円$\displaystyle C_1:x^2+y^2-2 \sqrt{3}x-4y+3=0$と放物線$\displaystyle C_2:y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2 \sqrt{3}}x+1$について，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$と座標軸との共有点，および$C_2$と座標軸との共有点の座標を求めよ．
(2)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2-2 \sqrt{3}x-4y+3 \leqq 0 \\
y \leqq -\displaystyle\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2 \sqrt{3}}x+1
\end{array}
\right. \]
を満たす点$(x,\ y)$全体からなる領域を$D$とする．$D$の面積$S$を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$x+y$の最大値を求めよ．

実数$p>0$と関数$f(x)=x^3-x$がある．$2$曲線$C_1:y=f(x)$，$C_2:y=f(x+p)-p$について，次に答えよ．

(1)曲線$C_1$と$C_2$が共有点を$2$個もつときの$p$の範囲を求めよ．
(2)実数$\alpha,\ \beta$に対して
\[ \int_{\alpha}^{\beta}(\beta-x)(x-\alpha) \, dx=\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \]
を示せ．
(3)$p$が(1)で求めた範囲を動くとき，曲線$C_1,\ C_2$によって囲まれた図形の面積$S(p)$の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=x^2-3x+7-3 |x-2|$のグラフをかけ．
(2)方程式$\displaystyle \log_5x-\frac{4}{\log_5x}+\frac{\log_5 x^3}{\log_5 x}=0$を解け．
(3)$a>0$とする．関数$f(t)=t(a-t^2) \ (0<t<\sqrt{a})$の最大値が$2$であるとき，$a$の値を求めよ．
(4)正四面体の各面に$0,\ 1,\ 2,\ 3$の数字が$1$つずつ書かれているさいころがある．このさいころを投げたとき，各面が底面になる確率は等しいものとする．このようなさいころを$2$つ同時に投げ，おのおののさいころの底面に書かれている数の積を$X$とする．$X$の期待値を求めよ．
(5)$2$つの曲線$y=x^2$，$y=-x^2+2x+1$で囲まれる図形の面積を求めよ．

$2$次曲線$C$が媒介変数$\theta$を用いて，
\[ x=3+5 \cos \theta,\quad y=2+3 \sin \theta \quad (0 \leqq \theta \leqq 2\pi) \]
と表されている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$の方程式を$x,\ y$を用いて表せ．また，$C$を座標平面上に図示せよ．
(2)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(3+5 \cos \theta,\ 2+3 \sin \theta)$における$C$の接線$\ell$の方程式は，
\[ \frac{\cos \theta}{5}(x-3)+\frac{\sin \theta}{3}(y-2)=1 \]
となることを示せ．
(3)曲線$C$の焦点を$\mathrm{F}_1$，$\mathrm{F}_2$とする．$i=1,\ 2$に対し，$\mathrm{F}_i$を通り，接線$\ell$に垂直な直線$m_i$の方程式を求めよ．
(4)$i=1,\ 2$に対し，直線$m_i$と$\ell$との交点を$\mathrm{Q}_i$とする．点$\mathrm{O}^\prime(3,\ 2)$とするとき，線分$\mathrm{O}^\prime \mathrm{Q}_i$の長さを求めよ．
(5)$\mathrm{P}$が曲線$C$を一周するとき，線分$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$の長さの最大値，最小値，およびそのときの点$\mathrm{P}$をそれぞれ求めよ．

医学部における研究では，いろいろな動物が用いられる．これらの動物を生育して，研究者たちに販売する者の立場から，動物$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を題材にして，以下の問題を考察する．

(1)動物$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を生育するには，$3$種類の栄養素$p,\ q,\ r$が必要である．生育量（単位$\mathrm{kg}$）と栄養素の量は，ともに実数で示される．
（条件a） $\mathrm{A}$を$x \; \mathrm{kg}$生育するには，$p$が$5x$，$q$が$5x$，$r$が$x$の量，同時に必要である．$\mathrm{A}$の販売価格は$10$万円$/ \mathrm{kg}$である．
（条件b） $\mathrm{B}$を$y \; \mathrm{kg}$生育するには，$p$が$4y$，$q$が$y$，$r$が$2y$の量，同時に必要である．$\mathrm{B}$の販売価格は$5$万円$/ \mathrm{kg}$である．
手持ちの栄養素は今，$p$が$5$，$q$が$4$，$r$が$2$の量であると仮定する．このとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をそれぞれ何$\mathrm{kg}$生育すれば，販売額が最大となるか．販売額の最大値，およびそのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の生育量をそれぞれ求めよ．
(2)動物$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$に加えて，動物$\mathrm{C}$も$p,\ q,\ r$の栄養素によって生育できることがわかる．
（条件c） $\mathrm{C}$を$z \; \mathrm{kg}$生育するには，$p$が$2z$，$q$が$3z$，$r$が$z$の量，同時に必要である．$\mathrm{C}$の販売価格は$8$万円$/ \mathrm{kg}$である．
手持ちの栄養素は今，$p$が$5$，$q$が$4$の量であるが，(1)の場合と違って$r$はいくらでも手に入るものと仮定する．次の問い$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$に答えよ．

