「最大値」について
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私立 早稲田大学 2011年 第2問原点をOとする座標空間において，2点A(3,\ 3,\ 4),\ B(1,\ 0,\ 0)がある．\\
次の条件を満たす点Pの集合を$C$とする．
\[ |\overrightarrow{\mathrm{AP}}| = 1, \quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}} = 0 \]
また，次の条件を満たす点Qの集合を$S$とする．
\[ |\overrightarrow{\text{OQ}}| = 1 \]
次の設問に答えよ．
(1)点Qを$S$上の点とするとき，$|\overrightarrow{\text{AQ}}|$の最大値と最小値を求めよ．
(2)点Pを$C$上の点とし，点Qを$S$上の点とするとき，$|\overrightarrow{\text{PQ}}|$の最大値と最小値を求めよ．
次の条件を満たす点Pの集合を$C$とする．
\[ |\overrightarrow{\mathrm{AP}}| = 1, \quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}} = 0 \]
また，次の条件を満たす点Qの集合を$S$とする．
\[ |\overrightarrow{\text{OQ}}| = 1 \]
次の設問に答えよ．
(1)点Qを$S$上の点とするとき，$|\overrightarrow{\text{AQ}}|$の最大値と最小値を求めよ．
(2)点Pを$C$上の点とし，点Qを$S$上の点とするとき，$|\overrightarrow{\text{PQ}}|$の最大値と最小値を求めよ．
私立 明治大学 2011年 第1問長方形$\mathrm{ABCD}$は，各辺の長さが整数で，面積が$1728$である．また$\mathrm{AB}<\mathrm{BC}$であるとする．下記の空欄内の各文字に当てはまる数字を答えよ．
(1)長方形$\mathrm{ABCD}$は$[ア][イ]$通り存在する．
(2)可能な長方形について$\mathrm{AB}+\mathrm{BC}$の総和は$\kakkofour{ウ}{エ}{オ}{カ}$となる．
(3)辺$\mathrm{AB}$の長さの最大値は$[キ][ク]$である．
(1)長方形$\mathrm{ABCD}$は$[ア][イ]$通り存在する．
(2)可能な長方形について$\mathrm{AB}+\mathrm{BC}$の総和は$\kakkofour{ウ}{エ}{オ}{カ}$となる．
(3)辺$\mathrm{AB}$の長さの最大値は$[キ][ク]$である．
私立 金沢工業大学 2011年 第3問関数$\displaystyle y=3 \cos^2 x-\cos 2x+\sin x \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$について考える．
(1)$t=\sin x$とおくと，関数$y$は$t$の関数として
\[ y=[ア]t^2+t+[イ] \]
と表される．
(2)$y$は$\displaystyle x=\frac{\pi}{[ウ]}$のとき最大値$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$をとり，$\displaystyle x=-\frac{\pi}{[カ]}$のとき最小値$[キ]$をとる．
(1)$t=\sin x$とおくと，関数$y$は$t$の関数として
\[ y=[ア]t^2+t+[イ] \]
と表される．
(2)$y$は$\displaystyle x=\frac{\pi}{[ウ]}$のとき最大値$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$をとり，$\displaystyle x=-\frac{\pi}{[カ]}$のとき最小値$[キ]$をとる．
私立 金沢工業大学 2011年 第6問関数$f(x)=|2x-6|-4$に対して，$\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t) \, dt (0 \leqq x \leqq 6)$とおく．
(1)$0 \leqq x \leqq [コ]$のとき，$F(x)=-x^2+[サ]x$であり，$[コ]<x \leqq 6$のとき，$F(x)=x^2-[シス]x+[セソ]$である．
(2)$F(x)$は$x=[タ]$のとき最大値$[チ]$をとり，$x=[ツ]$のとき最小値$[テト]$をとる．
(1)$0 \leqq x \leqq [コ]$のとき，$F(x)=-x^2+[サ]x$であり，$[コ]<x \leqq 6$のとき，$F(x)=x^2-[シス]x+[セソ]$である．
(2)$F(x)$は$x=[タ]$のとき最大値$[チ]$をとり，$x=[ツ]$のとき最小値$[テト]$をとる．
私立 倉敷芸術科学大学 2011年 第6問$0^\circ \leqq x \leqq 90^\circ$のとき，$\displaystyle \frac{2}{1+2\sin^2 x}+\frac{1}{1+\cos^2 x}$の最大値と最小値，およびそれらの値をとるときの$x$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2011年 第1問関数$f(x)=x^2-2px+2p-1$の$-1 \leqq x \leqq 2$における最小値を$q$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$p>0$とする．
(1)$0<p \leqq 2$のとき，$q$を$p$を用いて表せ．
(2)$p>2$のとき，$q$を$p$を用いて表せ．
(3)$q$の最大値とそのときの$p$の値を求めよ．
(1)$0<p \leqq 2$のとき，$q$を$p$を用いて表せ．
(2)$p>2$のとき，$q$を$p$を用いて表せ．
(3)$q$の最大値とそのときの$p$の値を求めよ．
私立 早稲田大学 2011年 第6問$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$であるとき，$2 \cos^2 \theta+(\sin \theta+3 \cos \theta)^2$の最小値は$[ト]$で，最大値は$\sqrt{[ナ]}+[ニ]$である．
私立 自治医科大学 2011年 第5問関数$y=-9^{x+1}+3^{x+3}+2$（$0 \leqq x \leqq 3$，$x$は実数）の最大値を$M$とするとき，$\displaystyle \frac{89}{M}$の値を求めよ．
私立 自治医科大学 2011年 第12問関数$y=2 \cos \theta-\sin^2 \theta+2 (0 \leqq \theta<2\pi)$の最大値を$M$，最小値を$m$とする．$Mm$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2011年 第6問数列$\{a_n\}$は初項$200$，公差$d$の等差数列であり，$\{a_n\}$の第$15$項から第$20$項までの和が$309$であるとする．$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおく．ただし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$とする．
(1)$d$の値を求めよ．
(2)$a_n<0$となるような最小の自然数$n$を求めよ．また，$S_n$の最大値を求めよ．
(3)$b_n=S_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定義される数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$T_n$を求めよ．
(1)$d$の値を求めよ．
(2)$a_n<0$となるような最小の自然数$n$を求めよ．また，$S_n$の最大値を求めよ．
(3)$b_n=S_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定義される数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$T_n$を求めよ．