次のア～へに当てはまる$0$～$9$の数字を解答欄に入れよ．

(1)$0 \leqq x,\ y$かつ$3x+2y=4$を満たす$(x,\ y)$に対して，$\displaystyle x^3+\frac{8}{3}y^3$は，$(x,\ y)=([ア],\ [イ])$のとき，最大値$\displaystyle \frac{[ウエ]}{[オ]}$となり，$\displaystyle (x,\ y)=\left( [カ],\ \frac{[キ]}{[ク]} \right)$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$となる．

(2)$0 \leqq y \leqq 4x-2x^2$を満たす$(x,\ y)$にたいして，$z=4x^2+2xy-8x$の最大値と最小値を考える．条件から考える$x$の範囲は，$[サ] \leqq x \leqq [シ]$である．この範囲の$x$を$1$つ固定して，$z$の値を考えると，$z$は，$y$についての$1$次式だから，固定された$x$にたいして，$z$は$y=[ス]x-[セ]x^2$のとき，最も大きく$z=-[ソ]x^3+[タチ]x^2-[ツ]x$となる．従って，考える範囲の$(x,\ y)$にたいしては，$\displaystyle (x,\ y)=\left( [テ]+\frac{\sqrt{[ト]}}{[ナ]},\ \frac{[ニ]}{[ヌ]} \right)$のとき，$z$は最大値$\displaystyle \frac{[ネ] \sqrt{[ノ]}}{[ハ]}$となる．同様のやり方で最小値をもとめると，$(x,\ y)=([ヒ],\ [フ])$のとき，$z$は最小値$-[ヘ]$となる．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$a,\ b$を正の定数とする．関数
\[ f(x)=a(1+\cos x)+b(3+\sin x) \quad (0 \leqq x<2\pi) \]
の最大値が$3$で最小値が$1$であるならば，$a+3b=[ア]$，$a=[イ]$である．
(2)$n$を自然数とする．$\displaystyle \frac{1}{n^2-3 \sqrt{2}n+5}$を最大にする$n$の値は$[ウ]$であり，そのときの最大値は分母を有理化すると$[エ]$である．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア]$，$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=[イ]$である．
(2)$x^2-x+y-6=0$，$y \geqq 0$のとき，$6x+y$の最大値は$[ウ]$，最小値は$[エ]$である．
(3)$a>0$とする．円$x^2+y^2-2ax-4ay+4a^2-1=0$が$x$軸と接するとき，$a=[オ]$であり，直線$x+y-1=0$と接するとき，$a=[カ]$である．
(4)放物線$C:y=x^2-2$と直線$\ell:y=x$がある．$C$と$x$軸によって囲まれる部分の面積は$[キ]$であり，$C$と$\ell$によって囲まれる部分の面積は$[ク]$である．

$2$次関数$y=x^2-2(a-1)x \cdots\cdots①$（$a$は実数）について，次の問に答えよ．

(1)$①$の表す放物線の頂点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$①$の$-1 \leqq x \leqq 1$における最小値$m$を，$a$の値の範囲によって，場合に分けて求めよ．
(3)$(2)$の最小値$m$を$a$の関数と考えたとき，その最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

$2$次関数$y=x^2-2(a-1)x \cdots\cdots①$（$a$は実数）について，次の問に答えよ．

(1)$①$の表す放物線の頂点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$①$の$-1 \leqq x \leqq 1$における最小値$m$を，$a$の値の範囲によって，場合に分けて求めよ．
(3)$(2)$の最小値$m$を$a$の関数と考えたとき，その最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

以下の$[か]$から$[こ]$にあてはまるものを答えよ．

$a,\ b$を定数とするとき，$3$次の整式$f(x)=x^3+ax^2+bx-4$は，$x-2$で割ると$-2$余り，$2x-1$で割ると$\displaystyle -\frac{7}{8}$余るという．

(1)$a=[か]$，$b=[き]$である．
(2)方程式$f(x)=0$の解をすべて求めると，$[く]$である．
(3)方程式$f(x)=c$が異なる$3$つの実数解を持つような実数$c$の値の範囲は，$[け]$である．
(4)関数$f(x)$の区間$d \leqq x \leqq d+3$における最大値が$0$であるような実数$d$の値の範囲は，$[こ]$である．

座標平面上の$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$，$\displaystyle y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$を，それぞれ$C_1$，$C_2$とする．$0$以上の実数$t$に対して，$x$座標が$t$である点における$C_1$の接線を$\ell_1$，$x$座標が$t$である点における$C_2$の接線を$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$との交点を$\mathrm{P}$，$\ell_1$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$，$\ell_2$と$y$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S(t)$とする．$0$以上の実数$t$を変化させるとき，$S(t)$の最大値を求めよ．また最大値を与える$t$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$S(t)$に対して，定積分$\displaystyle \int_0^2 S(t) \, dt$の値を求めよ．

平面上の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta)$，$\mathrm{C}(\cos 8\theta,\ \sin 8\theta)$を考える．

(1)$\sin \theta=t$とおくとき$\sin 3\theta$を$t$の式で表せ．
(2)線分の長さの和$\mathrm{AB}+\mathrm{BC}$を$t$の式で表せ．
(3)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3}$とするとき$\mathrm{AB}+\mathrm{BC}$の最大値を求めよ．

$a$を実数とし，$2$つの放物線
\[ C:y=-x^2+4,\quad C_a:y=(x-a)^2+a \]
を考える．

(1)$C$と$C_a$が異なる$2$点で交わるための条件は，
\[ -a^2+[サ]a+[シ]>0 \]
であり，したがって
\[ [ス]<a<[セ] \]
である．このとき
\[ b=\sqrt{-a^2+[サ]a+[シ]} \]
とおくと，$(a,\ b)$は中心が$([ソ],\ [タ])$で，半径が$[チ]$の円周上にある．
(2)$[ス]<a<[セ]$のとき，$C$と$C_a$との交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とすると，
\setstretch{2}
\[ \begin{array}{rcl}
\alpha+\beta &=& [ツ]a+[テ] \\
2\alpha\beta &=& [ト]a^2+[ナ]a+[ニ] \\
\beta-\alpha &=& [ヌ]b+[ネ]
\end{array} \]
\setstretch{1.3}
である．
(3)$C$と$C_a$により囲まれた図形の面積は，$a=[ノ]$のときに最大値$[ハ]$をとる．

$a,\ b$を実数とする．$3$次関数$y=x^3-3ax^2-3bx$が$x=p$と$x=q$とで極値をとるものとする．

(1)$-1 \leqq p \leqq 0$かつ$1 \leqq q \leqq 2$となるような点$(a,\ b)$の動く範囲を平面上に図示せよ．
(2)$(a,\ b)$が上の範囲を動くとき，$a+b$の最大値と最小値を求めよ．