(i) $\mathrm{C}$の生育量$z \; \mathrm{kg}$は，$\displaystyle z=k \ \left( 0 \leqq k \leqq \frac{11}{10} \right)$として値を固定し，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の生育量をそれぞれ$x \; \mathrm{kg}$，$y \; \mathrm{kg}$として変化させる．このとき，点$(x,\ y)$の動く領域$D(k)$を図示せよ．さらに，$(x,\ y)$がこの領域を動くとき，販売額の最大値を$w(k)$とかく．$w(k)$を$k$の式で表せ．
(ii) $\mathrm{C}$の生育量$z=k$を，$\displaystyle 0 \leqq k \leqq \frac{11}{10}$の範囲から$\displaystyle \frac{11}{10} \leqq k \leqq \frac{4}{3}$の範囲に変更する．このとき，点$(x,\ y)$の動く領域$D(k)$および販売額の最大値$w(k)$はどうなるか，調べよ．
(iii) $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$をそれぞれ何$\mathrm{kg}$生育すれば，販売額が最大となるか．販売額の最大値，およびそのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の生育量をそれぞれ求めよ．

関数$f(x)=x(2a-|x|)$を考える．ただし，$a$は実数である．$-1 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$g(a)$とおく．$g(a)$を$a$を用いて表し，そのグラフをかけ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=x^2-3x+7-3 |x-2|$のグラフをかけ．
(2)$a>0$とする．関数$y=(a-x)\sqrt{x} \ (0<x<a)$の最大値が$2$であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)自然数$n$について，等式
\[ 1+2x+3x^2+\cdots +nx^{n-1}=\frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2} \]
が成り立つことを，数学的帰納法を用いて示せ．ただし，$x \neq 1$とする．
(4)$i$を虚数単位とする．等式$\displaystyle (2+3i)(5a-2i)=\frac{b}{1-i}$を満たす実数$a$と実数$b$の値を求めよ．
(5)次の不定積分を求めよ．
\[ (ⅰ) \int \frac{1}{\tan 4x} \, dx \qquad (ⅱ) \int x \sqrt{1-5x} \, dx \]

$f(x)=\displaystyle\frac{\log x}{x}$とする．以下の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を次の点に注意して描け：$f(x)$の増減，グラフの凹凸，$x$→$+0$，$x$→$\infty$のときの$f(x)$の挙動．
(2)$n$を自然数とする．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対して$x$が$\displaystyle e^{\frac{k-1}{n}} \leqq x \leqq e^{\frac{k}{n}}$を動くときの$f(x)$の最大値を$M_k$，最小値を$m_k$とし，
\[ A_n = \sum_{k=1}^n M_k(e^{\frac{k}{n}}- e^{\frac{k-1}{n}}) \]
\[ B_n = \sum_{k=1}^n m_k(e^{\frac{k}{n}}- e^{\frac{k-1}{n}}) \]
とおく．$A_n,\ B_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle\lim_{n \to \infty} A_n$および$\displaystyle\lim_{n \to \infty} B_n$求めよ．
(4)各$n$に対して$\displaystyle B_n < \int_1^e f(x)\, dx < A_n$であることを示せ．

点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 3)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$がある．三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$2$等分する線分の長さの最大値と最小値を求めよ．

不等式
\[ |y| - |x(x-1)| \leqq 0 \]
の表す領域を$S$とする．

(1)$S$において，不等式
\[ -\frac{9}{10} \leqq x \leqq \frac{11}{10} \]
を満たす点$(x,\ y)$の領域を$T$とする．$T$に含まれる点$(x,\ y)$に対し，$y$の最大値は[テ]である．
(2)$S$において，不等式
\[ -\frac{1}{20} \leqq x \leqq \frac{11}{10} \]
を満たす点$(x,\ y)$の領域を$U$とする．領域$U$における関数$x+9y$の最大値は[ト]で，最小値は[ナ]である．