$3$点$\mathrm{A}(1,\ 4)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(-2,\ 7)$を通る$2$次関数$y=f(x)$上に点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$がある．ただし，$-2<p \leqq -1$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$f(x)$を求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{ACP}$の面積を$p$の式で表しなさい．
(3)三角形$\mathrm{ACP}$の面積が最大となる点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

$n$を自然数，$m$を$2n$以下の自然数とする．$1$から$n$までの自然数が$1$つずつ記されたカードが，それぞれの数に対して$2$枚ずつ，合計$2n$枚ある．この中から，$m$枚のカードを無作為に選んだとき，それらに記された数がすべて異なる確率を$P_n(m)$と表す．ただし$P_n(1)=1$とする．さらに，
\[ E_n(m)=mP_n(m) \]
とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$P_3(2),\ P_3(3),\ P_3(4)$を求めよ．
(2)$E_{10}(m)$が最大となるような$m$を求めよ．
(3)自然数$n$に対し，
\[ E_n(m)>E_n(m+1) \]
を満たす自然数$m$の最小値を$f(n)$とするとき，$f(n)$を$n$を用いて表せ．ただし，ガウス記号$[ \quad ]$を用いてよい．ここで，実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す．

$n$を自然数，$m$を$2n$以下の自然数とする．$1$から$n$までの自然数が$1$つずつ記されたカードが，それぞれの数に対して$2$枚ずつ，合計$2n$枚ある．この中から，$m$枚のカードを無作為に選んだとき，それらに記された数がすべて異なる確率を$P_n(m)$と表す．ただし$P_n(1)=1$とする．さらに，
\[ E_n(m)=mP_n(m) \]
とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$P_3(2),\ P_3(3),\ P_3(4)$を求めよ．
(2)$E_{10}(3),\ E_{10}(4),\ E_{10}(5)$の中で最大のものはどれか．
(3)自然数$n$に対し，
\[ E_n(m)>E_n(m+1) \]
を満たす自然数$m$の最小値を$f(n)$とするとき，$f(n)$を$n$を用いて表せ．ただし，ガウス記号$[ \quad ]$を用いてよい．ここで，実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す．

$x^2+2xy+3y^2=27$を満たす整数の組$(x,\ y)$は$[エ]$組あり，その中で$x-y$の値が最大になる組は，$(x,\ y)=([オ],\ [カ])$である．

次の$[　]$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

$A$を与えられた自然数として，
\[ a_1=3A,\quad a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
a_n-2 & (n \text{が奇数のとき}) \\
a_n-1 & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \]
によって定まる数列$\{a_n\}$を考える．

(1)$a_5,\ a_6$を$A$を用いて表すと，$a_5=[チ]$，$a_6=[ツ]$である．また一般に，$a_n$を$n$と$A$を用いて表すと，
\[ a_n=\left\{ \begin{array}{ll}
[テ] & (n \text{が奇数のとき}) \\
[ト] & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \]
となる．
(2)$a_n>0$となる最大の自然数$n$を$N$とする．$N$を$A$を用いて表すと$N=[ナ]$であり，また$\displaystyle \sum_{n=1}^N a_n=[ニ]$である．

$a$と$b$は$1$以上$5$以下の自然数とし，放物線$C:y=-x^2+ax-b$を定める．このとき，次の問に答えよ．

(1)放物線$C$が$x$軸と相異なる$2$点で交わるような$(a,\ b)$の組は何通りあるか求めよ．
(2)放物線$C$が$x$軸と相異なる$2$点で交わり，それらの$x$座標がともに整数であるような$(a,\ b)$の組は何通りあるか求めよ．
(3)$(2)$のとき，放物線$C$と$x$軸の$2$つの交点の間の距離の最大値と，そのときの$(a,\ b)$の組を求めよ．
(4)$k$は自然数であり，直線$y=kx+1$は放物線$C$と接している．このときの$k$の最大値と，$k$を最大にする$(a,\ b)$の組を求めよ．

関数$\displaystyle f(t)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (x-t \cos x)^2 \, dx$は，$t=a$（$a$は正の実数）で最小値をとるものとする．$a$を超えない最大の整数の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CD}=5$，$\mathrm{DA}=6$をみたす四角形$\mathrm{ABCD}$を考える．この四角形の面積を$F$とすると
\[ F=[$1$][$2$] \sin B+[$3$][$4$] \sin D \]
が成り立つ．余弦定理を用いれば
\[ F^2=[$5$][$6$][$7$]-[$8$][$9$][$10$] \cos (B+D) \]
を得る．$B+D=\pi$のとき，$F$は最大値
\[ 6 \sqrt{[$11$][$12$]} \]
をとる．
(2)辺の長さが$2 \sqrt{3}$の正四面体$F$がある．$F$の内部に中心をもち，$F$のどの辺とも高々$1$点を共有する球を考える．これらの球の中で最大のものを$B$とすれば，$B$の体積は$[$13$] \sqrt{[$14$]}\pi$である．

ある村では公共サービス$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$を提供している．提供された$\mathrm{X}$の量を$x$，$\mathrm{Y}$の量を$y$で表わす．技術的条件や予算の制約によって$(x,\ y)$が実現するのは$x,\ y$がつぎの不等式をみたすときである．
\[ \begin{array}{l}
x+y \leqq 200 \\
x+5y \leqq 790 \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
3x+4y \leqq 720 \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
x,\ y \geqq 0 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \]
$(x,\ y)$が実現する領域は$5$角形であり，その$5$頂点は$(0,\ 0)$，$(200,\ 0)$，$(0,\ 158)$および$\mathrm{A}([$53$][$54$][$55$],\ [$56$][$57$][$58$])$，$\mathrm{B}(80,\ [$59$][$60$][$61$])$である．

現在，一般の村民は$xy$が最大になることを望んでおり，一方，村の有力者一族は$x+10y$が最大になることを望んでいる．村長は$x$と$y$を自由に選ぶことができるが，両方の意向を尊重して
\[ \alpha xy+(1-\alpha)(x+10y) \quad (0<\alpha<1) \]
を最大化する方針をとった．
仮に，$\displaystyle \alpha=\frac{1}{3}$ならば村長の選択は$(x,\ y)=([$62$][$63$],\ [$64$][$65$][$66$])$となる．
村長は最大化のために選択すべき点を線分$\mathrm{AB}$上にとることにした．しかし，予算上端点$\mathrm{A}$も$\mathrm{B}$も選択することが認められないことがわかった．すると，$\alpha$は
\[ \frac{[$67$][$68$]}{[$69$][$70$][$71$]}<\alpha<\frac{[$72$][$73$]}{133} \]
の範囲に限定される．

$c$を定数とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{c+\sum_{k=1}^n 2^k}{2^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．

(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+1}=[$1$]+\frac{a_n}{[$2$]} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たす．
(2)$a_n$を$n$の式で表すと
\[ a_n=2-\frac{[$3$]-c}{2^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
となる．ゆえに，$c=[$4$]$のとき数列$\{a_n\}$は公比$1$の等比数列になる．
(3)$c=1$とする．$a_n$が$1.99$を超えない最大の$n$は$[$5$]$である．
(4)$c=-38$とする．自然数$N$に対して，$\displaystyle \sum_{n=1}^N a_n$の値は$N=[$6$]$のとき最小値$\displaystyle \frac{[$7$][$8$][$9$]}{[$10$]}$をとる．