タグ「最大公約数」の検索結果

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岩手大学 国立 岩手大学 2016年 第3問
次の問いに答えよ.

(1)ユークリッドの互除法を用いて,$89$と$29$の最大公約数を求めよ.
(2)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=1$の整数解を$1$組求めよ.
(3)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=-20$の整数解として現れる$x$の値のうち,正のものを小さい順に$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする.このとき,自然数$m$に対して,$x_m$を$m$で表せ.
(4)$(3)$で定めた$x_m$に対し,$89x_m+29y=-20$を満たす$y$の値を$y_m$とするとき,自然数$n$に対して,$\displaystyle \sum_{m=1}^n (3x_m+y_m)^2$を$n$で表せ.
神戸大学 国立 神戸大学 2016年 第4問
約数,公約数,最大公約数を次のように定める.
\begin{itemize}
$2$つの整数$a,\ b$に対して,$a=bk$をみたす整数$k$が存在するとき,$b$は$a$の約数であるという.
$2$つの整数に共通の約数をそれらの公約数という.
少なくとも一方が$0$でない$2$つの整数の公約数の中で最大のものをそれらの最大公約数という.
\end{itemize}
以下の問に答えよ.

(1)$a,\ b,\ c,\ p$は$0$でない整数で$a=pb+c$をみたしているとする.

(i) $a=18$,$b=30$,$c=-42$,$p=2$のとき,$a$と$b$の公約数の集合$S$,および$b$と$c$の公約数の集合$T$を求めよ.
(ii) $a$と$b$の最大公約数を$M$,$b$と$c$の最大公約数を$N$とする.$M$と$N$は等しいことを示せ.ただし,$a,\ b,\ c,\ p$は$0$でない任意の整数とする.

(2)自然数の列$\{a_n\}$を
\[ a_{n+2}=6a_{n+1}+a_n (n=1,\ 2,\ \cdots),\quad a_1=3,\quad a_2=4 \]
で定める.

(i) $a_{n+1}$と$a_n$の最大公約数を求めよ.
(ii) $a_{n+4}$を$a_{n+2}$と$a_n$を用いて表せ.
(iii) $a_{n+2}$と$a_n$の最大公約数を求めよ.
岩手大学 国立 岩手大学 2016年 第3問
次の問いに答えよ.

(1)ユークリッドの互除法を用いて,$89$と$29$の最大公約数を求めよ.
(2)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=1$の整数解を$1$組求めよ.
(3)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=-20$の整数解として現れる$x$の値のうち,正のものを小さい順に$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする.このとき,自然数$m$に対して,$x_m$を$m$で表せ.
(4)$(3)$で定めた$x_m$に対し,$89x_m+29y=-20$を満たす$y$の値を$y_m$とするとき,自然数$n$に対して,$\displaystyle \sum_{m=1}^n (3x_m+y_m)^2$を$n$で表せ.
岩手大学 国立 岩手大学 2016年 第3問
次の問いに答えよ.

(1)ユークリッドの互除法を用いて,$89$と$29$の最大公約数を求めよ.
(2)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=1$の整数解を$1$組求めよ.
(3)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=-20$の整数解として現れる$x$の値のうち,正のものを小さい順に$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする.このとき,自然数$m$に対して,$x_m$を$m$で表せ.
南山大学 私立 南山大学 2016年 第1問
次の$[ ]$の中に答を入れよ.

(1)放物線$C_1:y=x^2+ax+8$を$x$軸方向に$5$だけ平行移動した放物線$C_2$の方程式は$y=[ア]$である.$C_2$を$y$軸に関して対称移動した放物線が$C_1$に一致するとき,定数$a$の値を求めると$a=[イ]$である.
(2)$455$と$273$の最大公約数は$[ウ]$である.また,方程式$455x+273y=2821$を満たす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めると$(x,\ y)=[エ]$である.
(3)$0<\theta<\pi$とする.方程式$\cos 2\theta-\sin \theta=0$を解くと$\theta=[オ]$であり,方程式$\sin 2\theta-\cos 2\theta-\sqrt{6} \sin \theta+1=0$を解くと$\theta=[カ]$である.
(4)$3$つのさいころを同時に投げる.このとき,出る目の積が奇数になる確率は$[キ]$であり,出る目の積が$4$以上の偶数になる確率は$[ク]$である.
東北学院大学 私立 東北学院大学 2016年 第5問
次の問いに答えよ.

