$0 \leqq x \leqq 1$とする．このとき，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^1 |t^2-xt| \, dt \]
と定義する．次の各問いに答えよ．

(1)$t$の関数$g(t)=|t^2-xt|$のグラフの概形をかけ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

Oを原点とする座標平面上に3点A$(1,\ 0)$，B$(1,\ 1)$，C$(0,\ c)$がある．ただし，$c$は正の定数とする．$t$を$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数とし，線分AB，BCを$t:(1-t)$に内分する点をそれぞれP，Qとする．ただし，例えば線分ABを$t:(1-t)$に内分する点は，$t=0$のときはA，$t=1$のときはBとする．$\triangle$OPQの面積を$S(t)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle I=\int_0^1 S(t) \, dt$の値が台形OABCの面積の$\displaystyle \frac{2}{5}$倍に等しくなるとき，$c$と$I$の値をそれぞれ求めよ．
(3)$0 \leqq t <1$に対し，線分QOを$t:(1-t)$に内分する点をRとし，$\triangle$OPRの面積を$T(t)$とする．$T(t)$が$\displaystyle t=\frac{1}{3}$で最大となるような$c$の値と，そのときの$T(t)$の最大値を求めよ．

Oを原点とする座標平面上に，方程式$x^2+4y^2=4$で表される楕円$E$がある．楕円$E$の外部の点P$(p,\ q)$から$E$に引いた2本の接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．

(1)$p \neq \pm 2$のとき，$\ell_1,\ \ell_2$の傾きをそれぞれ$k_1,\ k_2$とする．$k_1,\ k_2$の和と積を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$が垂直となるような点Pの軌跡を求めよ．
(3)長方形ABCDの各辺が楕円$E$に接するとき，OAとABのなす角を$\theta$とする．長方形ABCDの面積を$\theta$を用いて表せ．
(4)(3)の長方形ABCDの面積の最大値と最小値を求めよ．

$xy$平面上の$2$つの放物線$C_1,\ C_2$を考える．
\[ C_1:y=-x^2+4x,\quad C_2:y=x^2-2x \]

(1)$C_1,\ C_2$の原点とは異なる交点$\mathrm{A}$の座標と$C_2$の頂点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$から$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線$\ell$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を$x_1,\ y_1$を用いて表せ．ただし点$\mathrm{P}$は直線$\ell$上にないものとする．
(3)点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$が$C_1$上にあるとき，三角形$\mathrm{ABP}$の面積を$x_1$の式で表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が$C_1$上を原点から$\mathrm{A}$まで動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

$xy$平面上の$2$つの放物線$C_1,\ C_2$を考える．
\[ C_1:y=-x^2+4x,\quad C_2:y=x^2-2x \]

(1)$C_1,\ C_2$の原点とは異なる交点$\mathrm{A}$の座標と$C_2$の頂点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$から$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線$\ell$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を$x_1,\ y_1$を用いて表せ．ただし点$\mathrm{P}$は直線$\ell$上にないものとする．
(3)点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$が$C_1$上にあるとき，三角形$\mathrm{ABP}$の面積を$x_1$の式で表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が$C_1$上を原点から$\mathrm{A}$まで動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

次の[　]の中を適当に補いなさい．

(1)$m>0$とする．放物線$y=x^2$と放物線$y=x(m-x)$とで囲まれた図形の面積$S$を$m$で表せば，$S=[　]$．
(2)$\cos 2\theta-\cos \theta+1$の最大値を$M$，最小値を$m$とすれば，$(M,\ m)=[　]$．
(3)10段の階段を1段ずつ，1段飛ばし，2段飛ばしの3種類の登り方を自由に使って登ることができるものとする．このとき，10段を登る方法は全部で[　]通りある．

次の各問に解答しなさい．

(1)円$x^2+y^2=4$と放物線$\displaystyle y=-\frac{1}{2}(2+\sqrt{2})x^2+2$との共有点の個数とすべての共有点の座標を求めなさい．
(2)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 4 \\
(2+\sqrt{2})x^2+2y \geqq 4
\end{array}
\right. \]
の表す領域$R$を図示し，領域$R$の面積を求めなさい．
(3)$x^2+y^2 \leqq 4$のとき，$(2+\sqrt{2})x^2+2y$の最大値と最小値を求めなさい．

楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (a>b>0)$上に2点$\mathrm{P}(0,\ -b)$，$\mathrm{Q}(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$をとる．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$である．$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$\ell$とし，$\mathrm{P}$を通り$\ell$に平行な直線と$C$との交点のうち$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{R}$とおく．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$C$の焦点のうち$x$座標が正のものを$\mathrm{F}$とする．(2)で求めた$\mathrm{Q}$の$x$座標と$\mathrm{F}$の$x$座標の大小を比較せよ．

$f(x)=1-x^2$とし，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$は$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq a \leqq \frac{3}{2}$の範囲で動くものとする．原点と点$\mathrm{P}$の$2$点を通る直線を$\ell$，点$\mathrm{P}$における$y=f(x)$の接線を$m$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$2$直線$\ell$と$m$の方程式を求めよ．
(2)$x \geqq 0$において，$y$軸と曲線$y=f(x)$および直線$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_1(a)$とし，$y$軸と曲線$y=f(x)$および直線$m$で囲まれた図形の面積を$S_2(a)$とする．$S_1(a)$と$S_2(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$S_1(a)=2S_2(a)$を満たす$a$の値を求めよ．
(4)$S_1(a)-S_2(a)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$とするとき，不等式$\sin 2 \theta-\sqrt{3}\cos 2 \theta \leqq \sqrt{3}$を解け．
(2)$x,\ y$が不等式$|x-2| \leqq 2y \leqq -|x-2|+4$を満たすとき，$x^2+(y+4)^2$の最大値を求めよ．