$x$が$x \geqq 0$を満たす実数全体を動くとき，関数
\[ y=e^{-\sqrt{3}x} \sin x \]
の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．

関数
\[ f(x)=\sin 3x+2 \cos 2x+4 \sin x \]
の区間$0^\circ \leqq x<360^\circ$における最大値，最小値とそれらを与える$x$の値を求めよ．

直線$L:y=ax+b$と放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2+x$が異なる$2$点で交わり，$L$と$C$とで囲まれる部分の面積は$1$であるとする．

(1)$b$を$a$で表せ．
(2)$a$が実数全体を動くとき，$b$の最大値を求めよ．

次の空欄アに$①$～$④$のいずれかを記入せよ．また空欄イ～スに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)実数$x,\ y$に対して，$x^2+y^2 \leqq 1$は「$-1 \leqq x \leqq 1$かつ$-1 \leqq y \leqq 1$」であるための何条件かを，$①$「必要条件」，$②$「十分条件」，$③$「必要十分条件」，$④$「必要条件でも十分条件でもない」のうちから選択すると，$[ア]$となる．
(2)$3x^2-xy-2y^2-x+6y+k$が，$x,\ y$の整数係数の$1$次式の積に因数分解されるとき，$k=[イ]$である．
(3)$3$つの数$\log_2 x$，$\log_2 10$，$\log_2 20$がこの順で等差数列であるとき，$x=[ウ]$である．
(4)$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots +\frac{1}{100 \cdot 101}=\frac{[エ]}{[オ]}$である．
(5)座標平面上の曲線$y=x^3+ax^2+bx$上の点$(2,\ 4)$における接線が$x$軸に平行であるとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$である．
(6)自宅から$2000 \; \mathrm{m}$離れている駅まで，はじめに毎分$80 \; \mathrm{m}$で歩き，途中から毎分$170 \; \mathrm{m}$で走るものとする．出発してから$16$分以内に駅に到着するには，歩きはじめてから$[ク]$分以内に走り出さなければならない．
(7)点$\mathrm{A}(2,\ 3)$，点$\mathrm{B}(p,\ q)$と原点$\mathrm{O}$がつくる三角形$\mathrm{OAB}$について，$\angle \mathrm{OAB}=90^\circ$のとき，$p,\ q$の満たす条件は$p \neq 2$かつ$p=[ケ]$である．
(8)実数$x,\ y,\ a,\ b$が条件$x^2+y^2=2$，および$a^2+b^2=3$を満たすとき，$ax+by$の最大値は$[コ]$で，最小値は$[サ]$である．
(9)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{10}i}{3}$とし，$x$と共役な複素数を$y$とするとき，$x^3+y^3=[シ]$となる．ただし，$i$は虚数単位とする．
\mon $\displaystyle \sin x+\sin y=\frac{1}{3}$，$\displaystyle \cos x-\cos y=\frac{1}{2}$のとき，$\cos (x+y)$の値は$[ス]$である．

座標平面上の点$\mathrm{A}(1,\ 1)$を中心とする円$(x-1)^2+(y-1)^2=1$上を，点$\mathrm{P}_0(2,\ 1)$から出発して一定の速度で反時計回りに動く点$\mathrm{P}$と，座標平面上の点$\mathrm{B}(-1,\ -1)$を中心とするもう$1$つの円$(x+1)^2+(y+1)^2=1$上を，点$\mathrm{Q}_0(-1,\ 0)$から出発して反時計回りに動く点$\mathrm{Q}$について考える．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が各円周上を進む速度は等しいものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)図に示すように$\angle \mathrm{P}_0 \mathrm{AP}$ならびに$\angle \mathrm{Q}_0 \mathrm{BQ}$を$\theta$とするとき，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$それぞれの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値と，そのときの点$\mathrm{P}$の位置$\mathrm{P}_1$と点$\mathrm{Q}$の位置$\mathrm{Q}_1$それぞれの座標を求めよ．また，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値と，そのときの点$\mathrm{P}$の位置$\mathrm{P}_2$と点$\mathrm{Q}$の位置$\mathrm{Q}_2$それぞれの座標を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$について，$4$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$，$\mathrm{P}_2$がつくる四角形の面積を求めよ．
（図は省略）

次の問いに答えよ．

(1)$x>1$とする．
\[ \sqrt{\log_2 x}>\log_2 \sqrt{x} \]
を満たす$x$の値の範囲は$[ア]<x<[イ]$である．
(2)$x$の関数
\[ y=\sqrt{2} (\sin x-\cos x)-\sin x \cos x+1 \quad \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
を考える．

(i) $t=\sin x-\cos x$とおくと，
\[ y=\frac{[ウ]}{[エ]}t^2+\sqrt{[オ]}t+\frac{[カ]}{[キ]} \]
が成り立つ．
(ii) $\displaystyle x=\frac{[ク]}{[ケ]} \pi$で$y$は最大値$[コ]+\sqrt{[サ]}$をとり，$\displaystyle x=\frac{[シ]}{[ス]} \pi$で$y$は最小値$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$をとる．

$f(x)=2x+3+|x|$と$g(x)=ax^2+bx+c$とは次の$2$つの条件を満たす．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．

(i) $y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフとは$x=-2$および$x=2$で交わる．
(ii) $y=g(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$において最大値をとる．

このとき，次の$[　]$を数値でうめよ．

(1)$a=[$①$]$，$b=[$②$]$，$c=[$③$]$である．
(2)$y=g(x)$のグラフの頂点の$y$座標は$[$④$]$である．
(3)$y=f(x)$と$y=g(x)$とで囲まれた図形の面積は$[$⑤$]$である．

実数$x,\ y$が$x^2+y^2=2$を満たすとき，次の各問に答えよ．

(1)$t=x+y$とおくとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$S=x^2+6xy+y^2$とおくとき，$S$の最大値，最小値およびそのときの$x,\ y$の値を求めよ．

$0^\circ \leqq \theta \leqq 45^\circ$のとき，関数$\displaystyle y=\frac{1}{\cos^2 \theta}-2 \tan \theta-1$について，次の問いに答えなさい．

(1)この関数の最大値を求め，そのときの$\theta$も求めなさい．
(2)この関数の最小値を求め，そのときの$\theta$も求めなさい．

$2$次関数$\displaystyle f(x)=-x^2+2ax+\frac{1}{2}$について，以下の問に答えよ．ただし，$a \geqq 0$とする．

(1)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を$a$の式で表せ．
(2)定義域$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$a$の式で表せ．