-i}$以上の目が出たらそこでやめ,$m_{n-i}$より小さい目が出たら$i+1$回目を振るという規則でサイコロを振り続ける.ただし,$n$回サイコロを振ったらそこでやめる.このときの得点の期待値を$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$とする.以下の問いに答えよ.
(i) $E_3(m_1,\ m_2)$を$E_2(m_1)$,$m_2$を用いて表し,$E_3(m_1,\ m_2)$が最大となる$m_1,\ m_2$とそのときの$E_3(m_1,\ m_2)$の値を求めよ.
(ii) $n \geqq 4$とする.$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$の最大値を$e_{n-1}$とすると,$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$が最大となるのは,$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$が$e_{n-1}$となり,かつ$m_{n-1}$が$e_{n-1}$以上の最小の自然数となるときである.このことを示せ.
ただし,得点が$k$となる確率を$p(k)$としたとき,
\[ p(1)+2p(2)+3p(3)+4p(4)+5p(5)+6p(6) \]
を得点の期待値とよぶ.
(1)サイコロを$1$回だけ振ることができるときの得点の期待値$E_1$を求めよ.
(2)サイコロを$2$回まで振ることができるとき,$1$回目に$m$以上の目が出たらそこでやめ,$m$より小さい目が出たら$2$回目を振ることにする.このときの得点の期待値$E_2(m)$を$m$を用いて表し,$E_2(m)$が最大となる$m$を求めよ.
(3)$n$を$2$以上の自然数,$m_1,\ \cdots,\ m_{n-1}$を$6$以下の自然数とする.$n$回までサイコロを振ることができるとき,$i$回目に$m_{n-i}$以上の目が出たらそこでやめ,$m_{n-i}$より小さい目が出たら$i+1$回目を振るという規則でサイコロを振り続ける.ただし,$n$回サイコロを振ったらそこでやめる.このときの得点の期待値を$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$とする.以下の問いに答えよ.
(i) $E_3(m_1,\ m_2)$を$E_2(m_1)$,$m_2$を用いて表し,$E_3(m_1,\ m_2)$が最大となる$m_1,\ m_2$とそのときの$E_3(m_1,\ m_2)$の値を求めよ.
(ii) $n \geqq 4$とする.$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$の最大値を$e_{n-1}$とすると,$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$が最大となるのは,$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$が$e_{n-1}$となり,かつ$m_{n-1}$が$e_{n-1}$以上の最小の自然数となるときである.このことを示せ.
ただし,得点が$k$となる確率を$p(k)$としたとき,
\[ p(1)+2p(2)+3p(3)+4p(4)+5p(5)+6p(6) \]
を得点の期待値とよぶ.
![宇都宮大学](./img/univ/utsunomiya.png)
$a$を$0<a<1$である実数とする.座標平面において,直線$y=a$と$x$軸および$2$直線$x=a$,$x=1$で囲まれた部分を$D_1$とし,曲線$y=(x-1)^2+1$と直線$y=a$および$2$直線$x=0$,$x=a$で囲まれた部分を$D_2$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)座標平面に$D_1$と$D_2$を図示せよ.
(2)$D_1$の面積$S_1$を$a$の式で表せ.
(3)$D_2$の面積$S_2$を$a$の式で表せ.
(4)$S=S_1+S_2$とするとき,$S$を最大にする$a$の値を求めよ.
(1)座標平面に$D_1$と$D_2$を図示せよ.
(2)$D_1$の面積$S_1$を$a$の式で表せ.
(3)$D_2$の面積$S_2$を$a$の式で表せ.
(4)$S=S_1+S_2$とするとき,$S$を最大にする$a$の値を求めよ.
![長崎大学](./img/univ/nagasaki.png)
楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{a^2}=1 (a>0)$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}(0,\ a)$,$\mathrm{B}(0,\ -a)$とする.$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき,点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ a \sin \theta)$はこの楕円上を動く.以下の問いに答えよ.
(1)線分$\mathrm{AP}$の長さを$l$とする.$\displaystyle X=\sin \theta \left( -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のとき,$Y=l^2$となる関数を$Y=f(X)$とする.$f(X)$を$X$の式で表せ.
(2)$0<a<1$の場合.
$(1)$の関数$f(X)$の最大値を$a$を用いて表し,そのときの$X$の値を求めよ.
(3)$a=2$の場合.
$(1)$の関数$f(X)$の値が最大となるときの点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}_1$とする.$f(X)$の最大値と$\mathrm{P}_1$の座標を求めよ.また,点$\mathrm{A}(0,\ 2)$を中心とし点$\mathrm{P}_1$を通る円を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ.
(1)線分$\mathrm{AP}$の長さを$l$とする.$\displaystyle X=\sin \theta \left( -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のとき,$Y=l^2$となる関数を$Y=f(X)$とする.$f(X)$を$X$の式で表せ.
(2)$0<a<1$の場合.
$(1)$の関数$f(X)$の最大値を$a$を用いて表し,そのときの$X$の値を求めよ.
(3)$a=2$の場合.
$(1)$の関数$f(X)$の値が最大となるときの点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}_1$とする.$f(X)$の最大値と$\mathrm{P}_1$の座標を求めよ.また,点$\mathrm{A}(0,\ 2)$を中心とし点$\mathrm{P}_1$を通る円を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ.
![宇都宮大学](./img/univ/utsunomiya.png)
$a$を$0<a<1$である実数とする.座標平面において,直線$y=a$と$x$軸および$2$直線$x=a$,$x=1$で囲まれた部分を$D_1$とし,曲線$y=(x-1)^2+1$と直線$y=a$および$2$直線$x=0$,$x=a$で囲まれた部分を$D_2$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)座標平面に$D_1$と$D_2$を図示せよ.
(2)$D_1$の面積$S_1$を$a$の式で表せ.
(3)$D_2$の面積$S_2$を$a$の式で表せ.
(4)$S=S_1+S_2$とするとき,$S$を最大にする$a$の値を求めよ.
(1)座標平面に$D_1$と$D_2$を図示せよ.
(2)$D_1$の面積$S_1$を$a$の式で表せ.
(3)$D_2$の面積$S_2$を$a$の式で表せ.
(4)$S=S_1+S_2$とするとき,$S$を最大にする$a$の値を求めよ.
![愛媛大学](./img/univ/ehime.png)
空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -2,\ 2)$,$\mathrm{B}(2,\ -4,\ 4)$に対して,線分$\mathrm{AB}$を直径とする球$S$の中心を$\mathrm{C}$とする.
(1)球$S$の方程式を求めよ.
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ.
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$,および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ.
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して,$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ.ただし,$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である.
(1)球$S$の方程式を求めよ.
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ.
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$,および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ.
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して,$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ.ただし,$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である.