(1)$1368$と$7980$の最大公約数を求めよ.
(2)$1$次不定方程式$1368x+7980y=0$のすべての整数解を求めよ.
(3)$x,\ y$を整数とするとき,$1368x+7980y$のとりうる正の値のうち最小のものを求めよ.
神戸薬科大学 私立 神戸薬科大学 2016年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+1$を実数の範囲で因数分解すると$[ア]$である.
(2)$x^{2016}$を$x^2-1$で割った余りを求めると$[イ]$である.
(3)$\cos {28}^\circ+\cos {75}^\circ+\cos {150}^\circ+\cos {208}^\circ+\cos {255}^\circ$の値を求めると$[ウ]$である.
(4)$12707$と$12319$の最大公約数を求めると$[エ]$である.
(5)$2^x=5^y=10$のとき,$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$の値を求めると$[オ]$である.
(6)点$\mathrm{A}(-2,\ 0)$と点$\mathrm{B}(6,\ 0)$からの距離の比が$1:3$となる点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めると$[カ]$である.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2016年 第4問
$i$を虚数単位とする.次の事実がある.
\begin{waku}[事実$\mathrm{F}$]
$a,\ b$を互いに素な正の整数とする.このとき,
\[ \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{b} \pi+i \sin \frac{2}{b} \pi \]
となる整数$k$が存在する.
\end{waku}

(1)等式
\[ \left( \cos \frac{4}{5} \pi+i \sin \frac{4}{5} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{5} \pi+i \sin \frac{2}{5} \pi \]
を満たす最小の正の整数$k$は$[ツ]$である.
(2)$a,\ b$を互いに素な正の整数とし,集合$P$を
\[ P=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\} \]
で定める.事実$\mathrm{F}$を考慮すると,集合$P$の要素の個数$n(P)$は$[テ]$である.
(3)事実$\mathrm{F}$を証明しなさい.
(4)$a_1,\ b_1$を互いに素な正の整数とし,$a_2,\ b_2$も互いに素な正の整数とする.集合$Q_1$と$Q_2$を

$\displaystyle Q_1=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_1}{b_1} \pi+i \sin \frac{2a_1}{b_1} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$

$\displaystyle Q_2=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_2}{b_2} \pi+i \sin \frac{2a_2}{b_2} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$

で定め,集合$R$を
\[ R=\{z \;\bigg|\; \text{$z$は集合$Q_1$の要素と集合$Q_2$の要素の積で表される複素数}\} \]
で定める.$b_1$と$b_2$が互いに素ならば,集合$R$の要素の個数$n(R)$は$[ト]$である.$b_1$と$b_2$が互いに素でないとき,それらの最大公約数を$d$とすれば,集合$R$の要素の個数$n(R)$は$[ナ]$である.
北海道薬科大学 私立 北海道薬科大学 2016年 第2問
次の各設問に答えよ.

(1)$3n+9$と$8n+9$の最大公約数が$5$となるような$20$以下の自然数$n$は$[ア]$個ある.そのうち最も大きな$n$の値は$[イウ]$である.
(2)曲線$C:y=x^2-2ax+2a^2-5a$($a$は定数)は$x$軸と異なる$2$点で交わるものとする.$a$の値の取り得る範囲は$[エ]<a<[オ]$である.
そして,$C$と$x$軸とで囲まれた領域の面積が$8 \sqrt{6}$のとき,$a$の値は小さい順に$[カ]$,$[キ]$である.
広島経済大学 私立 広島経済大学 2016年 第1問
次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ.

(1)$a,\ b$を自然数とする.$a$を$9$で割ると$1$余り,$b$を$9$で割ると$5$余る.

(i) $a+b$を$9$で割ったときの余りは$[$1$]$である.
(ii) $ab$を$9$で割ったときの余りは$[$2$]$である.
(iii) $a^2+b^2$を$9$で割ったときの余りは$[$3$]$である.

(2)$2$つの整数$1364$と$279$の最大公約数は$[$4$]$である.
(3)$|x+2|+|x-5|=9$の解は$x=-[$5$]$または$x=[$6$]$である.
(4)分数$\displaystyle \frac{35}{37}$を小数で表したとき,小数第$50$位の数字は$[$7$]$である.
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「最大公約数」とは・・・

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