関数$f(x)$は
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
x^3-3x^2+2x \quad\; (x \leqq 2 \text{のとき}) \\
x-2 \qquad\qquad\quad (x>2 \text{のとき})
\end{array}
\right. \]
で定義されている．次の各問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフを描け．
(2)$a \leqq x \leqq a+2$での$f(x)$の最大値が$f(a+2)$と等しくなるような実数$a$の範囲を求めよ．

座標空間内に$2$点$\mathrm{A}(0,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ -1,\ 2)$があり，点$\mathrm{P}(x,\ y,\ 0)$は$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を満たしながら動くものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$を成分で表せ．
(2)$x$と$y$が満たすべき関係式を求めよ．
(3)$x$と$y$が$(2)$の関係式を満たすとき，$2x-3y$の値の範囲を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{PAB}$の面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\angle \mathrm{PAB}$の大きさを求めよ．

平面上の曲線$C$は媒介変数$t$を用いて，
\[ x=\cos t,\quad y=a \sin t+ b \cos t \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
と表される．$a,\ b$は定数であり，$a>0$を満たす．以下の問に答えよ．

(1)曲線$C$の方程式を$x,\ y,\ a,\ b$を用いて表し，$y$について解け．
(2)曲線$C$が$x$軸，$y$軸と交わる点の座標を求めよ．

定数$a,\ b$がそれぞれ$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}},\ b=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき，以下の問に答えよ．

(3)$x,\ y$のそれぞれの最大値，最小値を求めよ．
(4)曲線$C$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

$xy$平面上に直線$\ell:y=(1-\sqrt{3})x+1+\sqrt{3}$と曲線$C:y=-x^2+3x$がある．次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$と曲線$C$の交点の座標を求めよ．
(2)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y \geqq (1-\sqrt{3})x+1+\sqrt{3} \\
y \leqq -x^2+3x
\end{array}
\right. \]
の表す領域を$D$とする．

\mon[(i)] 領域$D$を$xy$平面上に図示し，$D$の面積を求めよ．
\mon[(ii)] 点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$\displaystyle \frac{y}{x}$の最大値と最小値を求めよ．

座標平面において，点$(2,\ 0)$を中心とする半径$2$の円を$C$とする．点$(1,\ 0)$を通る直線$\ell_1$と円$C$との交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，点$(3,\ 0)$を通る直線$\ell_2$と円$C$との交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．さらに，$\ell_1$と$\ell_2$は垂直に交わるとする．ただし，$\ell_2$は座標軸とは一致しない．$\ell_1$の傾きを$k$で表す．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\ell_1$と$\ell_2$の交点$\mathrm{D}$は円$C$の内部にあることを示せ．
(2)弦$\mathrm{AB}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)弦$\mathrm{PQ}$の長さを$k$を用いて表せ．
(4)四角形$\mathrm{APBQ}$の面積の最大値を求めよ．

座標空間内に2点A$(0,\ 2,\ 1)$，B$(2,\ -1,\ 2)$があり，点P$(x,\ y,\ 0)$は$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を満たしながら動くものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$を成分で表せ．
(2)$x$と$y$が満たすべき関係式を求めよ．
(3)$x$と$y$が(2)の関係式を満たすとき，$2x-3y$の値の範囲を求めよ．
(4)三角形PABの面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\angle \text{PAB}$の大きさを求めよ．

座標平面において，点$(2,\ 0)$を中心とする半径2の円を$C$とする．点$(1,\ 0)$を通る直線$\ell_1$と円$C$との交点をA，Bとし，点$(3,\ 0)$を通る直線$\ell_2$と円$C$との交点をP，Qとする．さらに，$\ell_1$と$\ell_2$は垂直に交わるとする．ただし，$\ell_2$は座標軸とは一致しない．$\ell_1$の傾きを$k$で表す．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\ell_1$と$\ell_2$の交点Dは円$C$の内部にあることを示せ．
(2)弦ABの長さを$k$を用いて表せ．
(3)弦PQの長さを$k$を用いて表せ．
(4)四角形APBQの面積の最大値を求めよ．

平行四辺形OABCは$\text{OA}=\text{BC}=1,\ \text{OC}=\text{AB}=r,\ \angle \text{AOC}=\theta$を満たす．ただし，$r>0$かつ$0<\theta<\pi$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\text{OB}^2+\text{AC}^2$は$\theta$の値によらず一定であることを示し，その値を$r$を用いて表せ．
(2)$\theta$が$0<\theta<\pi$の範囲を動くとき，$\text{OB}+\text{AC}$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

$0 \leqq x \leqq 1$とする．このとき，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^1 |t^2-xt| \, dt \]
と定義する．次の各問いに答えよ．

(1)$t$の関数$g(t)=|t^2-xt|$のグラフの概形をかけ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

$0 \leqq x \leqq 1$とする．このとき，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^1 |t^2-xt| \, dt \]
と定義する．次の各問いに答えよ．

(1)$t$の関数$g(t)=|t^2-xt|$のグラフの概形をかけ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．